sábado, 2 de junio de 2018

Una demostración pendiente


En el artículo "¿Hay un saber matemático oculto?", del 19 de agosto de 2007, afirmo que es posible demostrar que si existe un ángulo construible con regla y compás que no sea múltiplo de 3, todos los demás ángulos de un número entero de grados tambíén serían construibles. He aquí la demostración.


Los ángulos de un número entero de grados sexagesimales que son construibles con regla y compás son múltiplos de 3. Si un ángulo de un número entero de grados sexagesimales no múltiplo de 3 fuera construible con regla y compás, todos los demás ángulos de un número entero de grados también lo serían.

Veámoslo:

Si un entero no es múltiplo de 3, hay dos restos posibles al dividirlo por 3: 1 y 2.
Sea m.3 + 1 el número entero de grados sexagesimales de un ángulo no múltiplo de 3 construible. Como m.3 es un ángulo construible, la resta entre m.3 + 1 y m.3 nos da por resultado 1. Aplicando la fórmula trigonométrica correspondiente a una diferencia de ángulos, si los dos valores trigonométricos introducidos en ella son cuadráticos, el resultado también lo será. Por lo tanto, el ángulo unidad tendría así una expresión cuadrática y sería también construible. Como transportar n veces el arco de circunferencia que subtiende un ángulo es una operación de regla y compás, entonces, todos los ángulos de un número entero de grados serían construibles euclidianamente.

Para el caso n.3 + 2, análogamente, el ángulo construible sería el de 2º. Su bisección es posible con regla y compás y llegaríamos al ángulo unitario y a la misma conclusión que en el caso anterior.

Por esta razón no es suficiente plantear una ecuación no cuadrática e irreducible para decir que un ángulo no es construible, habría que demostrar, además, que no existe ningún ángulo no múltiplo de 3º sexagesimales cuyas funciones trigonométricas sean cuadráticas.



domingo, 6 de mayo de 2018

El viejo y querido Último Teorema de Fermat


En respuesta al comentario de un lector, subo este pequeño trabajo con la esperanza de que pueda ser útil de alguna manera.


Al considerar la identidad a + b = a² - b²/ a - b  llamó a esto la generalización de la suma. No es una generalización.

a + a = 2a   pero a² - a²/a - a = 0/0. 0/0 es una indeterminación y la expresión a + a = 0/0 no tiene sentido.

domingo, 18 de marzo de 2018

La Matemática, una ciencia muy "sui generis"



En las ciencias exactas fácticas, como la física o la química, o en la filosofía, existe la preocupación por que las teorías que se elaboran tengan concordancia con la realidad objetiva. Los modelos que se proponen explican “la realidad” dentro de los márgenes de error de los experimentos o de las medidas y se aceptan como una descripción de lo que nos rodea (No la realidad misma) hasta que alguna predicción hecha a partir de la teoría no se cumpla. Una discrepancia seria es una suerte de alarma que anuncia que la teoría debe ser reemplazada por otra. Por ello, nunca se puede demostrar la verdad de una teoría, ni tiene sentido preguntar si  es verdadera o falsa; las teorías son válidas o inválidas, en tanto puedan ser útiles para explicar, calcular o predecir la realidad tal como la conocemos. Muchas veces sucede que ciertas descripciones teóricas son criticadas por otros científicos no porque no permitan predecir el resultado de fenómenos o experimentos, sino porque algún aspecto de la descripción no concuerda con la idea que se tiene del objeto real. En la historia de la física nuclear hay una anécdota de Paul Dirac que sirve muy bien de ilustración: este eminente científico planteó una ecuación que explicaba ciertos aspectos de las partículas atómicas en términos de energía. La particularidad de esa fórmula era que admitía soluciones en energías menores que cero, algo no observado* ni sospechado por los físicos de entonces. Muchos científicos hubieran descartado o limitado el uso de este modelo por ser parcialmente carente de sentido, pero Dirac no terminó todo allí: usando la razón, reflexionó acerca de ello y predijo la existencia de antimateria. Otro ejemplo típico es la Teoría de la Gravitación de Newton. Actualmente nadie la da por válida; ha sido reemplazada por la Teoría General de la Relatividad de Einstein. Pero, excepto en dos o tres casos especiales, ambas teorías coinciden en sus resultados y la matemática newtoniana es mucho más sencilla que la que utilizó Einstein; de tal forma que el hombre pisó la Luna utilizando los cálculos de Newton y no los de Einstein.

