La Matemática, una ciencia muy "sui generis"

En las ciencias exactas fácticas, como la física o la química, o en la filosofía, existe la preocupación por que las teorías que se elaboran tengan concordancia con la realidad objetiva. Los modelos que se proponen explican “la realidad” dentro de los márgenes de error de los experimentos o de las medidas y se aceptan como una descripción de lo que nos rodea (No la realidad misma) hasta que alguna predicción hecha a partir de la teoría no se cumpla. Una discrepancia seria es una suerte de alarma que anuncia que la teoría debe ser reemplazada por otra. Por ello, nunca se puede demostrar la verdad de una teoría, ni tiene sentido preguntar si  es verdadera o falsa; las teorías son válidas o inválidas, en tanto puedan ser útiles para explicar, calcular o predecir la realidad tal como la conocemos. Muchas veces sucede que ciertas descripciones teóricas son criticadas por otros científicos no porque no permitan predecir el resultado de fenómenos o experimentos, sino porque algún aspecto de la descripción no concuerda con la idea que se tiene del objeto real. En la historia de la física nuclear hay una anécdota de Paul Dirac que sirve muy bien de ilustración: este eminente científico planteó una ecuación que explicaba ciertos aspectos de las partículas atómicas en términos de energía. La particularidad de esa fórmula era que admitía soluciones en energías menores que cero, algo no observado* ni sospechado por los físicos de entonces. Muchos científicos hubieran descartado o limitado el uso de este modelo por ser parcialmente carente de sentido, pero Dirac no terminó todo allí: usando la razón, reflexionó acerca de ello y predijo la existencia de antimateria. Otro ejemplo típico es la Teoría de la Gravitación de Newton. Actualmente nadie la da por válida; ha sido reemplazada por la Teoría General de la Relatividad de Einstein. Pero, excepto en dos o tres casos especiales, ambas teorías coinciden en sus resultados y la matemática newtoniana es mucho más sencilla que la que utilizó Einstein; de tal forma que el hombre pisó la Luna utilizando los cálculos de Newton y no los de Einstein.

Algunos matemáticos están libres de las ataduras a la realidad concreta y esto convierte a la matemática pura en algo muy especial, que trataré de explicar en los párrafos siguientes.

Un poco de axiomática.

Podemos definir “intuitivamente” el concepto de enunciado, como toda expresión hecha en un lenguaje, de la cual tenga sentido inequívoco afirmar su verdad o su falsedad. Por ejemplo: Napoleón gobernó Francia; podemos afirmar con sentido su verdad o su falsedad. Hay una estructura más general y profunda que los lógicos llaman proposición, que atiende más al significado que a la forma de enunciación, pero no nos internaremos en semejantes honduras. (Para la lógica de proposiciones las expresiones  “it’s raining” y “está lloviendo” son dos enunciados diferentes y una misma proposición, y no es necesario que los enunciados sean en lenguas diferentes)

La lógica no se ocupa del contenido efectivo de verdad de un enunciado; o sea, no se interesa en una calificación absoluta de verdad o falsedad concordante con la experiencia acumulada. Para esta ciencia, calificar a un enunciado aislado como “verdadero” tiene tanto sentido como calificarlo de “falso”.  Al considerar más de un enunciado, muchas veces la suposición de un valor de verdad para uno condiciona los valores de verdad de otros. Así,  por ejemplo,  si suponemos verdadero un enunciado, su negación debe ser forzosamente falsa. Otros enunciados son siempre verdaderos, como “a o no a”, esto debido a su forma  y no a su contenido. Cambiando el conectivo “o” por “y”, tenemos “a y no a”, que es una contradicción.

El razonamiento consiste en un encadenamiento de juicios o enunciados que termina en otro que resulta fundado en los anteriores, que es una consecuencia ineludible de los anteriores. A veces se dice que la matemática está casi enteramente basada en el razonamiento deductivo. Una regla de oro que determina la validez de estos razonamientos es: la verdad de los antecedentes determina la verdad del consecuente. Vale decir, la conclusión se desprende de las premisas por necesidad, en virtud de ciertas características lógicas, puramente formales de las mismas. En este tipo de razonamiento la conclusión se desprende lógicamente de las premisas o no lo hace; es esto último lo que la convierte en una ciencia exacta: no hay grado de probabilidad sino certeza. Supuesta la verdad de los antecedentes, se deduce la verdad del consecuente; una nada despreciable cualidad de conservar la veracidad del conocimiento; pero ningún camino lógico conduce de la verdad del consecuente a la de los antecedentes. Por eso Bertrand Russell dijo: “Toda la lógica depende de un si” (if, en su lengua)

