lunes, 11 de enero de 2016

Cuadratura exacta de la rectificación de una circunferencia




Si preguntamos a cualquier persona con formación matemática si es posible construir euclidianamente un cuadrado de superficie equivalente a la rectificación de una circunferencia, dirá que no. Una circunferencia de radio unitario, por ejemplo, tiene un arco rectificado de 2 π; cuadrar esa longitud requeriría construir la raíz cuadrada de π con regla y compás. Eso no es posible. Pero no siempre es así.

Dibujemos un segmento de recta de valor arbitrario y asignémosle el valor 2π. Es fácil construir euclidianamente un cuadrado con ese segmento de recta. Cada lado tendrá una medida  igual a la mitad de pi y la diagonal de ese cuadrado mide el producto de la mitad de raíz cuadrada de 2 por  π. La mitad de este último valor resulta ser el radio de la circunferencia que inscribe al cuadrado. La rectificación de la circunferencia es igual a dos veces pi por el radio; o sea: la mitad de raíz cuadrada de 2 por  π² .

Esta rectificación es igual al producto de dos segmentos menores iguales a raíz cuadrada de 2 por π y a un medio de π respectivamente; ambos construibles mediante regla y compás a partir de nuestro segmento de valor arbitrario. También es posible construir los segmentos de manera que estén uno a continuación del otro y en una misma recta. Tomando a su reunión como el diámetro de una circunferencia, trazándola y construyendo un segmento de recta normal al diámetro en el punto de reunión de dichos segmentos,  el segmento que va desde ese punto de reunión hasta un punto de la circunferencia es la media geométrica entre ambos segmentos; es decir, la raíz cuadrada del producto de ambos y el valor del lado de un cuadrado cuya área es igual a la longitud rectificada de la circunferencia.

 Como todas las circunferencias tienen la misma forma, dada una cualquiera de valor indefinido, podemos construir en ella un cuadrado inscripto, decir que su lado vale un medio de  π y encontrar la cuadratura. Esto vale solamente si es el segmento del lado del cuadrado el que tiene ese valor asignado y no para cualquier valor del lado del cuadrado. Pero hay un anillo infinito numerable y denso cuyos elementos son el producto de un número entero positivo, un racional positivo o un irracional cuadrático por el valor arbitrario de π en los que la cuadratura es posible.

miércoles, 8 de julio de 2015

Generalización de la identidad de Fibonacci


Este artículo es continuación de "El Teorema de Pitágoras y las Ecuaciones Algebraicas", del 5 de agosto de 2007. 

En 1225, Leonardo Bigollo, más conocido como Fibonacci, publicó un libro que él llamó “Liber Quadratorum” (Libro de los Números Cuadrados). Como dato curioso tenemos que 1225 es el cuadrado de 35.

En él introduce unos números que bautizó “congruentes” y que define como la expresión algebraica , en donde u y v son números enteros impares, primos entre sí, y u > v. Estableció que el producto de un congruente por el cuadrado de un entero positivo es otro número congruente. También introdujo una identidad que la posteridad denominó “identidad de Fibonacci”: , que Fibonacci usó para pasar de una terna pitagórica a otra. Ante el requerimiento de obtener los valores enteros de los catetos y de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, desde antiguo se conocen las expresiones: , donde u y v son enteros positivos impares, primos entre sí, y u > v.
Ahora bien, la superficie del triángulo rectángulo es igual al semiproducto de los catetos que, en este caso, es igual a . Esta expresión es la cuarta parte del congruente, que resulta ser la superficie del triángulo definido por la terna (2x, 2y, 2z).

Puestas así las cosas, la identidad de Fibonacci equivale a decir retóricamente: “El cuadrado de la suma de los catetos de un triángulo rectángulo excede al cuadrado de la hipotenusa en cuatro veces la superficie de ese triángulo” o “el cuadrado de la hipotenusa excede al cuadrado de la diferencia de los catetos en cuatro veces la superficie de ese triángulo”. Pero estas expresiones también valen para números reales y hasta para complejos. Sin embargo, alguien podría objetar si tiene sentido un triángulo con un lado complejo. Esto lo menciono porque las ecuaciones pueden tener soluciones complejas conjugadas. Al introducir una expresión algebraica con una resta salimos de la Teoría de Galois, que hace las cosas de forma que no importe el orden en que pongamos las raíces.