Algunos matemáticos están libres de las ataduras a la realidad concreta y esto convierte a la matemática pura en algo muy especial, que trataré de explicar en los párrafos siguientes.



Un poco de axiomática.


Podemos definir “intuitivamente” el concepto de enunciado, como toda expresión hecha en un lenguaje, de la cual tenga sentido inequívoco afirmar su verdad o su falsedad. Por ejemplo: Napoleón gobernó Francia; podemos afirmar con sentido su verdad o su falsedad. Hay una estructura más general y profunda que los lógicos llaman proposición, que atiende más al significado que a la forma de enunciación, pero no nos internaremos en semejantes honduras. (Para la lógica de proposiciones las expresiones  “it’s raining” y “está lloviendo” son dos enunciados diferentes y una misma proposición, y no es necesario que los enunciados sean en lenguas diferentes)

La lógica no se ocupa del contenido efectivo de verdad de un enunciado; o sea, no se interesa en una calificación absoluta de verdad o falsedad concordante con la experiencia acumulada. Para esta ciencia, calificar a un enunciado aislado como “verdadero” tiene tanto sentido como calificarlo de “falso”.  Al considerar más de un enunciado, muchas veces la suposición de un valor de verdad para uno condiciona los valores de verdad de otros. Así,  por ejemplo,  si suponemos verdadero un enunciado, su negación debe ser forzosamente falsa. Otros enunciados son siempre verdaderos, como “a o no a”, esto debido a su forma  y no a su contenido. Cambiando el conectivo “o” por “y”, tenemos “a y no a”, que es una contradicción.

El razonamiento consiste en un encadenamiento de juicios o enunciados que termina en otro que resulta fundado en los anteriores, que es una consecuencia ineludible de los anteriores. A veces se dice que la matemática está casi enteramente basada en el razonamiento deductivo. Una regla de oro que determina la validez de estos razonamientos es: la verdad de los antecedentes determina la verdad del consecuente. Vale decir, la conclusión se desprende de las premisas por necesidad, en virtud de ciertas características lógicas, puramente formales de las mismas. En este tipo de razonamiento la conclusión se desprende lógicamente de las premisas o no lo hace; es esto último lo que la convierte en una ciencia exacta: no hay grado de probabilidad sino certeza. Supuesta la verdad de los antecedentes, se deduce la verdad del consecuente; una nada despreciable cualidad de conservar la veracidad del conocimiento; pero ningún camino lógico conduce de la verdad del consecuente a la de los antecedentes. Por eso Bertrand Russell dijo: “Toda la lógica depende de un si” (if, en su lengua)

En cuanto a la naturaleza deductiva de la matemática, Poincaré se preguntaba por qué no se reducía toda esta ciencia a una tautología, a una rebuscada forma de decir “a es a”. Es claro, el razonamiento deductivo contiene a la conclusión en las premisas; o sea, no aporta conocimiento nuevo. Esta es una cuestión aún no resuelta. En la ciencia que nos ocupa,  otro modo de establecer conocimientos es mediante la inducción completa; de todas formas, la manera en la que se producen las ideas creadoras es una cuestión que excede el marco de la lógica y el de la matemática.

