jueves, 23 de marzo de 2017

Una variante al problema de primalidad


 La forma cuadrática x² + 2xy - n = 0, para n un número entero impar cualquiera, siempre tiene soluciones en números enteros.

Una solución que se cumple para cualquier número entero impar es: 1 = x; ½ (n - 1) = y. Si esta solución es única, n es un número primo. Si existen x e y enteros, con x distinto de 1, n es compuesto.

El problema se reduce a encontrar expresiones enteras para

Estas soluciones enteras están en un paraboloide hiperbólico.

¿Nuevas operaciones en campo complejo?


La forma polar de un número complejo lo expresa como el valor de un módulo y un ángulo o argumento con respecto al eje de abscisas, en sentido levógiro para signo positivo.

Las operaciones elementales que se definen a partir del principio de permanencia son las mismas que para otras extensiones de números: suma, resta, producto, cociente, potenciación y radicación. Estas operaciones eran todas las posibles hasta el conjunto de los números reales; pero, para este nuevo campo en el plano, la existencia de un ángulo parece indicar que hay otras operaciones que no se han contemplado y que podrían tener importantes aplicaciones.

La suma de dos números complejos tiene por argumento a la media aritmética de los argumentos de estos números.

El producto de dos números complejos tiene por argumento a la suma de los argumentos de ellos.

El cociente a la resta de sus argumentos. La potenciación de grado n a n veces el argumento y la radicación de grado n al cociente del argumento por n.

¿Qué operaciones binarias complejas dan por resultado la media armónica entre los argumentos y la media geométrica de ellos?

El problema de la obtención de una operación binaria compleja que tenga por resultado la media armónica de los argumentos es de especial interés en geometría y se propone aquí como problema abierto a la comunidad matemática.

Un triángulo sagrado egipcio en cada parábola


El triángulo sagrado egipcio es un triángulo rectángulo con catetos iguales a 3 y 4 e hipotenusa igual a 5. Manteniendo estas proporciones siempre tendremos triángulos semejantes, en cualquier escala.

Podemos relacionar un triángulo semejante al triángulo sagrado egipcio con cualquier parábola. El vértice correspondiente a la reunión de la hipotenusa con el cateto proporcional a 4 está en el foco de la parábola. El punto medio de ese cateto es un punto de la parábola, donde culmina el lado recto (latus rectum). Si trazamos un segmento de recta perpendicular al otro extremo del cateto -el opuesto al foco- y marcamos sobre ese segmento de recta un punto distante tres cuartas partes de la longitud de este mismo cateto, en el sentido de la apertura de la curva, estamos sobre otro punto de la parábola. El vértice de la parábola dista del foco una cuarta parte de la longitud del cateto proporcional a 4 del triángulo descripto. Para la parábola y = x² los puntos que definen al triángulo son: (0, ¼), (1, ¼) y (1, 1). Este triángulo es ¼ (3, 4, 5). Dado que todas las parábolas tienen la misma forma, siempre se podrá ubicar un triángulo semejante en diferentes escalas. Por la simetría axial de la parábola hay dos triángulos idénticos para cada parábola y un tercero, isósceles, con la base proporcional a 8 y la altura proporcional a 3, con las hipotenusas de los dos primeros como lados iguales.

A partir de un rectángulo con lados proporcionales a 8 y a 3 se pueden construir cinco puntos de la curva, su foco y la recta directriz.

jueves, 6 de octubre de 2016

El concepto de grupo y las artes


PARA EL LECTOR PRINCIPIANTE

Sea un conjunto G (finito o infinito). Suponemos que para cada par de elementos a y b de G está definido unívocamente un tercer elemento de G, llamado suma del elemento a y del elemento b y que denotaremos por a + b. Que está definido unívocamente significa que hay un único tercer elemento para cada par a y b, aunque ese tercer elemento puede ser unívocamente el asociado a otro par c y d, distinto de a y b. Cuando para cada par de elementos de un conjunto se define unívocamente un tercer elemento, hablamos de una operación binaria. Por último vamos a suponer que esta operación de adición (es decir, la operación que a cada dos elementos a y b de G le hace corresponder el elemento a + b) satisface las siguientes condiciones:

I) PROPIEDAD ASOCIATIVA: Dados tres elementos arbitrarios a, b, c de G vale la relación ( a + b ) + c = a + ( b + c )

Si designamos por d al elemento de G que es igual a a + b y por e al elemento de G que es igual a b + c, entonces la igualdad anterior nos asegura que d + c  y  a + e  son el mismo elemento de G.


