Teorema de Pitágoras y Ecuaciones Algebraicas

UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO PARA CADA PARÁBOLA




La ecuación completa de segundo grado ax² + bx + c = 0 describe a parábolas que tienen su eje de simetría paralelo al eje de ordenadas.



Las raíces o soluciones de esta ecuación se calculan mediante una muy conocida fórmula: . Ahora, llamemos por comodidad "u" a una de las raíces y "v" a la otra. Estas raíces cumplen algunas propiedades muy conocidas con respecto a los coeficientes de la ecuación:
Elevemos la primera expresión al cuadrado:
Reemplazando y haciendo el correspondiente pasaje de términos, nos queda: . Ahora bien, las soluciones (x, y, z), a la ecuación x² + y² = z² tienen las formas x = 2uv, y = u² - v², z = u² + v², para u y v enteros positivos, u > v, de distinta paridad y primos entre sí; esto garantiza que la terna tiene elementos primos entre sí, caso que se denomina terna pitagórica primitiva.



Este caso para obtener triángulos rectángulos diofantinos primitivos; o sea, con sus lados enteros y primos entre sí, pero también será terna pitagórica cualquier terna primitiva multiplicada por un escalar entero positivo, lo que da las ternas con divisores comunes. Asimismo, la fórmula es aplicable a cualesquiera números reales u y v, u > v. De resultas de esto pueden aparecer ternas con divisores comunes, en cualquier anillo.



Observemos que la fórmula corresponde a la hipotenusa y a uno de los catetos. Para obtener el restante, volvemos a la fórmula para calcular las raíces:
. Elevando ambos al cuadrado y restándolos, obtenemos el otro cateto como función de los coeficientes: . Si los coeficientes de la ecuación completa no tienen divisores comunes, cada ecuación cuadrática completa tendrá un triángulo rectángulo propio que puede ser compartido con otras bajo ciertas condiciones, no muy claras todavía para mí. La misma ecuación multiplicada por un factor cualquiera dará un triángulo rectángulo semejante, de la misma forma que una ecuación no cambia sus soluciones si se la multiplica por un factor entero.
Observemos que el producto vuelve a dar otro cateto, de un triángulo que tenga por hipotenusa a y a 2u²v² por el otro cateto.




UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO CON LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CÚBICA GENERAL




Dada una ecuación cúbica general en una incógnita Ax³ + Bx² + Cx + D = 0, sabemos que es igual a A (x – u) (x – v) (x – w), donde u, v y w son sus raíces o soluciones.

Los coeficientes se relacionan con las raíces como sigue:

Si elevamos la primera igualdad al cuadrado y le restamos el doble de la segunda, obtenemos una suma de tres cuadrados como función de los coeficientes de la ecuación. Esta suma puede interpretarse como la diagonal de un paralelepípedo recto rectángulo y esta diagonal como la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tenga por catetos un lado del paralelepípedo y la diagonal de una cara.






LAS RAÍCES DE CUALQUIER ECUACIÓN ALGEBRAICA EN UNA INCÓGNITA FORMAN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO


Si consideramos la ecuación general en una incógnita y llamamos a sus raíces, se cumple siempre que: ; siendo la suma de cuadrados la diagonal de un politopo ortoédrico, que es caso análogo de un parelelepípedo recto rectángulo en espacios de más dimensiones. Todas las soluciones conforman un triángulo rectángulo, según la siguiente terna: . Según el grado de la ecuación y de los grados de multiplicidad de sus raíces, puede existir más de un tríangulo rectángulo construible con sus raíces. Es que podemos elegir qué raíz lleva el signo negativo, siempre que el resultado de la suma sea positivo. Así, por ejemplo, el triángulo sagrado egipcio (3, 4, 5) tiene sus lados como soluciones de la ecuación cúbica x³ -12x² + 47x - 60 = 0. En este caso hay dos triángulos con sus raíces: (6 raíz cuadrada de 41, 32, 50) y (8 raíz cuadrada de 34, 18, 50).



También es interesante el hecho de que cualquier curva algebraica sea descomponible en el producto de a lo sumo n rectas distintas; las que forman los factores (x - ), con pendiente igual a 1, o sea, rectas que son todas paralelas y a 45º de inclinación con respecto a un par de ejes coordenados y ortogonales. A esto se agrega que el cociente desarrolla la fracción de los coeficientes como suma de fracciones de denominador unitario de las raíces, a la manera egipcia de escribir fracciones.


Volvamos ahora a la hipotenusa .



La ecuación indeterminada para un triángulo rectángulo es: x² + y² = z², el clásico teorema de Pitágoras. En cursos iniciales de álgebra se demuestra que todas las soluciones enteras de esa ecuación son: z = k (u² + v²); x = k (u² - v²); y = k 2uv, donde u, v y k son enteros positivos arbitrarios, u > v, u y v de distinta paridad y primos entre sí. Cada trío de números enteros positivos que elijamos en las condiciones prefijadas dará un triángulo rectángulo. Si k = 1, las ternas tienen elementos primos entre sí. Todos los triángulos con u y v fijos y k variable son semejantes. Como estas fórmulas constituyen una identidad, y por el principio de permanencia en las extensiones del concepto de número, también son válidas para números reales positivos.