Cuando se agrupan afirmaciones con el fin de crear un conjunto desde el cual deducir o construir otros conocimientos, nos encontramos con un sistema axiomático. Los enunciados que lo componen pueden ser de dos clases: axiomas o postulados. Los axiomas son enunciados de verdad evidente y los postulados no lo son; se pide al lector que asuma su verdad. En la aritmética, por ejemplo, la infinitud del proceso de cuenta es un postulado; no es evidente ni demostrable. A un sistema axiomático se le piden varias cosas:

a)                           Que sea consistente o compatible. Significa que ningún axioma o postulado debe ser contradictorio en sí mismo ni contradecir total o parcialmente a los demás enunciados del sistema. Si ello ocurriera, todo el sistema y sus consecuencias serían contradictorios, totalmente inservibles.
b)                          Que los enunciados sean lógicamente independientes entre sí. Esto quiere decir que ningún enunciado (o sus partes) debe deducirse de otro o de una combinación de otros.
c)                           Que sea completo. Es decir, que ninguna afirmación que se haga en base al sistema carezca de una demostración de su verdad o falsedad relativa a la verdad supuesta de los enunciados del sistema axiomático. Si aparece una afirmación imposible de demostrar a partir del sistema, estamos ante lo que los lógicos llaman un “indecidible”. Este indecidible, su negación u otra afirmación o negación lógicamente dependiente del indecidible, deben formar parte del sistema axiomático  que, de otra forma, queda incompleto.


De las tres condiciones pedidas, la más indispensable es la primera y la más difícil de lograr es la última. Hace poco tiempo se demostró el carácter indecidible de la Hipótesis del Continuo. En 1931, Kurt Gödel publicó un trabajo denominado “Sobre Proposiciones Formalmente Indecidibles de Principia Mathemática y Sistemas Análogos”, obra excepcional que le valió el nombramiento de Doctor Honoris Causa otorgado por la Universidad de Harvard. En esa obra Gödel demuestra que cualquier sistema axiomático lo bastante rico como para describir la aritmética de los números naturales, sería de necesidad incoherente o incompleto. Toda la no contradicción de la matemática ha sido reducida a la no contradicción de los axiomas de la Teoría de Conjuntos, pero este problema no tiene solución; puesto que podríamos hallar otro sistema más general que fuera verificado por estos axiomas y hacer depender la no contradicción del sistema de la Teoría de Conjuntos a la misma condición del nuevo sistema hallado. Eso es hacer retroceder el problema o rebautizarlo, hasta el infinito.

El trabajo de Gödel nos dice que, en el mejor caso, no podremos hallar toda la verdad por nuestro propio esfuerzo y, en el peor -¡Dios nos libre!- que nuestro conocimiento podría ser totalmente incoherente y no servir para nada. Esto no se refiere a la experiencia fáctica acumulada, sino al sistema racional que usamos para explicar la realidad y fundamentar nuestros conocimientos. Además, no es aplicable a todo el conocimiento, sino a sistemas como el de los axiomas de los números naturales; los números reales no entran en esta categoría.

Con respecto a lo mencionado en la condición “b”, el problema se resuelve cambiando el axioma en estudio por su negación. Si su negación no introduce contradicción con ninguno de los axiomas restantes o sus combinaciones, tendremos que, si el sistema no es en sí mismo contradictorio, entonces, el axioma analizado es lógicamente independiente. Ello se debe a que si fuera lógicamente dependiente se deduciría de algún axioma o de una combinación de ellos y, por supuesto, aceptada la verdad de los antecedentes, forzosamente tendría que ser verdadero. Al introducir su negación como “verdadera” (que deberá ser necesariamente falsa si ocurre lo primero), el sistema se volverá contradictorio. Este mismo proceso es el que usamos cuando demostramos un teorema por el absurdo: negamos lo que queremos demostrar (o sea, aceptamos la verdad de la negación) y, si es deducible del sistema, la negación nos  llevará  a una contradicción. Esta forma de demostración es “cómoda”, porque a veces es muy difícil plantear una demostración “directa”; pero no todos los matemáticos admiten este tipo de argumentación. Hay una escuela que no se conforma con la no contradicción, sino que exige la construcción efectiva del concepto a demostrar.

A partir de la axiomática pueden ocurrir varias cosas:

Una es la creación de una matemática abstracta; veamos un ejemplo tomado de la monumental obra Análisis Matemático I, de Julio Rey Pastor, Pedro Pi Calleja y César Alberto Trejo, Editorial Kapelusz, Buenos Aires, octava edición, 1969:

Axioma I. Entre ciertos elementos P y ciertos elementos r existe una relación “determina” tal que:
Dos P (P1 y P2) determinan un r, y sólo uno.
Definición 1. Diremos que P1 y P2 pertenecen a r, o que r pasa por P1 y por P2.