II) EXISTENCIA DEL ELEMENTO NEUTRO: Entre los elementos del conjunto G existe un elemento llamado elemento neutro y denotado por 0, tal que satisface

         a + 0 = 0 + a = a, para todo elemento a de G.


III) EXISTENCIA DE ELEMENTO OPUESTO PARA TODO ELEMENTO DEL CONJUNTO: para todo elemento a de G, existe un elemento -a de G que satisface:

         a + (-a) = (-a) + a = 0


Se llama grupo a un conjunto G en el que está definida una operación de adición que satisface las tres condiciones que acabamos de enunciar. Estas condiciones reciben el nombre de Axiomas de definición de grupo.

Si un grupo G, además de cumplir sus tres axiomas de definición, satisface la siguiente condición:

IV) LA PROPIEDAD CONMUTATIVA: a + b = b + a, para todos los elementos de G, se llama grupo Abeliano o conmutativo. (En honor del matemático Abel)


Se dice que un grupo es finito si tiene un número finito de elementos, en caso contrario se dice que es un grupo infinito. Se llama orden de un grupo finito, al número de sus elementos. (Esto último no es una definición rigurosa, ni siquiera es una definición. Un conjunto es infinito cuando un subconjunto del mismo -que no agote el conjunto original o lo transforme en finito- puede ser coordinado elemento a elemento con el conjunto que lo contiene. Veamos un ejemplo: existe un conjunto de números llamado el conjunto de los números naturales, que todos conocemos: 1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ....; también existe un subconjunto de los naturales que es el de los números cuadrados. Los números 5 y 7 del conjunto de los naturales, por ejemplo, no son cuadrados de un número natural. Intuitivamente parece que los cuadrados son menos numerosos que todos los números naturales; pero apareemos cada cuadrado natural con el natural que es su raíz: 1 y 1; 2 y 4; 3 y 9; 4 y 16; y así sucesivamente. Si ponemos estos pares como sucesiones paralelas vemos algo contrario al sentido común:

1   2   3     4    5     6     7   ........
1   4   9   16   25   36   49   ........

Si bien no se puede negar que los cuadrados son una parte de todos los números naturales, los hemos "contado" uno a uno con todos los naturales; por lo que es evidente que ambos conjuntos tienen la "misma cantidad de elementos". Dicho sea de paso: el sentido común es la impresión o conocimiento aparente que dejan nuestros sentidos sin el análisis de nuestra mente. "Buen sentido" es lo que permite distinguir la verdad de la apariencia sensible: no es el Sol el que gira alrededor de la Tierra sino la Tierra que gira alrededor de un eje propio, dando la ilusión de un Sol que nos rodea. El uso común ha confundido "sentido común" con "buen sentido", pero la expresión que corresponde realmente es "buen sentido" si queremos dar a entender coherencia lógica y profundidad de pensamiento, separación entre realidad y apariencia.

Tampoco puede hablarse de "número de elementos de un conjunto". Este es un  tema muy controvertido y hay varias propuestas de solución para el mismo problema. Una de ellas es definir lo que se llama la potencia de un conjunto: 0 para el conjunto vacío, 1 para el conjunto que tiene por elemento al conjunto vacío, 2 para el conjunto que tiene por elementos al conjunto vacío y el conjunto que tiene por elemento al conjunto vacío, etc.(¡Escribirlo!) Luego, cualquier otro conjunto puede ser apareado con alguno de estos modelos, cuando se logra esto, decimos que tienen la misma potencia; o sea, que se puede establecer una correspondencia biunívoca entre sus elementos.