Anteriormente vimos que las soluciones o raíces de cualquier ecuación algebraica pueden disponerse según los lados de un triángulo rectángulo. Esto me lleva a generalizar la identidad de Fibonacci a órdenes superiores. Por lo menos, para ecuaciones con todas sus raíces reales.

La identidad original, tal como fue escrita por el matemático de Pisa, podría ser denominada “de orden 2”, porque corresponde a las soluciones u y v de una ecuación cuadrática.

La identidad de orden 3 es:  

Corresponde al paralelepípedo recto rectángulo:
y al triángulo:
De la misma forma, la identidad para órdenes superiores es:



Me pregunto si esta manera de colocar a las raíces como constituyentes de una terna pitagórica no es útil para la acotación de esas raíces.

jueves, 11 de diciembre de 2014

Templos y geometría sagrada

En todos los templos se encierran conceptos que no siempre están al alcance de los concurrentes. Por ejemplo, los templos católicos están casi todos construidos con el altar situado hacia el Este: los fieles marchan desde el ocaso hacia la luz, hacia la salida del Sol, de la muerte a la vida (la catedral de Chartres es una excepción). Pero no es lo único que puede decirse de todo este simbolismo geométrico.

La base o planta de un templo suele estar basada en el doble cuadrado, queriendo decir esto que es un rectángulo que es posible dividir en dos cuadrados.






Esta base, muy frecuente, aparece tanto en templos paganos como de la cristiandad. Otra base común, un poco menos frecuente, es la del triple cuadrado:






Lo primero que vemos es que los ángulos tienen idénticos decimales:

b = c + 45º  y  d = a + 45º

La sorpresa crece cuando consideramos el triángulo sagrado egipcio:






El ángulo "f" es el doble del ángulo "c", del triple cuadrado, y el ángulo "e" es el doble de "a", del doble cuadrado, Estas tres figuras están emparentadas, en la composición arquitectónica hay una unidad temática cuando se usan estas superficies.

Por alguna razón los egipcios consideraban a un número, su duplo, su mitad, su cuadrado y su raíz cuadrada como expresiones de un mismo ente; aunque hay que aclarar que no veían a los números como nosotros, sino como segmentos de rectas.

Insisto: de alguna manera, este triángulo sagrado está emparentado con el doble cuadrado y con el triple cuadrado.

También podemos obtener otros dos triángulos isósceles basados en el triángulo sagrado egipcio: uno con altura proporcional a 4 y base proporcional a 6  y otro con altura proporcional a 3 y base proporcional a 8:







Estas últimas dos son afines, sería un disparate decir que están emparentadas, desde el mismo momento que se forman juntando dos triángulos sagrados.

Viollet-le-Due menciona un "triángulo egipcio", posiblemente derivado del triángulo sagrado, que ha sido utilizado para trazar arcos en aberturas.




Otro triángulo, el triángulo sublime, repite dos ángulos presentes en el doble cuadrado y uno del triángulo sagrado egipcio:



Las figuras emparentadas no terminan con ésta. Podemos observar un ángulo de 63,43...º en el doble cuadrado, que resulta ser el ángulo del vértice superior de la cara plana de la Pirámide de Keops, si consideramos la hipótesis áurea de su construcción.





La semisección de esta cara es un triángulo muy notable, porque vincula los lados de un pentágono, un hexágono y un decágono circunscritos en circunsferencias de radios iguales, constituyendo sus lados una terna pitagórica.






Hay muchos simbolismos encerrados en los templos y correspondencias con acordes musicales, tanto de la escala pitagórica, como de la escala natural, perfecta o de Claudio Ptolomeo; sinfonías geométricas y musicales, cuyas sutilezas no estamos seguros de haber descubierto totalmente.

viernes, 17 de octubre de 2014

El misterio de Fermat. Una hipótesis


Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 17 de agosto de 1601; Castres, Francia, 12 de enero de 1665) fue una personalidad relevante en la matemática, apodado por Erik Temple Bell (Peterhead, 1883; Watsonville, 1960) "el príncipe de los aficionados".

Llamarlo aficionado podría disminuir ante algunos la importancia de los aportes de este jurista, pues esa era su profesión, que "hacía matemáticas" en sus tiempos de ocio. Sin embargo, se codeó con gigantes como Pascal y Mersenne y se anticipó a los descubrimientos y desarrollos de eminencias como Newton y Descartes.