Hay una cuestión interesante para tratar, aunque se aparta un poco del hilo del tema. Si damos un valor numérico entero positivo a la variable z, tratar de determinar en qué condiciones son enteros los catetos para ese valor dado de la hipotenusa. Este problema fue abordado por Fermat. La respuesta es la siguiente:

Para la ecuación x² + y² = n², n un entero positivo conocido, ¿en qué condiciones existen catetos enteros?

Si n es un número primo de la forma 4m + 1, existe una única descomposición de n como suma de dos cuadrados. Luego, hay una única terna pitagórica primitiva y primaria (hipotenusa prima).



Si n es un número primo de la forma 4m + 3, no es posible descomponerlo en suma de dos cuadrados y, por tanto, no existe una terna pitagórica (se entiende, diofantina; o sea, con todos sus componentes enteros positivos. Siempre existen valores no enteros, como sucede en el trazado de una circunferencia –la ecuación canónica de la circunferencia es básicamente el teorema de Pitágoras- o en el cálculo trigonométrico).



Si n es compuesto, pueden pasar varias cosas:



El número n es descomponible en factores primos de la forma 4m + 1 o en factores primos de la forma 4m + 3 elevados a una potencia par, en ese caso n es descomponible como suma de dos cuadrados de varias maneras, tanto en ternas primitivas, como no primitivas.



El número n se descompone en factores primos, pero hay factores de la forma 4m + 3 elevados a potencias impares; n no es descomponible como suma de dos cuadrados, pero los factores de la forma 4m + 3 que molesten pueden agruparse en el entero k o factor común y descomponer la totalidad o una parte de los factores que sí dan descomposiciones como suma de dos cuadrados enteros y calcular los catetos en base a la descomposición considerada y al factor común. También hay varias ternas obtenibles, todas no primitivas.



Si n se descompone solamente en factores primos de la forma 4m + 3 todos distintos, o sea, elevados a la primera potencia, no hay forma de escribirlo como suma de dos cuadrados de números enteros.



Si bien esta descripción es completa, descomponer un número n lo suficientemente grande en factores primos puede ser una tarea extremadamente difícil. Por este motivo, no se considera que el problema esté exhaustivamente resuelto.



Volvamos al análisis. Tenemos, entonces, , que puede considerarse como una circunferencia con centro en el origen y radio o como una forma cuadrática ku² + kv² , cuyo discriminante es -4k², menor que cero; lo que indica que las soluciones x e y forman una elipse.



De cualquiera de las dos formas aparecen secciones cónicas en el análisis de cualquier ecuación algebraica de grado arbitrario n, entero positivo.



Si fuera fácil calcular u y v, podríamos llegar a despejar una raíz ; pero el estudio de estas formas cuadráticas está lejos de la completitud, si es que es posible lograr un análisis cabal de estas formas cuadráticas. Para más claridad: estas ecuaciones están resueltas pero sus raíces no están acotadas, en general. La falta de acotación de raíces resta valor práctico a estas consideraciones.



Lo que propongo analicen los que saben más que yo, tanto en teoría de ecuaciones como en teoría de números, es si resulta importante que para cada ecuación algebraica de cualquier orden exista una forma cuadrática asociada y si esto no entra en conflicto con la teoría de grupos de Galois.

También es importante dejar algo en claro:  En una ecuación de grado arbitrario n, pongamos por ejemplo una ecuación cúbica para no tener que editar una imagen gif, por falta de caracteres de texto, cuya expresión es: Ax³ +Bx²  +Cx + D = 0 , si los dos coeficientes B y C son nulos, no tenemos un triángulo rectángulo, pues la expresión de la suma de los cuadrados de las raíces es nula.Tenemos el caso de que, algebraicamente, mantenemos la forma de la expresión, pero no hay una figura geométrica correspondiente, a menos que consideremos un punto geométrico como un caso límite de un triángulo rectángulo sin dimensiones.

ALGUNAS EXPLICACIONES PARA LOS QUE ESTÁN COMENZANDO CON TEORÍA DE NÚMEROS

Primer paso: cómo se obtienen las soluciones enteras para el Teorema de Pitágoras

Al parecer, no es fácil encontrar en la literatura matemática ciertas cuestiones que pertenecen al mundo del matemático puro y que no se utilizan en la matemática aplicada con el mismo sentido o profundidad. En todas las técnicas bastará casi siempre con tres o cuatro decimales y, aunque todo ingeniero o científico sabe de la existencia de los números irracionales y de los reales, algebraicos o trascendentes, nadie se preocupa por saber si el resultado que le da su calculadora científica es un número algebraico explícito o no. (Un número algebraico explícito es aquel que puede escribirse mediante las operaciones algebraicas elementales: suma, multiplicación, radicación de cualquier índice y potenciación de cualquier índice, un número finito de veces).