También debería definirse el grupo para una operación binaria cualquiera "*". En ese caso, el elemento neutro se designa "e" (inicial de la palabra alemana einheit, que significa unidad). Puede usarse también terminología multiplicativa, en cuyo caso e resulta ser 1:

(1. a = a . 1 = a) y (-a) cambia a 1/a = a^-1



«EL CONCEPTO DE GRUPO Y LAS ARTES


Los pitagóricos decían: todo es número. Hoy, podríamos al mismo tiempo precisar y ampliar este pensamiento, y  decir: todo es grupo. En efecto, los conceptos por medio de los cuales vemos y formamos el mundo tienen el carácter de grupo. Tomemos primero el espacio que constituye lo que se llama ordinariamente el mundo exterior y al cual le da realidad. Este espacio es una esfera cuyo centro está en todos lados y su límite en ninguno. Es decir, que es ilimitado y que cada punto es un centro de simetría rotatoria de él. Se puede agregar que cada plano es un plano de reflexión de él y cada recta un eje de revolución. Imagínese ahora un segundo ejemplar de este espacio que mueva en el primer espacio, supuesto rígido y en reposo. Un movimiento del espacio móvil consiste entonces en el conjunto de una posición inicial y una posición final, cualquiera sea la manera en que se ha efectuado la transición. Al espacio móvil, en su posición final, se le puede imprimir un movimiento nuevo que lo lleve a una posición nueva, que será la tercera contando como primera a la posición inicial. Evidentemente, existe un movimiento formado por la posición inicial y la tercera posición, que recibe el nombre de producto de esos movimientos. El movimiento inverso del primero consiste en la transición a partir de la segunda posición y hacia la primera. Es por esto que se dice que los movimientos del espacio forman un grupo.

En todos lados en donde entramos en posesión de un mundo independiente de nosotros, necesitamos aplicar conceptos que tienen el carácter de grupo. Es que no vivimos en el instante, sino que somos seres históricos dotados de facultades adquiridas que deben ayudarnos independientemente del tiempo y del lugar. Estas facultades deben ser aplicables en cualquier momento y lugar, y por consecuencia los conceptos tienen, a priori, el carácter de grupo. Lo que el espacio es para el mundo exterior, es decir su forma y su condición necesaria, lo es el número para el mundo espiritual. Plotino llama a estos dos conceptos pro-toposis, palabra intraducible, a menos que se quiera formar una expresión bárbara como pre-espacificación. Ellos ofrecen el marco que ordena un gran desorden. Toda filosofía que quiera degradar a las matemáticas debe, ante todo, destruir la noción de orden, como lo hace Bergson, quien habla de desorden = dos órdenes; es decir que el desorden es un orden del mismo rango que el orden, no es más que un orden inesperado o incomprendido. Pero, ¿qué diferencia hay entonces, por ejemplo, entre el ruido de los instrumentos de la orquesta antes de comenzar el concierto y la sinfonía que le sigue? Dejemos, pues, los juegos de palabras y continuemos admirando el orden y la belleza de las obras maestras de la naturaleza y del arte.

Los números que constituyen el mundo interior forman grupo con respecto a la ley de adición. En efecto, en la sucesión ilimitada de los números positivos y negativos existe la posibilidad de traslación. Cada número es centro de simetría del conjunto de los números y está rodeado de idéntica manera por este conjunto. La realidad nos es revelada en un principio por nosotros mismos, cuando no conocemos más que el Yo, y por tanto en Uno. Pero, ¿cómo vivificar entonces el mundo exterior y cómo ubicar a otros individuos? El concepto de espacio nos permite ubicar otro hombre como objeto exterior, pero, ¿cómo darle un alma y un Yo? Para tener la posibilidad de decir: he ahí un hombre como yo mismo, tenemos que disponer del concepto que nos permita contarlo junto con nosotros y decir: lo que él es ante mí, lo soy yo ante él. Es, por tanto, el principio del contorno idéntico el que nos permite proyectar nuestro Yo, es decir este Uno. Supongamos que todo no sea más que un sueño nuestro –el concepto de espacio no excluye esta posibilidad- ; entonces, nuestro prójimo no sería más que un sueño y yo mismo, hallándome frente a él en la misma posición, yo no sería más que el sueño de un sueño. Ahora bien, nosotros sabemos directamente que existimos, por lo tanto es necesario que el otro exista igual que yo. Es este silogismo el que nos revela el yo de nuestros semejantes y el niño lo aprende desde su primera infancia mediante proverbios bien conocidos.

