En las ciencias exactas
fácticas, como la física o la química, o en la filosofía, existe la
preocupación por que las teorías que se elaboran tengan concordancia con la
realidad objetiva. Los modelos que se proponen explican “la realidad” dentro de
los márgenes de error de los experimentos o de las medidas y se aceptan como
una descripción de lo que nos rodea (No
la realidad misma) hasta que alguna predicción hecha a partir de la
teoría no se cumpla. Una discrepancia seria es una suerte de alarma que anuncia
que la teoría debe ser reemplazada por otra. Por ello, nunca se puede demostrar
la verdad de una teoría, ni tiene sentido preguntar si es verdadera o falsa; las teorías son válidas
o inválidas, en tanto puedan ser útiles para explicar, calcular o predecir la
realidad tal como la conocemos. Muchas veces sucede que ciertas descripciones
teóricas son criticadas por otros científicos no porque no permitan predecir el
resultado de fenómenos o experimentos, sino porque algún aspecto de la
descripción no concuerda con la idea que se tiene del objeto real. En la
historia de la física nuclear hay una anécdota de Paul Dirac que sirve muy bien
de ilustración: este eminente científico planteó una ecuación que explicaba
ciertos aspectos de las partículas atómicas en términos de energía. La
particularidad de esa fórmula era que admitía soluciones en energías menores
que cero, algo no observado* ni sospechado por los físicos
de entonces. Muchos científicos hubieran descartado o limitado el uso de este
modelo por ser parcialmente carente de sentido, pero Dirac no terminó todo
allí: usando la razón, reflexionó acerca de ello y predijo la existencia de
antimateria. Otro ejemplo típico es la Teoría de la Gravitación de Newton.
Actualmente nadie la da por válida; ha sido reemplazada por la Teoría General
de la Relatividad de Einstein. Pero, excepto en dos o tres casos especiales,
ambas teorías coinciden en sus resultados y la matemática newtoniana es mucho
más sencilla que la que utilizó Einstein; de tal forma que el hombre pisó la
Luna utilizando los cálculos de Newton y no los de Einstein.
Algunos matemáticos están libres
de las ataduras a la realidad concreta y esto convierte a la matemática pura en
algo muy especial, que trataré de explicar en los párrafos siguientes.
Un poco de axiomática.
Podemos definir “intuitivamente”
el concepto de enunciado, como toda
expresión hecha en un lenguaje, de la cual tenga sentido inequívoco afirmar su
verdad o su falsedad. Por ejemplo: Napoleón gobernó Francia; podemos afirmar
con sentido su verdad o su falsedad. Hay una estructura más general y profunda
que los lógicos llaman proposición,
que atiende más al significado que a la forma de enunciación, pero no nos
internaremos en semejantes honduras. (Para la lógica de proposiciones las
expresiones “it’s raining” y “está
lloviendo” son dos enunciados diferentes y una misma proposición, y no es
necesario que los enunciados sean en lenguas diferentes)
La lógica no se ocupa del
contenido efectivo de verdad de un enunciado; o sea, no se interesa en una
calificación absoluta de verdad o falsedad concordante con la experiencia
acumulada. Para esta ciencia, calificar a un enunciado aislado como “verdadero”
tiene tanto sentido como calificarlo de “falso”. Al considerar más de un enunciado, muchas
veces la suposición de un valor de verdad para uno condiciona los valores de
verdad de otros. Así, por ejemplo, si suponemos verdadero un enunciado, su
negación debe ser forzosamente falsa. Otros enunciados son siempre verdaderos,
como “a o no a”, esto debido a su forma y no a su contenido. Cambiando el conectivo
“o” por “y”, tenemos “a y no a”, que es una contradicción.
El razonamiento consiste en un
encadenamiento de juicios o enunciados que termina en otro que resulta fundado
en los anteriores, que es una consecuencia ineludible de los anteriores. A
veces se dice que la matemática está casi enteramente basada en el razonamiento
deductivo. Una regla de oro que determina la validez de estos razonamientos es:
la verdad de los antecedentes determina la verdad del consecuente. Vale decir,
la conclusión se desprende de las premisas por necesidad, en virtud de ciertas
características lógicas, puramente formales de las mismas. En este tipo de
razonamiento la conclusión se desprende lógicamente de las premisas o no lo
hace; es esto último lo que la convierte en una ciencia exacta: no hay grado de probabilidad sino certeza.