En cuanto a la naturaleza deductiva de la matemática, Poincaré se preguntaba por qué no se reducía toda esta ciencia a una tautología, a una rebuscada forma de decir “a es a”. Es claro, el razonamiento deductivo contiene a la conclusión en las premisas; o sea, no aporta conocimiento nuevo. Esta es una cuestión aún no resuelta. En la ciencia que nos ocupa,  otro modo de establecer conocimientos es mediante la inducción completa; de todas formas, la manera en la que se producen las ideas creadoras es una cuestión que excede el marco de la lógica y el de la matemática.

Cuando se agrupan afirmaciones con el fin de crear un conjunto desde el cual deducir o construir otros conocimientos, nos encontramos con un sistema axiomático. Los enunciados que lo componen pueden ser de dos clases: axiomas o postulados. Los axiomas son enunciados de verdad evidente y los postulados no lo son; se pide al lector que asuma su verdad. En la aritmética, por ejemplo, la infinitud del proceso de cuenta es un postulado; no es evidente ni demostrable. A un sistema axiomático se le piden varias cosas:

a)                           Que sea consistente o compatible. Significa que ningún axioma o postulado debe ser contradictorio en sí mismo ni contradecir total o parcialmente a los demás enunciados del sistema. Si ello ocurriera, todo el sistema y sus consecuencias serían contradictorios, totalmente inservibles.

b)                          Que los enunciados sean lógicamente independientes entre sí. Esto quiere decir que ningún enunciado (o sus partes) debe deducirse de otro o de una combinación de otros.

c)                           Que sea completo. Es decir, que ninguna afirmación que se haga en base al sistema carezca de una demostración de su verdad o falsedad relativa a la verdad supuesta de los enunciados del sistema axiomático. Si aparece una afirmación imposible de demostrar a partir del sistema, estamos ante lo que los lógicos llaman un “indecidible”. Este indecidible, su negación u otra afirmación o negación lógicamente dependiente del indecidible, deben formar parte del sistema axiomático  que, de otra forma, queda incompleto.

De las tres condiciones pedidas, la más indispensable es la primera y la más difícil de lograr es la última. Hace poco tiempo se demostró el carácter indecidible de la Hipótesis del Continuo. En 1931, Kurt Gödel publicó un trabajo denominado “Sobre Proposiciones Formalmente Indecidibles de Principia Mathemática y Sistemas Análogos”, obra excepcional que le valió el nombramiento de Doctor Honoris Causa otorgado por la Universidad de Harvard. En esa obra Gödel demuestra que cualquier sistema axiomático lo bastante rico como para describir la aritmética de los números naturales, sería de necesidad incoherente o incompleto. Toda la no contradicción de la matemática ha sido reducida a la no contradicción de los axiomas de la Teoría de Conjuntos, pero este problema no tiene solución; puesto que podríamos hallar otro sistema más general que fuera verificado por estos axiomas y hacer depender la no contradicción del sistema de la Teoría de Conjuntos a la misma condición del nuevo sistema hallado. Eso es hacer retroceder el problema o rebautizarlo, hasta el infinito.

El trabajo de Gödel nos dice que, en el mejor caso, no podremos hallar toda la verdad por nuestro propio esfuerzo y, en el peor -¡Dios nos libre!- que nuestro conocimiento podría ser totalmente incoherente y no servir para nada. Esto no se refiere a la experiencia fáctica acumulada, sino al sistema racional que usamos para explicar la realidad y fundamentar nuestros conocimientos. Además, no es aplicable a todo el conocimiento, sino a sistemas como el de los axiomas de los números naturales; los números reales no entran en esta categoría.

Con respecto a lo mencionado en la condición “b”, el problema se resuelve cambiando el axioma en estudio por su negación. Si su negación no introduce contradicción con ninguno de los axiomas restantes o sus combinaciones, tendremos que, si el sistema no es en sí mismo contradictorio, entonces, el axioma analizado es lógicamente independiente. Ello se debe a que si fuera lógicamente dependiente se deduciría de algún axioma o de una combinación de ellos y, por supuesto, aceptada la verdad de los antecedentes, forzosamente tendría que ser verdadero. Al introducir su negación como “verdadera” (que deberá ser necesariamente falsa si ocurre lo primero), el sistema se volverá contradictorio. Este mismo proceso es el que usamos cuando demostramos un teorema por el absurdo: negamos lo que queremos demostrar (o sea, aceptamos la verdad de la negación) y, si es deducible del sistema, la negación nos  llevará  a una contradicción. Esta forma de demostración es “cómoda”, porque a veces es muy difícil plantear una demostración “directa”; pero no todos los matemáticos admiten este tipo de argumentación. Hay una escuela que no se conforma con la no contradicción, sino que exige la construcción efectiva del concepto a demostrar.