La mentalidad primitiva no conoce el espacio y la materialidad. Todo el mundo exterior está proyectado por la fuerza del número; no consta, pues, más que de individuos, de seres animados y espirituales. La diferencia entre las cosas vividas y las soñadas no existe. Así un jefe de una tribu africana cuenta una mañana que ha tenido un sueño, en el cual viajaba por Europa; sus súbditos lo escuchan con asombro, lo felicitan por su buen éxito y admiran su valor. La noción de la muerte, como fin de todo, es todavía ignorada, En tanto que el muerto es recordado, existe casi como si viviera y cuando se lo ha olvidado, ni siquiera se puede comprobar que ya no está más allí. Aún los objetos materiales adquieren vida por la fuerza del número, son Yos que tiene  una potencia mágica y  personal sobre lo que los rodea. Los árboles, los ríos y las montañas viven y adoptan una forma humana que se aparece a los hombres privilegiados. El concepto de espacio que no permite más que ubicar objetos muertos ha destruido para nosotros toda esa magia, hasta el punto de que somos incapaces de evocar nuevamente el encanto del mundo primitivo. 


Los dos grupos, el de los números y el del espacio, preforman, pues, el mundo exterior; es, pues, a priori, verosímil que emplee estos dos grupos en el sentido que proyecta los números en un continuo. Es mediante las simetrías que logra éxito en su empresa y quisiera mostrar el papel que el concepto de grupo desempeña en él. Pero, para eso debo hablar de una manera más precisa de este concepto.

La teoría de grupos parte de una definición simple: un grupo consiste en un número finito o infinito de elementos que tienen una composición asociativa, con respecto a la cual existe una unidad y cada elemento tiene un inverso. El objetivo de la teoría es descubrir todos los grupos que existen y discernir sus propiedades principales. Ante todo, pues,  hay que saber qué es una propiedad de un grupo. Aún estamos lejos de la solución completa de este problema. Sin embargo, se puede decir que, para los grupos finitos hemos llegado a un cierto conocimiento de los fenómenos que se presentan. En lo que toca a la historia de estos descubrimientos, se pueden distinguir varios períodos. El primero comienza con Euler, quien, en la teoría de números y en la geometría, describió un cierto número de grupos. Le siguieron Lagrange, Gauss y Ruffini. El segundo período comienza con el matemático noruego Abel y el francés Galois, a los cuales hay que agregar a Cauchy. El tratado de las sustituciones de Camilla Jordan, aparecido en 1870, constituye la magnífica coronación de este período. Después de los trabajos de Riemann, fueron Schwarz, Poincaré, Klein y Lie quienes extendieron el concepto de grupo a la teoría de funciones, a las ecuaciones diferenciales y a la geometría diferencial, y fue en él donde se descubrió la conexión fundamental con la geometría no euclidiana, considerada hasta entonces como un concepto puramente formal. A partir de estos descubrimientos, el grupo se ha apoderado de toda la física, donde desempeña hoy en día el papel de un “logos” universal. Esta conquista triunfal es una de las mayores maravillas que presenta la historia de la ciencia. Desde las excursiones solitarias de Euler por el dominio de la aritmética, han bastado dos siglos para hacer este terreno accesible a cualquiera. 


Al volver ahora al arte, quisiera citar ante todo a un gran matemático, Henri Poincaré, quien dijo: Quizás resulte asombroso el oír invocar a la sensibilidad a propósito de las demostraciones matemáticas, que al parecer no pueden interesar más que a la inteligencia. Esto equivaldría a olvidar el sentimiento de la belleza matemática, de la armonía de los números y de las formas, de la elegancia  geométrica. Es un verdadero sentimiento estético que conocen todos los verdaderos matemáticos. Y esto es ciertamente sensibilidad” [Henri Poincaré, Science et méthode, París, 1908, página 57. Espasa Calpe Argentina, Colección Austral, 2ª edición, Buenos Aires, 1946] . Proclo dice en su Comentario de Euclides: “Allí donde hay número, hay belleza”. Creo que se puede invertir esta última frase y decir: “donde hay belleza, hay número”. En efecto, es por el número que vivificamos las cosas; ahora bien,, el arte tiene justamente este objetivo y, por tanto, pone en juego la fuerza del número. Para mostrar el papel que le cabe al grupo y a los números quisiera dar algunos ejemplos. Los ornamentos de los egipcios, tal como se los encuentra en las tumbas de Tebas, están formados por espirales que se repiten hasta el infinito y recubren el plano. Se ha calculado que existen diez y siete posibilidades diferentes de simetrías de este género en el plano, la mayor parte de las cuales han sido halladas en tiempos prehistóricos. De estas configuraciones puramente matemáticas nacieron los ornamentos semigeométricos, semivegetales, del arte minoico. Los griegos, quizás el mismo Arquímedes, agregaron los mosaicos geométricos. Todavía hoy, tienen una gran importancia en la decoración, hasta el punto que se ha podido decir en 1893 (Flinders Petrie, Egyptian decorative art): “Prácticamente, es muy difícil, o más bien imposible, hallar una decoración de la que  se pueda demostrar que tuvo un origen independiente y no fue copiada del stock egipcio”. Es cierto que a partir de 1900 se trataron de construir otras nuevas sin la ayuda de las matemáticas, pero son verdaderos horrores que generalmente se hicieron desaparecer al poco tiempo.

