¿Infinitos primos gemelos?

Siguiendo el método del artículo anterior, me permito abordar el problema abierto de la existencia de infinitos pares de primos gemelos. Se llama primos gemelos a dos números primos consecutivos. Por ejemplo: el 5 y el 7 ó 17 y 19. Los únicos primos consecutivos que difieren en una unidad son el 2 y el 3. Como todos los demás son impares, la diferencia será igual a 2.

Como en el caso anterior, planteemos una ecuación cuadrática, en principio, en una variable:

x² - bx + c = 0

Sea c igual al producto de dos primos gemelos. Luego, c = p (p + 2) = p² + 2p

Si queremos que p y p + 2 sean raíces de la ecuación, b debe ser igual a: p + p + 2 = 2p + 2.

Reemplacemos en la ecuación original:

x² - (2p + 2)x + p² + 2p = 0

En este caso p no es una variable, sino que es un valor determinado primo impar. Si quisiéramos investigar a la totalidad de los números primos impares, deberíamos convertir a p en una variable "y". Hagámoslo.

x² - (2y + 2)x + y² + 2y = 0

Haciendo las operaciones y reordenando, tenemos:

x² - 2yx - 2x + 2y + y² = 0

Si se pudiera determinar la cantidad de soluciones enteras para esta ecuación diofántica cuadrática en dos variables, se podría resolver el problema de la potencia del conjunto de los primos gemelos. Es más: si las raíces de esta ecuación están acotadas, se podría llegar a obtener soluciones concretas; es decir, pares de primos gemelos de cualquier magnitud humanamente manejable.

Sin embargo, "y" no siempre representará a un número primo; esta ecuación también puede tener soluciones enteras compuestas impares consecutivas.  Los pares de primos gemelos serán un subconjunto de esas soluciones. Los primos gemelos sumados dan un número par divisible por 12. Esto es inmediato: la suma de dos números impares es par; también es el doble de la media aritmética de esos dos primos, que no es otra cosa que el número par que los separa; que, a su vez, es divisible por 3, puesto que es el único compuesto entre tres números enteros consecutivos.

A priori, uno podría suponer que la ecuación es una cónica. Pero resulta ser una forma degenerada. Resulta ser dos rectas paralelas de pendiente unitaria, una de ellas x = y y la otra x - 2 = y. Hay infinitas soluciones, pero su forma no aporta nada al tema.

La conjetura fuerte de Goldbach

Hardy lo calificó como el problemas más difícil, no solamente de la teoría de números sino, de toda la matemática.

No soy quien para desautorizar a Hardy. Apenas un aficionado mediocre o peor.

Sin embargo, a veces la dificultad disminuye si se encuentra una manera de enunciar el problema que lo lleve a un terreno menos escabroso.

La conjetura dice que todo número entero positivo par mayor que 4 es expresable como suma de dos números primos impares, pudiendo repetirse un mismo número primo.

Se me ocurre que está suficientemente estudiado el caso de las ecuaciones cuadráticas diofánticas (o diofantinas). Si no exhaustiva o cabalmente, por lo menos en grado suficiente.

Sea una ecuación cuadrática en una variable x² -bx + c = 0. b es un número entero par mayor que 4, si y solo si existe por lo menos un entero positivo c tal que la ecuación tiene dos raíces enteras impares mayores o iguales que 3.

Yo diría que esto mismo puede ser un buen camino para demostrarlo. En teoría de ecuaciones hace mucho que se sabe que el entero c es igual al producto de las raíces y que el entero b es la suma de esas raíces. También, el teorema general de la aritmética garantiza que hay una infinidad de enteros impares tales que son producto de dos números primos impares, cualesquiera sean estos primos. Y la suma de dos números impares es un número par. Si no está claro que todo par es un "b" generado por la suma de dos primos que factorean un "c", habría que suponer que hay un b que no es generado por un c en esas condiciones y llegar a un absurdo. Planteado el problema como una ecuación cuadrática, tenemos a mano la teoría de Galois y todo lo que se sabe de ecuaciones cuadráticas en una y dos variables.