A partir de la axiomática pueden ocurrir varias cosas:

Una es la creación de una matemática abstracta; veamos un ejemplo tomado de la monumental obra Análisis Matemático I, de Julio Rey Pastor, Pedro Pi Calleja y César Alberto Trejo, Editorial Kapelusz, Buenos Aires, octava edición, 1969:

Axioma I. Entre ciertos elementos P y ciertos elementos r existe una relación “determina” tal que:

Dos P (P₁ y P₂) determinan un r, y sólo uno.

Definición 1. Diremos que P₁ y P₂ pertenecen a r, o que r pasa por P₁ y por P₂.

Axioma II. Existe (por lo menos) un P.

Axioma III. A cada r pertenecen por lo menos dos P distintos.

Axioma IV. Por cada P pasan por lo menos dos r distintos.

Interpretación 1: P son los puntos y r las rectas en la geometría del espacio.

Interpretación 2: P son las rectas y r los puntos en la geometría del espacio.

Interpretaciones 3 y 4: lo mismo que 1 y 2 en la geometría del plano. En cambio, no podemos adoptar la interpretación 1 en la geometría de la recta, pues cae en defecto el axioma IV.

Interpretación 5: P son las circunferencias de un plano y r los haces de circunferencias (conjuntos de circunferencias tales, que dos a dos, tienen el mismo eje radical).

Interpretaciones 6 y 7: P y r son los vértices y lados (lados y vértices) de un triángulo.

Interpretaciones 8 y 9: P y r son los vértices y aristas (aristas y vértices) de un tetraedro.

Interpretación 10: P son los elementos a, b, c y r, los conjuntos: {a, b}, {b, c} y {c, a}

Interpretación 11: P son las provincias de Buenos Aires, Córdoba y Santa Fe, y r, las fronteras entre cada dos de ellas.

Aquí podemos dedicarnos a la investigación de problemas “en abstracto” como, por ejemplo, demostrar el teorema “existen (por lo menos) tres P distintos” (aplicando sucesivamente los axiomas II, IV, III y I); o trabajar en alguna interpretación concreta, que puede ser con objetos matemáticos (de existencia ideal), objetos del mundo físico o  aún de otra teoría abstracta.

Pero todavía podemos hacer más: Si los axiomas son lógicamente independientes, puede sustituirse cualquiera de ellos -o hasta un conjunto- por sus negaciones. De esta forma, para un sistema de n axiomas hay por lo menos 2ⁿ matemáticas diferentes. Digo por lo menos, porque para cada negación puede haber más de una posibilidad, como fue el caso de las geometrías no euclidianas (negación del axioma de las paralelas). Este no es un terreno que pueda transitar triunfalmente cualquiera; pero saberlo amplía nuestra mente y justifica la frase de George Cantor: “La esencia de la matemática es su libertad”.

De todos los científicos, los matemáticos somos los económicamente más pobres. Casi nadie invierte dinero en la investigación matemática, porque la mayoría de los resultados no son inmediatamente prácticos. Como excepción a la regla, podría decirse que los que se dedican a la criptografía o al descifrado de claves tienen el apoyo de algunos gobiernos, dado el valor estratégico de sus hallazgos. Aunque estemos solos o acompañados por algunos amigos pobres como nosotros, también es cierto que lo único indispensable para nuestra investigación es: ganas, tiempo, papel y lápiz. No necesitamos sincrotrones, cohetes, ni instrumentos caros. Sólo libertad de pensamiento. Y ello es posible aún en una cárcel. En nuestra ciencia no hay lugar para el “¿para qué sirve?” y tampoco para los accionistas. Mejor para nosotros. De todas formas, este juego, ocioso y elitista para algunos, resulta indispensable como herramienta y lenguaje no ambiguo para la expresión y el desarrollo de las ciencias y las técnicas más concretas.

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*En realidad, la energía negativa no es observable. Dirac  sugirió un “mar de electrones” que llenaba y neutralizaba ese nivel de energía negativa y creó una teoría “de los huecos”, que, muy rápidamente, dice que al crear un hueco en ese “mar”, éste se comporta y detecta como una antipartícula de energía positiva.