A los mosaicos de los griegos hay que agregar los polígonos de los árabes. Consisten en una misma línea que, repetida y retorcida, forma mediante sus entrelazamientos figuras diferentes, estrellas, cuadrados y aún pentágonos. Con ayuda de los colores, el mismo ornamento puede adoptar un número considerable de aspectos diferentes.  Generalmente son subgrupos los que llevan los mismos colores, y es de esta manera que adquieren eficacia las fuerzas de la simetría. En un ornamento correcto, cada elemento de simetría debe destacarse mediante alguna marca especial. 



Este mismo principio de los polígonos idénticos se emplea en la confección de encajes de husos, pero es en la música donde revela su fuerza inagotable. En efecto, el canon no es más que un polígono sonoro que, puesto en interferencia consigo mismo, produce un cierto número de compases llenos de geometría. Probablemente los compositores proceden visualmente. Al escuchar un canon, debemos seguir cada voz separadamente y al mismo tiempo prestar atención a la armonía vertical. Hace falta un trabajo penoso y asiduo para llegar a ser capaz de experimentar el encanto de este arte sublime. A menudo se considera esta clase de música como un juego más o menos estéril, pero esto está en contradicción con el hecho de que los más grandes compositores como Bach, Mozart, Beethoven, han dedicado gran parte de sus esfuerzos a la construcción de cánones y de fugas, en la que adquirieron un virtuosismo sorprendente. Se oían cánones en las tabernas que frecuentaba Falstaff y se los oye hoy en los conciertos de música moderna; forman el corazón de la música y al mismo tiempo su razón. Lo mismo que, según Poincaré, en matemáticas la inteligencia y la sensibilidad forman una unidad inseparable, es imposible distinguir en la música entre el corazón y la razón, diga lo que diga Blas Pascal.

Podría seguir y mostrar cómo todas las melodías y toda la armonía están impregnadas de números y de geometría, cómo las proporciones dan vida a los cuadros y la poesía lírica, etc., pero me detendré aquí y transmitiré solamente la opinión del gran compositor Rameau. En su código de música dice: no es la música la que forma parte de las matemáticas, sino que por el contrario, las ciencias forman parte de la música, pues se basan en las proporciones. D’Alermbert se equivocaba al burlarse de esta frase, pues contiene una gran verdad. Allí donde hay número hay belleza y estamos en la vecindad inmediata del arte.»

Del libro Las Grandes Corrientes del Pensamiento Matemático, artículo por Andreás Speiser, profesor de la Universidad de Basilea, páginas 505 a 509.
 


Los números que constituyen el mundo interior forman grupo con respecto a la ley de adición. En efecto, en la sucesión ilimitada de los números positivos y negativos existe la posibilidad de traslación. Cada número es centro de simetría del conjunto de los números y está rodeado de idéntica manera por este conjunto. La realidad nos es revelada en un principio por nosotros mismos, cuando no conocemos más que el Yo, y por tanto en Uno. Pero, ¿cómo vivificar entonces el mundo exterior y cómo ubicar a otros individuos? El concepto de espacio nos permite ubicar otro hombre como objeto exterior, pero, ¿cómo darle un alma y un Yo? Para tener la posibilidad de decir: he ahí un hombre como yo mismo, tenemos que disponer del concepto que nos permita contarlo junto con nosotros y decir: lo que él es ante mí, lo soy yo ante él. Es, por tanto, el principio del contorno idéntico el que nos permite proyectar nuestro Yo, es decir este Uno. Supongamos que todo no sea más que un sueño nuestro –el concepto de espacio no excluye esta posibilidad- ; entonces, nuestro prójimo no sería más que un sueño y yo mismo, hallándome frente a él en la misma posición, yo no sería más que el sueño de un sueño. Ahora bien, nosotros sabemos directamente que existimos, por lo tanto es necesario que el otro exista igual que yo. Es este silogismo el que nos revela el yo de nuestros semejantes y el niño lo aprende desde su primera infancia mediante proverbios bien conocidos.