Supuesta la verdad de los antecedentes, se deduce la verdad del consecuente;
una nada despreciable cualidad de conservar la veracidad del conocimiento; pero
ningún camino lógico conduce de la verdad del consecuente a la de los
antecedentes. Por eso Bertrand Russell dijo: “Toda la lógica depende de un si”
(if, en su lengua)
En cuanto a la naturaleza
deductiva de la matemática, Poincaré se preguntaba por qué no se reducía toda
esta ciencia a una tautología, a una rebuscada forma de decir “a es a”. Es
claro, el razonamiento deductivo contiene a la conclusión en las premisas; o
sea, no aporta conocimiento nuevo. Esta es una cuestión aún no resuelta. En la
ciencia que nos ocupa, otro modo de
establecer conocimientos es mediante la inducción completa; de todas formas, la
manera en la que se producen las ideas creadoras es una cuestión que excede el
marco de la lógica y el de la matemática.
Cuando se agrupan afirmaciones
con el fin de crear un conjunto desde el cual deducir o construir otros
conocimientos, nos encontramos con un sistema axiomático. Los enunciados que lo
componen pueden ser de dos clases: axiomas o postulados. Los axiomas son
enunciados de verdad evidente y los postulados no lo son; se pide al lector que
asuma su verdad. En la aritmética, por ejemplo, la infinitud del proceso de
cuenta es un postulado; no es evidente ni demostrable. A un sistema axiomático
se le piden varias cosas:
a)
Que sea consistente o
compatible.
Significa que ningún axioma o postulado debe ser contradictorio en sí mismo ni
contradecir total o parcialmente a los demás enunciados del sistema. Si ello
ocurriera, todo el sistema y sus consecuencias serían contradictorios,
totalmente inservibles.
b)
Que los enunciados sean
lógicamente independientes entre sí. Esto quiere decir que ningún enunciado (o
sus partes) debe deducirse de otro o de una combinación de otros.
c)
Que sea completo. Es decir, que ninguna
afirmación que se haga en base al sistema carezca de una demostración de su
verdad o falsedad relativa a la verdad supuesta de los enunciados del sistema
axiomático. Si aparece una afirmación imposible de demostrar a partir del
sistema, estamos ante lo que los lógicos llaman un “indecidible”. Este
indecidible, su negación u otra afirmación o negación lógicamente dependiente
del indecidible, deben formar parte del sistema axiomático que, de otra forma, queda incompleto.
De las tres condiciones pedidas,
la más indispensable es la primera y la más difícil de lograr es la última.
Hace poco tiempo se demostró el carácter indecidible de la Hipótesis del Continuo.
En 1931, Kurt Gödel publicó un trabajo denominado “Sobre Proposiciones
Formalmente Indecidibles de Principia Mathemática y Sistemas Análogos”, obra
excepcional que le valió el nombramiento de Doctor Honoris Causa otorgado por la Universidad de
Harvard. En esa obra Gödel demuestra que cualquier sistema axiomático lo
bastante rico como para describir la aritmética de los números naturales, sería
de necesidad incoherente o incompleto. Toda la no contradicción de la
matemática ha sido reducida a la no contradicción de los axiomas de la Teoría
de Conjuntos, pero este problema no tiene solución; puesto que podríamos hallar
otro sistema más general que fuera verificado por estos axiomas y hacer
depender la no contradicción del sistema de la Teoría de Conjuntos a la misma
condición del nuevo sistema hallado. Eso es hacer retroceder el problema o
rebautizarlo, hasta el infinito.
El trabajo de Gödel nos dice que,
en el mejor caso, no podremos hallar toda la verdad por nuestro propio esfuerzo
y, en el peor -¡Dios nos libre!- que nuestro conocimiento podría ser totalmente
incoherente y no servir para nada. Esto no se refiere a la experiencia fáctica
acumulada, sino al sistema racional que usamos para explicar la realidad y
fundamentar nuestros conocimientos. Además, no es aplicable a todo el
conocimiento, sino a sistemas como el de los axiomas de los números naturales;
los números reales no entran en esta categoría.
Con respecto a lo mencionado en
la condición “b”, el problema se resuelve cambiando el axioma en estudio por su
negación. Si su negación no introduce contradicción con ninguno de los axiomas
restantes o sus combinaciones, tendremos que, si el sistema no es en sí mismo
contradictorio, entonces, el axioma analizado es lógicamente independiente.
Ello se debe a que si fuera lógicamente dependiente se deduciría de algún
axioma o de una combinación de ellos y, por supuesto, aceptada la verdad de los
antecedentes, forzosamente tendría que ser verdadero. Al introducir su negación
como “verdadera” (que deberá ser necesariamente falsa si ocurre lo primero), el
sistema se volverá contradictorio. Este mismo proceso es el que usamos cuando
demostramos un teorema por el absurdo: negamos lo que queremos demostrar (o
sea, aceptamos la verdad de la negación) y, si es deducible del sistema, la
negación nos llevará a una contradicción. Esta forma de
demostración es “cómoda”, porque a veces es muy difícil plantear una
demostración “directa”; pero no todos los matemáticos admiten este tipo de
argumentación. Hay una escuela que no se conforma con la no contradicción, sino
que exige la construcción efectiva del concepto a demostrar.