Axioma II. Existe (por lo menos) un P.
Axioma III. A cada r pertenecen por lo menos dos P distintos.
Axioma IV. Por cada P pasan por lo menos dos r distintos.

Interpretación 1: P son los puntos y r las rectas en la geometría del espacio.
Interpretación 2: P son las rectas y r los puntos en la geometría del espacio.
Interpretaciones 3 y 4: lo mismo que 1 y 2 en la geometría del plano. En cambio, no podemos adoptar la interpretación 1 en la geometría de la recta, pues cae en defecto el axioma IV.
Interpretación 5: P son las circunferencias de un plano y r los haces de circunferencias (conjuntos de circunferencias tales, que dos a dos, tienen el mismo eje radical).
Interpretaciones 6 y 7: P y r son los vértices y lados (lados y vértices) de un triángulo.
Interpretaciones 8 y 9: P y r son los vértices y aristas (aristas y vértices) de un tetraedro.
Interpretación 10: P son los elementos a, b, c y r, los conjuntos: {a, b}, {b, c} y {c, a}
Interpretación 11: P son las provincias de Buenos Aires, Córdoba y Santa Fe, y r, las fronteras entre cada dos de ellas.


Aquí podemos dedicarnos a la investigación de problemas “en abstracto” como, por ejemplo, demostrar el teorema “existen (por lo menos) tres P distintos” (aplicando sucesivamente los axiomas II, IV, III y I); o trabajar en alguna interpretación concreta, que puede ser con objetos matemáticos (de existencia ideal), objetos del mundo físico o  aún de otra teoría abstracta.

Pero todavía podemos hacer más: Si los axiomas son lógicamente independientes, puede sustituirse cualquiera de ellos -o hasta un conjunto- por sus negaciones. De esta forma, para un sistema de n axiomas hay por lo menos 2n matemáticas diferentes. Digo por lo menos, porque para cada negación puede haber más de una posibilidad, como fue el caso de las geometrías no euclidianas (negación del axioma de las paralelas). Este no es un terreno que pueda transitar triunfalmente cualquiera; pero saberlo amplía nuestra mente y justifica la frase de George Cantor: “La esencia de la matemática es su libertad”.

De todos los científicos, los matemáticos somos los económicamente más pobres. Casi nadie invierte dinero en la investigación matemática, porque la mayoría de los resultados no son inmediatamente prácticos. Como excepción a la regla, podría decirse que los que se dedican a la criptografía o al descifrado de claves tienen el apoyo de algunos gobiernos, dado el valor estratégico de sus hallazgos. Aunque estemos solos o acompañados por algunos amigos pobres como nosotros, también es cierto que lo único indispensable para nuestra investigación es: ganas, tiempo, papel y lápiz. No necesitamos sincrotrones, cohetes, ni instrumentos caros. Sólo libertad de pensamiento. Y ello es posible aún en una cárcel. En nuestra ciencia no hay lugar para el “¿para qué sirve?” y tampoco para los accionistas. Mejor para nosotros. De todas formas, este juego, ocioso y elitista para algunos, resulta indispensable como herramienta y lenguaje no ambiguo para la expresión y el desarrollo de las ciencias y las técnicas más concretas.



*En realidad, la energía negativa no es observable. Dirac  sugirió un “mar de electrones” que llenaba y neutralizaba ese nivel de energía negativa y creó una teoría “de los huecos”, que, muy rápidamente, dice que al crear un hueco en ese “mar”, éste se comporta y detecta como una antipartícula de energía positiva.

Cómo calculé la tabla de valores trigonométricos


Se me ha preguntado qué método usé para calcular la tabla de valores algebraicos de las funciones seno y coseno de los ángulos del primer cuadrante.

Básicamente, partí de valores conocidos y obtuve otros mediante las fórmulas para la mediación de un ángulo y para suma o diferencia  de ángulos, principalmente.