Pregunto: ¿Cómo reconoce un león a otro león? ¿Tiene en su mente las nociones de espacio, yo y grupo?


Ya sabemos que los leones no reflexionan ni argumentan y no se reconocen a sí mismos frente a un espejo. Puede suceder que ignore la imagen o que crea que es otro león. ¿De qué manera reconoce un león a otro? ¿No será de manera automática, por obra de un programa al que llamamos instinto? Pero para que se desarrolle este programa por sí mismo exige un propósito; o sea, una explicación teleológica. ¿Será que el Programador introdujo respuestas no conscientes de manera automática?




Pitágoras descubrió una ley de vibración del monocordio:

Para una cuerda y una tensión inalteradas, la variación de la longitud de la cuerda hace que el período de vibración sea proporcional a su longitud.

Un piano cubre una gama de sonidos que va desde los 27 ciclos por segundo hasta 4.096 ciclos por segundo, con doce notas cada vez que se duplica la frecuencia. Por esta razón se hizo que el ancho de banda de las transmisiones de radio en AM sea de 10.000 ciclos (cinco mil para cada banda lateral), para que pudiera escucharse el sonido de un piano, que es el instrumento de mayor calidad musical de una orquesta. Si se aplicara la anterior ley de Pitágoras para construir uno, la cuerda mayor debería ser 150 veces más larga que la de menor longitud.

Los pianos pueden ser construidos gracias a dos leyes del matemático francés Mersenne:

1) Para cuerdas distintas con una misma tensión e iguales longitudes, el período de vibración es proporcional a la raíz cuadrada del peso de la cuerda.

2) Cuando una cuerda y su tensión no sufren alteraciones, al variar la tensión de la cuerda la frecuencia de vibración es proporcional a la raíz cuadrada de la tensión.

En los pianos modernos, la incorporación del acero ha posibilitado tensiones de hasta 30 toneladas.

miércoles, 5 de octubre de 2016

LAS MATEMÁTICAS Y LA MÚSICA



«I

Leibniz escribió una vez: "La música es un ejercicio de aritmética secreta y el que se entrega a ella ignora que maneja números". Hubiera podido añadir: y el que practica el clavecín ignora que maneja logaritmos. Es que, en efecto, el lazo entre la música y ciertas partes de las matemáticas es muy estrecho y ello se debe principalmente a las razones siguientes:

1º  El efecto de un sonido musical sobre nuestro oído depende ante todo de su altura (los físicos dicen de su "frecuencia", es decir del número de vibraciones por segundo del cuerpo que emite el sonido). Decir que oímos un do o decir que nuestro oído registra 256 vibraciones por segundo significa lo mismo. A cada sonido corresponde, pues, un  número, y recíprocamente, a cada número, entero o no, corresponde un sonido.

2º  Cuando oímos dos sonidos simultáneos esto equivale a percibir dos números, y por lo tanto una relación. Oír do y sol de la misma gama equivale a "oír" la relación 3/2, que es la de sus frecuencias. Ahora bien, la experiencia musical demuestra que el efecto estético de un acorde depende casi exclusivamente de la relación de sus frecuencias. Todo el problema de la armonía es pues, el de una elección de relaciones.

3º  A estas dos razones se añade el ritmo, que es de naturaleza esencialmente aritmética. Dejaremos de lado esta cuestión que es demasiado importante para ser mezclada con otra y al mismo tiempo demasiado independiente del estudio de los sonidos que nos proponemos hacer.

Observemos ahora que los colores, que también se diferencian por su frecuencia, desempeñan con respecto a la vista el mismo papel que los sonidos con respecto al oído; nuestro ojo y nuestro oído son contadores de frecuencias. Sin embargo, hay una diferencia enorme entre la utilización de los colores y la utilización de los sonidos: un pintor puede colocar sobre su tela colores de cualquier frecuencia, mientras que un compositor no puede poner en sus obras sonidos de alturas arbitrarias. ¿A qué se debe esto?

Primero porque tiene que escribir su música. Haría falta un número infinito de signos para designar todas las alturas de sonidos; el desciframiento de esta escritura sería casi imposible y en todo caso muy lento. Luego, la música está hecha para ser ejecutada y la gran mayoría de nuestros instrumentos no puede emitir más que un número limitado de sonidos.

