Proposición I

Se propone demostrar la veracidad de la siguiente afirmación:

Si A designa a un ángulo central de una circunferencia y B y C a otros dos, tales que están en progresión aritmética de razón A/5 y A > B > C, los arcos rectificados de tales ángulos forman un triángulo rectángulo semejante al triángulo sagrado egipcio (3, 4, 5).

Como ejemplo aclaratorio, tenemos que el triángulo sagrado egipcio (3, 4, 5) tiene sus lados correspondientes a las longitudes rectificadas de los arcos de los ángulos centrales:
171, 8873385º, 229, 1831181º y 286, 4788976º; siendo la razón de la progresión aritmética el ángulo de un radián: 57,29577951º, que es la quinta parte de 286, 4788976º .


La demostración es inmediata. (Agregado el 27-09-2007)

Si A es el ángulo mayor, A/5 es la razón de la serie aritmética. Luego, A - A/5 = B = 4/5 A. El tercer ángulo de la serie es A - 2/5 A = B - 1/5 A = 3/5 A.


Si elevamos al cuadrado cada elemento de la serie, se da la igualdad siguiente:

A² = 16/25 A² + 9/25 A² = 25/25 A² = A² [1]


O sea la suma de los cuadrados de los dos ángulos menores es igual al cuadrado del mayor, que es lo que se necesitaba demostrar para determinar que es un triángulo rectángulo. También se ve claramente la semejanza con el triángulo sagrado egipcio porque aparecen los números 3 y 4 en los catetos, divididos por 5. El ángulo inicial está mulitplicado por la unidad, de manera que el triángulo genérico que encontramos es: (3/5, 4/5, 1). Este triángulo es igual al producto de 1/5 por (3, 4, 5) y sabemos que cualquier producto n (3, 4, 5) conserva las proporciones.


La longitud del arco abarcado por un ángulo es proporcional al ángulo, de tal forma que es equivalente medir ángulos en grados o por la longitud de sus arcos. En esto se basa el sistema de medición en radianes.


Un ángulo A se expresará en longitud de arco abarcado estableciendo la proporción entre la circunferencia total, igual a 2 pi radio, y el ángulo; de manera que si A se mide en grados sexagesimales, A resulta multiplicado por 2 pi radio/360 = pi radio/180. Si A está expresado en grados centesimales, será multiplicado por pi radio/200. Como todos los ángulos de la serie estarán multiplicados por una constante, la igualdad [1] se conservará.


Queda así establecida la proposición como teorema.