A partir de la axiomática pueden
ocurrir varias cosas:
Una es la creación de una
matemática abstracta; veamos un ejemplo tomado de la monumental obra Análisis
Matemático I, de Julio Rey Pastor, Pedro Pi Calleja y César Alberto Trejo,
Editorial Kapelusz, Buenos Aires, octava edición, 1969:
Axioma I. Entre ciertos elementos P y ciertos elementos
r existe una relación “determina” tal que:
Dos P (P1
y P2) determinan un r, y sólo uno.
Definición 1.
Diremos que P1 y P2 pertenecen a r, o que r pasa por P1
y por P2.
Axioma II. Existe (por lo menos) un P.
Axioma III. A cada r pertenecen por lo menos dos P distintos.
Axioma IV.
Por cada P pasan por lo menos dos r distintos.
Interpretación 1: P son los
puntos y r las rectas en la geometría del espacio.
Interpretación 2: P son las
rectas y r los puntos en la geometría del espacio.
Interpretaciones 3 y 4: lo mismo
que 1 y 2 en la geometría del plano. En cambio, no podemos adoptar la
interpretación 1 en la geometría de la recta, pues cae en defecto el axioma IV.
Interpretación 5: P son las
circunferencias de un plano y r los haces de circunferencias (conjuntos de
circunferencias tales, que dos a dos, tienen el mismo eje radical).
Interpretaciones 6 y 7: P y r
son los vértices y lados (lados y vértices) de un triángulo.
Interpretaciones 8 y 9: P y r
son los vértices y aristas (aristas y vértices) de un tetraedro.
Interpretación 10: P son los
elementos a, b, c y r, los conjuntos: {a, b}, {b, c} y {c, a}
Interpretación 11: P son las
provincias de Buenos Aires, Córdoba y Santa Fe, y r, las fronteras entre cada
dos de ellas.
Aquí podemos dedicarnos a la
investigación de problemas “en abstracto” como, por ejemplo, demostrar el
teorema “existen (por lo menos) tres P distintos” (aplicando sucesivamente los
axiomas II, IV, III y I); o trabajar en alguna interpretación concreta, que
puede ser con objetos matemáticos (de existencia ideal), objetos del mundo
físico o aún de otra teoría abstracta.
Pero todavía podemos hacer más:
Si los axiomas son lógicamente independientes, puede sustituirse cualquiera de
ellos -o hasta un conjunto- por sus negaciones. De esta forma, para un sistema
de n axiomas hay por lo menos 2n matemáticas diferentes. Digo por lo
menos, porque para cada negación puede haber más de una posibilidad, como fue
el caso de las geometrías no euclidianas (negación del axioma de las
paralelas). Este no es un terreno que pueda transitar triunfalmente cualquiera;
pero saberlo amplía nuestra mente y justifica la frase de George Cantor: “La esencia de la matemática es su
libertad”.
De todos los científicos, los
matemáticos somos los económicamente más pobres. Casi nadie invierte dinero en
la investigación matemática, porque la mayoría de los resultados no son
inmediatamente prácticos. Como excepción a la regla, podría decirse que los que
se dedican a la criptografía o al descifrado de claves tienen el apoyo de
algunos gobiernos, dado el valor estratégico de sus hallazgos. Aunque estemos
solos o acompañados por algunos amigos pobres como nosotros, también es cierto
que lo único indispensable para nuestra investigación es: ganas, tiempo, papel
y lápiz. No necesitamos sincrotrones, cohetes, ni instrumentos caros. Sólo
libertad de pensamiento. Y ello es posible aún en una cárcel. En nuestra
ciencia no hay lugar para el “¿para qué sirve?” y tampoco para los accionistas.
Mejor para nosotros. De todas formas, este juego, ocioso y elitista para
algunos, resulta indispensable como herramienta y lenguaje no ambiguo para la
expresión y el desarrollo de las ciencias y las técnicas más concretas.
*En
realidad, la energía negativa no es observable. Dirac sugirió un “mar de electrones” que llenaba y
neutralizaba ese nivel de energía negativa y creó una teoría “de los huecos”, que,
muy rápidamente, dice que al crear un hueco en ese “mar”, éste se comporta y
detecta como una antipartícula de energía positiva.