Además, nuestro oído es incapaz de percibir la diferencia entre dos sonidos muy cercanos. Este "poder separador" evidentemente varía mucho entre los individuos, pero no permite distinguir, por ejemplo sobre el violín, una diferencia de posición de los dedos del orden de los 2 milímetros. Esto hace inútil de todas maneras el empleo de todas las frecuencias. No obstante, se admite que un oído ejercitado puede discriminar en la extensión de una octava alrededor de 300 sonidos: es también demasiado para la escritura musical y para los instrumentos (un piano de 8 octavas tendría que poseer 2.400 teclas).

Esto ha obligado a no utilizar, con fines musicales, más que un número restringido de sonidos en cada octava, que es el intervalo de base natural. Recordemos que se dice que dos notas están a la octava si la frecuencia de una de ellas es el doble de la frecuencia de la otra o, lo que es equivalente, si una cuerda da una nota, la mitad de la cuerda da la octava.

La cuestión planteada, pues, desde que la música se convirtió en un arte social es la siguiente: ¿cómo elegir, entre los trescientos sonidos discernibles de una octava, una gama de unos pocos sonidos?

Quisiéramos que el lector comprenda bien todo lo que esta cuestión tenía de importante: ella iba a determinar la suerte de la música durante milenios, si no para toda la eternidad.

Una vez adoptada una gama, en efecto, se hacía prácticamente imposible cambiarla. Tomemos un ejemplo: Supongamos que los músicos de una cierta época hayan decidido dividir la octava en 10 intervalos de la manera siguiente: el sonido fundamental está dado por una cuerda de un metro, luego la octava por una cuerda de 50 centímetros y las notas intermedias por cuerdas de 55, 60 65, etc., centímetros. A priori esto no tiene nada de chocante. Pues bien, un fragmento escrito con esta gama no puede transcribirse a nuestra escritura actual, aun con ayuda de los sostenidos bemoles, dobles sostenidos o dobles bemoles. Además, solamente algunos instrumentos, entre ellos el violín, podrían interpretar ese fragmento.

La música de esa época sería para nosotros completamente inutilizable, y por tanto estaría "muerta".

La continuidad de la vida de la música exige, entonces, en las condiciones instrumentales que han prevalecido hasta ahora, la utilización eterna de una misma gama o de gamas tales que las diferencias sean prácticamente despreciables. De hecho, es lo que ha ocurrido en el curso de la historia de nuestra música.

Si los músicos y los filósofos reflexionan sobre esto, se sentirán espantados por la responsabilidad que incumbió a los primeros teóricos de la música cuando descompusieron la octava en partes definitivas. En ningún otro arte tenía la decisión semejante importancia. Quizás el título de gloria más bello y verdaderamente eterno de los griegos haya sido el haber creado la gama al mismo tiempo que creaban las matemáticas (la coincidencia vale la pena de destacarse).

Si luego alguna otra gama, auditivamente diferente, hubiese resultado ser más estética, se habrían producido tentativas para imponerla y a pesar de las dificultades que hemos señalado se habría llegado a través de los siglos a abandonar una gama considerada anticuada. Pero han transcurrido ya cerca de 2.500 años y las gamas más actuales, que luego estudiaremos, de hecho no son sino variantes de la griega. Una misma escritura sirve para todas, las notas tienen el mismo nombre y un fragmento se compone, se escribe, se ejecuta, se canta sin especificar la gama.

Si bien no son completamente equivalentes desde el punto de vista físico, se las utiliza y se las considera como tales.

Dentro de la filosofía de la estética, la cuestión del valor eterno de la gama griega es, pues, inquietante. Tratemos de aclarar parcialmente este misterio y para ello precisemos ante todo la naturaleza de las tres gamas que han sido más usadas: la gama diatónica o de Pitágoras, la gama de Zarlino o de los físicos y la gama atemperada inmortalizada por Bach.

Hablaremos a menudo del intervalo determinado por dos notas: por ello hay que entender la razón de las frecuencias de estas dos notas. Tomemos, por ejemplo, las notas correspondientes a 400, 600 y 800 vibraciones por segundo; el intervalo de las dos primeras es 600, 400 ó sea 3/2; el intervalo de las dos últimas, 800, 600, ó sea 4/3. La diferencia de las frecuencias es la misma, pero los intervalos no son iguales. No hay que olvidar esto en lo que sigue.


