Una demostración pendiente

En el artículo "¿Hay un saber matemático oculto?", del 19 de agosto de 2007, afirmo que es posible demostrar que si existe un ángulo construible con regla y compás que no sea múltiplo de 3, todos los demás ángulos de un número entero de grados tambíén serían construibles. He aquí la demostración.

Los ángulos de un número entero de grados sexagesimales que son construibles con regla y compás son múltiplos de 3. Si un ángulo de un número entero de grados sexagesimales no múltiplo de 3 fuera construible con regla y compás, todos los demás ángulos de un número entero de grados también lo serían.

Veámoslo:

Si un entero no es múltiplo de 3, hay dos restos posibles al dividirlo por 3: 1 y 2.

Sea m.3 + 1 el número entero de grados sexagesimales de un ángulo no múltiplo de 3 construible. Como m.3 es un ángulo construible, la resta entre m.3 + 1 y m.3 nos da por resultado 1. Aplicando la fórmula trigonométrica correspondiente a una diferencia de ángulos, si los dos valores trigonométricos introducidos en ella son cuadráticos, el resultado también lo será. Por lo tanto, el ángulo unidad tendría así una expresión cuadrática y sería también construible. Como transportar n veces el arco de circunferencia que subtiende un ángulo es una operación de regla y compás, entonces, todos los ángulos de un número entero de grados serían construibles euclidianamente.

Para el caso n.3 + 2, análogamente, el ángulo construible sería el de 2º. Su bisección es posible con regla y compás y llegaríamos al ángulo unitario y a la misma conclusión que en el caso anterior.

Por esta razón no es suficiente plantear una ecuación no cuadrática e irreducible para decir que un ángulo no es construible, habría que demostrar, además, que no existe ningún ángulo no múltiplo de 3º sexagesimales cuyas funciones trigonométricas sean cuadráticas.

NOTA AGREGADA EL 25 DE DICIEMBRE DE 2018, modificada el 29/09/2020.

En la tabla de valores algebraicos de las funciones seno y coseno para ángulos del primer cuadrante calculo todos los posibles. Sin embargo, dado cualquier ángulo construible su mitad, o su cociente por una potencia de 2, también es construible con regla y compás. Dados dos ángulos construibles, también es construible la combinación lineal de ambos (nA +/- mB, donce n y m son enteros o racionales de denominador 2 ó una potencia cualquiera de 2)

También son construibles todos los ángulos de triángulos rectángulos cuyos catetos sean números enteros, racionales o irracionales cuadráticos.

No es posible deducir una excepción mediante combinaciones lineales con ángulos construibles.

Las expresiones racionales de ángulos sexagesimales construibles, con regla y compás, son divisibles por 3. Ejemplos:

157,5 º es divisible por 3; 1,125 º es divisible por 3; 1,875 º es divisible por 3. Pero eso no significa que la trisección sea posible con regla y compás.

En los casos provenientes de triángulos rectángulos, muchos ángulos parecieran ser de un número irracional de grados sexagesimales. Sin embargo, en los otros casos de expresiones enteras o racionales,los ángulos son múltiplos o submúltiplos de 3, constituyendo un anillo de múltiplos sin unidad. Cuando la expresión sexagesimal de un ángulo es un número irracional, ¿quiere decir que esa expresión es divisible por 3? Pero tiene infinitos decimales...