Un valor conocido es: cos 30º = sen 60º = de donde podemos obtener, por mediaciones sucesivas, las funciones correspondientes a los ángulos de 15º, 7º 30’ y 3º 45’. A saber:



cos 15º =

cos 7º 30' =

cos 3º 45' =

Por otro lado podemos conocer el valor de sen 72º.

La cara plana de la Gran Pirámide de Giza nos provee el valor de 2sen 72º. Suponiendo una construcción basada en el número áureo y asimilando la base al valor “2”, tenemos que la altura es proporcional al número áureo Las aristas de la pirámide miden  que resulta ser 2 sen 72º y la diagonal de un pentágono. La función seno del ángulo de 72º es, entonces:


El coseno vale  y podemos mediar sucesivamente hasta el valor que queramos.

cos 36º = 

cos 18º = 

cos 9º = 

cos 4º 30' = 


Es posible obtener las funciones para 3º a partir de los ángulos de 7º 30’ y de 4º 30’, usando la fórmula para la diferencia de ángulos. Luego podemos duplicar o mediar para conocer los valores de las funciones trigonométricas para ángulos  múltiplos o submúltiplos de 3º.

Según el camino que se use para calcular obtendremos diferentes expresiones de un mismo número irracional cuadrático.

cos 4º 30' =


lunes, 12 de febrero de 2018

La Catedral de Chartres


Los templos católicos de la antigüedad estaban orientados en la dirección que sigue el Sol. El altar hacia el Este, porque los fieles marchan hacia la luz. Sin embargo, Chartres está orientada hacia el Noroeste, con un ángulo de cuarenta y ocho grados sexagesimales. Este santuario está ubicado en el paralelo cuarenta y ocho grados cuarenta y cinco minutos.

La longitud de un arco que abarque un grado sexagesimal en el citado paralelo es de 73.800 metros. Ahora bien, todas las líneas directrices de la catedral son múltiplos de 0,738 metros (1:100.000).

La distancia recorrida por un punto en una hora durante la rotación de la Tierra en la longitud de Chartres es 1.107 km y el largo de la nave central, desde la fachada hasta el fondo del ábside, es de 110,7 metros (1:10.000).


El ángulo de inclinación está a 48º del Norte y el edificio sobre el paralelo 48º 45'. La diferencia entre los dos ángulos es de 45'. Este ángulo de 45' es construible con regla no graduada de un solo borde y compás sin memoria de medida. Cabe 64 veces en el ángulo de desviación hacia el Noroeste (48º Norte) y 184 veces en el ángulo de desviación desde la dirección correcta (Orientación 138º Este).

Sería interesante determinar si esa diferencia es por un motivo no deseado  (que no hubiese un suelo adecuado para aguantar el peso del edificio en la ubicación exacta o que no fuera posible apropiarse del terreno por motivos legales o económicos) o fue un error deliberado y con significado. 

sábado, 3 de febrero de 2018

Templos y geometría sagrada (Continuación)


En la Edad Media, las materias aritmética, música, geometría y astronomía eran enseñadas como un cuerpo al que denominaban Quadrivium.

El ubicuo teorema de Pitágoras y el no menos presente triángulo sagrado egipcio están íntimamente entrelazados en todas las disciplinas del Quadrivium.

Sea, por ejemplo, la gama musical:

1 - 9/8 - 5/4 - 4/3 - 3/2 - 5/3 - 15/8 - 2 - 9/4 - 5/2 - ...

No importa la frecuencia a la que esté afinada la nota tónica “1” (que llamaremos “Do” ó “C”), las tres notas remarcadas en rojo forman un triángulo sagrado egipcio 1/2 (3, 4, 5)  . Pero esto no es todo. Si dibujamos el triángulo sagrado egipcio  y unimos el vértice correspondiente al ángulo recto del triángulo con la hipotenusa, de tal forma que la semirrecta corte a la hipotenusa en un ángulo recto, tendremos otros dos triángulos rectángulos semejantes. Éstos son:   6/10 (3, 4, 5) y 8/10 (3, 4, 5).