Tenía la inexplicable conducta de no publicar las demostraciones de sus trabajos aunque, a veces, daba soluciones detalladas y exhaustivas a ciertos problemas, como el de las hipotenusas primas y compuestas de las ternas pitagóricas. Eso es una muestra de que no se trataba, en general, de simples conjeturas, sino que sabía de lo que estaba escribiendo. Hay muy pocos errores en sus conjeturas y una única demostración publicada.

Solía escribir cartas a los matemáticos de su época, en las que planteaba sus problemas como desafíos, a veces con ironías que molestaban a algunos de sus colegas profesionales (Alguien dijo: ¡Condenado francés!). Casi todas sus afirmaciones resultaron correctas y hubo que esperar cien, ciento cincuenta y hasta trescientos cincuenta años para que fueran demostradas por las más encumbradas inteligencias dedicadas a la matemática.

Pero, ¿por qué no publicaba sus trabajos?

Nadie ha podido explicar esto. Ni siquiera habríamos tenido un compendio de sus conjeturas de no ser por el esfuerzo de su hijo Samuel, que las recopiló y las editó como obra póstuma en 1679, en un volumen titulado "Varia opera matemática D. Petri de Fermat: Senatoris Tolosani". Por supuesto, quedaron unas cuantas cartas y anotaciones en los márgenes de los libros que leía.

Yo no tengo una respuesta, pero sí una hipótesis: Fermat pudo haber pertenecido a una sociedad secreta y sus superiores quizás le hayan encargado que sondeara la capacidad de los matemáticos contemporáneos, con fines que no puedo enunciar. En los tiempos de Fermat el conocimiento se hallaba en monasterios y claustros, en universidades y en bibliotecas de nobles y ricos. No pocos de los grandes pertenecieron a alguna clase de clero y otros incursionaron en la alta magia, en la alquimia, en el paganismo y sus mitologías y cosmogonías, en el esoterismo o en las sociedades que se decían depositarias de esos saberes ocultos. Newton, por ejemplo, fue alquimista. Descartes fue rosacruz.

Todos ellos sabían griego y latín y no pocos agregaban hebreo y otras lenguas semíticas. En esas actividades hay dos grandes tipos de experiencias: la enseñanza de doctrinas secretas y las iniciaciones. Una doctrina secreta es un conocimiento que se pasa al recipiente previo juramento de silencio. La iniciación, en cambio, es una experiencia cuya naturaleza es intransmisible. Hay un ritual asociado, que también juran no revelar pero, aunque se violara el secreto del rito, éste por sí mismo no confiere iniciación. Es eficaz solamente en sujetos iniciables.

Siempre se ha dicho, pero no probado, que hay un conocimiento oculto proveniente de una civilización pasada. Quizás los superiores de Fermat quisieron medir cuán cerca se hallaban los profanos de descubrir esos secretos; o bien, de ponderar cuán ocultos todavía estaban.

Lo cierto es que Fermat no publicaba sus demostraciones. Lo demás es conjetura.

viernes, 15 de agosto de 2014

Tabla de valores algebraicos de seno y coseno




He aquí una tabla de valores de seno y coseno para ángulos construibles del primer cuadrante y de un número entero de grados sexagesimales, más sus semiángulos.






martes, 12 de agosto de 2014

Una gran verdad, que solo comprenden los matemáticos

Encontré en Gaussianos una frase de Lipman Bers que no tiene desperdicio. Estudié Análisis Matemático I con su libro "Cálculus" (si mal no recuerdo, de Columbia University Press), además de otro "Calculus" de Apostol y el enciclopédico tomo I de Rey Pastor. He aquí la joyita:

La del matemático es una profesión extremadamente cruel. Si alguien tiene, digamos, una licenciatura en Químicas, se describirá a sí mismo como un químico. Sin embargo, si alguien lleva siendo profesor de matemáticas durante diez años y le preguntas: “¿Es usted un matemático?”, te contestará “¡Estoy intentando serlo!”
                                                                         Lipman Bers

Esto solo lo comprenden los matemáticos o aquellos que pretenden serlo. También hay una gran similitud con el cristianismo. 

miércoles, 11 de junio de 2014

¿Cuánto es 2 + 2? Humor con lección


"¿Cuánto es 2 + 2?"