Para el matemático puro existen números algebraicos, es decir, que son soluciones de ecuaciones algebraicas, pero que no es posible escribir mediante fórmulas algebraicas. Sin embargo, no son trascendentes. La existencia de refinadísimas técnicas matemáticas para intentar resolver estas cuestiones está fuera de la experiencia y del entrenamiento necesario para cualquier técnico o científico fáctico. Hasta puede que cause asombro a alguno de ellos el hecho de que los matemáticos "pierdan el tiempo" en semejantes cuestiones. Se da la situación cuasi paradojal de que muchos matemáticos son menos hábiles en la resolución de ciertas ecuaciones diferenciales que físicos e ingenieros dominan, cuando tienen un gran saber acumulado en cuestiones que la ciencia diaria ignora o no utiliza. Lo que sucede es que el mundo del matemático es muy metafísico e ideal, sus objetos no son practicables. La simple raíz cuadrada de dos existe únicamente en la mente de los matemáticos como un todo, pues nadie podría dar la infinitud de sus decimales, sino una aproximación racional por exceso o por defecto que sea útil a la precisión del cálculo práctico a efectuar. Por esa razón, muchos textos eluden ciertas demostraciones, pues están orientados a la utilización de la matemática y no a su creación o desarrollo.

Sigue una demostración de la obtención de soluciones enteras para la ecuación x² + y² = z² de la manera menos formal posible.

La ecuación x² + y² = z² puede tener la interpretación geométrica de describir todos los triángulos rectángulos que puedan concebirse; pues "la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa". También es la descripción de una circunferencia con centro en (0, 0) y radio z (Comparar con la trigonometría). La resolución de esta ecuación en números enteros, equivale en el primer caso a encontrar todos los triángulos rectángulos con lados e hipotenusa enteros, que pueden llamarse tanto triángulos pitagóricos, triángulos de Pitágoras, o triángulos rectángulos diofánticos o diofantinos. (En honor a Diofanto de Alejandría, que estudió problemas a ser resueltos únicamente en números enteros)

Si designamos por d al divisor común máximo entre los números enteros x e y, tenemos que:
x = x'd y, también, y = y'd

La ecuación tomará la forma (x')²d² + (y')²d² = z². Es evidente que d² también divide a z², simplemente, aplicando la propiedad distributiva. Por tanto la ecuación queda reducida a una expresión "de la misma forma" algebraica: (x')² + (y')² = (z')². Esto demuestra que basta considerar el caso particular en el que los números x e y no tienen divisores comunes distintos de la unidad. Si el divisor común máximo entre x e y es 1, x e y son de distinta paridad, uno par y el otro impar.

Ahora escribamos la ecuación como una diferencia de cuadrados: x² = z² - y² = (z + y) (z - y) [*]. Nuevamente, si d' es el divisor común máximo de (z + y) y (z - y), tenemos que z + y = md' y z - y = nd'.

Si sustituimos estos valores en los paréntesis de [*], nos queda: x² = mn (d')². Como m y n no tienen divisores comunes, la igualdad es válida únicamente cuando m y n son cuadrados perfectos; luego: m = u² y n= v². Así x² = u² v² (d')² y x = uv d'.

Ahora tomemos otra vez las igualdades z + y = m d' y z - y = nd'. Las sumaremos para obtener el valor de z en función de los cuadrados de u y v encontrados y restaremos la segunda de la primera para saber el valor de y.

2z = md' + nd' = u² d' + v²d'; z = ½ (u²+ v²) d'
2y = md' - nd' = u² d' - v² d'; y = ½ (u² - v²) d'

Como hemos exigido que x e y fueran primos entre sí, de las expresiones x = uv d' e y = ½ (u² - v²) d' se deduce que d' = 1. También concluimos que m y n son primos entre sí; por lo tanto, los números u² y v² -relacionados a ellos por igualdades- también lo son. Y como m > n para que el valor del lado no resulte menor que cero, también u > v.

Sustituyendo d' por la unidad, las expresiones para las tres indeterminadas son:

x = uv, y = ½ (u² - v²) y z = ½ (u² + v²). Aquí u y v deben ser ambos primos entre sí, impares y u > v. En esas condiciones, tomando valores arbitrarios para u y v obtenemos todos los triángulos rectángulos con lados enteros primos entre sí. Para tener todos los triángulos posibles, basta multiplicar a los que poseen lados primos entre sí por un factor común entero positivo cualquiera.

Una observación necesaria: si multiplicamos por 2 todas las expresiones, tenemos la forma en que he tratado las soluciones en los demás textos; a saber. x = 2uv, y = u² - v² y z = u² + v².

Esta inocente multiplicación por 2 de todos los miembros cambia la paridad de los enteros u y v; ahora deben ser de distinta paridad, y no ambos impares como antes, para conservar los resultados. Esto muestra lo cuidadoso que se debe ser en los análisis de estas cuestiones.

Para obtener las soluciones tanto enteras como racionales, el razonamiento se realiza de forma análoga, pero dividiendo todo por z², de manera que se llega a la ecuación (x/z)² + (y/z)² = 1, como puede verse en el libro "División Inexacta", de A. A. Belski y L- A. Kaluzhnin, Lecciones Populares de Matemáticas, Editorial Mir, Moscú, 1980.

Espero esto sea de utilidad para todos los interesados.