Sin pérdida de generalidad, supongamos que la nota Do ó C es Do4 o C4, entonces, los tres triángulos corresponden, respectivamente, a las notas:

(G4, C5, E5), (B3b, E4b, G4) y (E4b, A4b, C5), o bien, (Sol4, Do5, Mi5), (Si3b, Mi4b, Sol4

y  (Mi4b, La4b, Do5)

La letra “b” a la derecha de la nota indica que es el bemol de esa nota. Se logra afinando a una frecuencia igual a la frecuencia de la nota multiplicada por la fracción 24/25. Si unimos el vértice correspondiente al ángulo recto del triángulo sagrado con el punto medio de la hipotenusa (circuncentro) obtenemos dos triángulos isósceles. Uno de ellos tiene dos ángulos iguales que miden 36,869897645844021296855612559093…º y el ángulo desigual mide 106,26020470831195740628877488181…º. El otro tiene dos ángulos iguales que miden 53,130102354155978703144387440907…º y el ángulo desigual mide 73,739795291688042593711225118187…º. La función seno de este último ángulo mide exactamente 24/25.

En cuanto a la astronomía, en un artículo anterior escribí acerca de las relaciones que hay entre el triángulo sagrado egipcio y las revoluciones sinódicas de los planetas visibles.

Si dibujamos el triángulo sagrado egipcio 1/4 (3, 4, 5) en un doble cuadrado, el ángulo A es exactamente el valor del ángulo diedro del dodecaedro y éste, a la vez, es el doble del valor del ángulo del vértice superior de una cara de la Gran Pirámide (cara plana, pues el monumento tiene una concavidad de alrededor de 90 cm en la apotema). La gran Pirámide está vinculada de una manera interesante con la geometría de la esfera. También observamos que la gama musical diatónica está relacionada con la geometría de los cuerpos regulares y otros volúmenes básicos, como el cilindro y la esfera.



En un triángulo equilátero, la razón entre las áreas del círculo circunscrito y el inscrito es 4:1 (dos octavas). La razón entre el área del anillo entre los dos círculos concéntricos y el círculo inscrito es 3: 1 que, respecto de la escala anterior, corresponde a SOL (G) en la segunda octava respecto del DO inicial dado.
En un cuadrado, la relación entre el círculo circunscrito y el inscrito es 2: 1 (una octava) y en el hexágono es 4:3, que corresponde a FA (F).
El baricentro de cualquier triángulo dista dos tercios de la longitud de la mediana respecto del vértice. Dos tercios es la nota FA (F) de la octava anterior a un DO dado.
La misma relación se cumple tanto en el volumen como en la superficie de una esfera inscrita en un cilindro, respecto del volumen o de la superficie del cilindro.

La superficie de una esfera es cuatro veces la superficie de un círculo máximo en la esfera (dos octavas) y la superficie de un cilindro en el que está inscrita la esfera es seis veces la superficie de un círculo máximo de la esfera; o sea, un SOL dos octavas más alto respecto del DO inicial.


Recomiendo la lectura de los trabajos "El número y lo sagrado en el arte. Primera parte" y "El número y lo sagrado en el arte. Segunda parte", por María Cecilia Tomasini. Lic. en Física, Universidad Nacional de La Plata y Licenciada en Arte, Universidad de Palermo, Buenos Aires. Pueden ser vistos en Internet, en las siguientes direcciones:
http://www.palermo.edu/ingenieria/downloads/Investigacion/ElNumeroyloSagrado1P.pdf
http://www.palermo.edu/ingenieria/downloads/CyT%204/CYT406.pdf

Astronomía, geometría y orden: el simbolismo cosmológico en la ...

www.palermo.edu/ingenieria/downloads/CyT7/7CyT%2013.pdf
El orden geométrico y la proporción en el arte de la Cultura Olmeca
www.palermo.edu/ingenieria/downloads/CyT5/CYT508.pdf

También: "Las proporciones musicales en la catedral de Chartres", de la misma autora. Publicado en la revista Filomúsica, revista mensual de publicación en Internet, nº 65, junio de 2005