Parece una pregunta muy simple y clara, de respuesta inequívoca. Veamos cómo responden algunos personajes:

MATEMÁTICO: "Espere, solo unos minutos más, ya he probado que la solución existe y es única, ahora la estoy acotando..."

FILÓSOFO: "¿Qué quiere decir  "2 + 2"?"

TERAPEUTA: "¿Qué quiso decir con "2 + 2"?"

LÓGICO: "Defina mejor "2 + 2" y le responderé."

Más allá de cierta ironía a los vicios y diferentes puntos de vista de los que tienen formaciones profesionales distintas, el lógico y el filósofo no están errados en sus dichos: Todo depende de qué sea "2" y qué "+". La pregunta así formulada es muy vaga, no tiene sentido completo o tiene varias respuestas posibles y excluyentes.

Si "2" es una clase residual de módulo m y "+" denota la suma de clases residuales, 2 + 2 puede ser igual a "1" o a "0". No se asuste, ya le explico.

Primero definamos lo que Gauss llamó "congruencia" y que ahora se conoce como "congruencia de Gauss", porque hay otras congruencias que no son esta a la que me refiero.

Se dice que un número entero "y" es congruente a otro "x" (de módulo m) si (y solo si):
y - x = k.m, donde  k  es un  número entero y m un entero positivo (mayor o igual que 0).
Notación: "y congruente a x, módulo m" suele escribirse: y ≡ x (mod m)

¿Qué tenemos en la definición? Dos números enteros tales que su diferencia es un múltiplo de m.

Pero, escribámoslo de otra manera:

y = k.m + x. Aclaremos con un ejemplo:

19  ≡ 3 (mod 4)  En efecto, 19 - 3 = 4.4, donde k = 4 y m = 4. Aunque, escrito de la segunda manera, deja ver otra cosa:

19 = 4.4 + 3

Si yo divido 19  por 4 el resultado entero es 4 y me sobra un resto igual a 3.

¿A qué llamamos una clase residual de módulo m? A todos los números enteros que dan el mismo resto (o tienen el mismo residuo) al ser divididos por m. Agrupando secuencialmente estos números enteros de igual resto tenemos lo que llamábamos una "escala" en la escuela elemental.

Si nuestra clase residual es el resto "3" de módulo 4, la clase es:

3 = {3, 7, 11, 15, 19, ...}

Es una "escala del 4" a partir de 3. Que significa:

  3 = 0.4 + 3
  7 = 1.4 + 3
11 = 2.4 + 3
15 = 3.4 + 3
19 = 4.4 + 3
y así sucesivamente.

Ahora bien, supongamos que 2 es una clase residual de módulo 4 y que + denota la suma de clases. Esa suma es "0". ¿Por qué?
Porque si tengo un número que dividido por cuatro tiene resto 2 y otro con la misma propiedad, si los sumo, me sobra un 2 por un lado y otro 2 por otro. Luego, esos restos agrupados suman 4 y, por lo tanto el resto es cero. O sea: "sumar dos números con resto 2 de módulo 4 da por resultado un múltiplo de 4, que es lo mismo que decir con resto 0. Veámoslo con símbolos:
z = k.4 + 2; w = q.4 + 2. Si los sumo:

z + w = k.4 + 2 + q.4 + 2

Asociando, conmutando, reagrupando y aplicando propiedad distributiva, tenemos que:

z + w = k.4 + q.4 + 2 + 2 = k.4 + q.4 + 4 = (k+q+1) 4 (Un múltiplo de 4). Luego, el resto es 0.

Así: 2 + 2 = 0 (mod 4)

De forma análoga 2 + 2 = 1 (mod 3)

Broma aparte, la pregunta no tiene sentido completo. Si nos referíamos a números enteros y suma ordinaria, habría que haberlo aclarado; porque no siempre 2 es 2 ni + es más, el más que nosotros conocemos desde niños. Nuestro lógico tenía razón cuando pretendía que definiera mejor lo que significa la pregunta.
Este es un ejemplo de lo que pasa cuando se abusa de la notación. Quizás debiéramos colocar un símbolo por encima de la cifra y cambiarle algo al "+" (como encerrarlo en un círculo); pero la matemática es tan vasta que los símbolos no suelen alcanzar y siempre terminamos repitiendo en alguna parte. La solución es definir bien y aclarar qué significa cada cosa, para que no haya equívocos.