1. LA GAMA GRIEGA

Tomemos una cuerda que dé el sonido fa, considerado como el comienzo de la octava. Los 2/3 de esta cuerda darán una nota más aguda que será llamada, por definición, la quinta de fa: será nuestro do de la misma octava. Los 2/3 de la cuerda de do darán igualmente una nueva quinta: el sol de la octava inmediatamente superior; doblando la cuerda de este sol se volverá al sol de la octava inicial, y así sucesivamente, de quinta en quinta. Las notas obtenidas son en el orden: fa - do - sol - re - la - mi - si, que reducidas a la octava inicial se presentan en el orden: do - re - mi - fa - sol - la - si - do. Esta sucesión de quintas, continuada más allá del si, no vuelve a dar fa, sino una nota llamada fa sostenido, luego, do sostenido, etc., y continuada por debajo del fa inicial da los bemoles.

La concepción de la gama es, pues, sumamente simple, coherente y se encuentra bien dentro de la tradición pitagórica.

2. LA GAMA DE LOS FÍSICOS O DE ZARLINO

Su principio es totalmente diferente. Consiste en afirmar, a priori, que dos sonidos serán tanto más agradables al oído, sobre todo si se los oye simultáneamente, cuantos más armónicos comunes tengan. Recordemos que un sonido inicial tiene como armónicos aquellos que corresponden a una frecuencia doble, triple, cuádruple, etc.

Tomamos el ejemplo de las frecuencias 400 y 500, que corresponden a un intervalo 5/4; el armónico 5 del primer sonido coincidirá con el armónico 4 del segundo (o sea, 2.000 vibraciones por segundo); sus armónicos 10 y 8, respectivamente, coincidirán de nuevo, etc. A la coincidencia de armónicos lejanos corresponden, pues, intervalos complicados y si las frecuencias son inconmensurables, los dos sonidos no tendrán armónicos comunes.

De esta manera se determinan intervalos muy poco numerosos. Entre estos, se encuentran algunos que figuran en la gama griega (9/8 para el intervalo do-re, 3/4 para do-fa, 3/2 para do-sol). Otros no figuran ahí, pero son bastante próximos a los intervalos pitagóricos como para que puedan sustituirlos y recibir el mismo nombre.

El intervalo do-mi en las dos gamas no es el mismo, pero la diferencia es prácticamente insensible.

Se forman los sostenidos multiplicando las frecuencias por 25/24 y los bemoles multiplicando por 24/25, lo que da sostenidos y bemoles muy cercanos a sus correspondientes de la gama griega.


3. LA GAMA TEMPLADA

Las dos gamas precedentes definen (identificando las notas muy próximas, como do sostenido y re bemol, etc.) 12 intervalos, que además son ligeramente desiguales. La gama templada divide también la gama en 12 intervalos, pero iguales a priori.


Resulta de ello que la potencia 12 de cada uno de estos intervalos iguales es igual a 2: es el intervalo de la octava. Dicho de otra manera, el intervalo fundamental es la raíz duodécima de 2 y las frecuencias de las 12 notas están en progresión geométrica. Si la primera nota es do, la segunda se llamará a la vez do sostenido y re bemol, etc., que serán en esta gama dos notas idénticas.

La manera más simple de determinar el intervalo fundamental, , raíz duodécima de dos, consiste en apelar a los logaritmos. Este intervalo fundamental es un número irracional. De ello resulta que la gama templada no incluye ningún intervalo simple, lo que habría desesperado a Pitágoras, y las notas que la componen no tienen ningún armónico común, lo que está bien lejos de la concepción de los físicos sobre la afinidad  de los sonidos. No obstante, las notas de esta gama son bastante cercanas a las de las dos precedentes como para recibir los mismos nombres, aunque ninguna coincide exactamente con su homónima.

La gama templada es, pues, de una concepción matemática netamente más complicada que las otras y no pudo ser ideada antes de la invención de los logaritmos.

Juan Sebastián Bach, que fue el primero en utilizar la gama "templada", sólo pudo hacerlo porque Neper lo había precedido e inventó los logaritmos poco después de 1600. Esta gama se convirtió naturalmente en aquella por la cual se afinan los instrumentos de sonido fijo.

Aparte de estas tres gamas, se han concebido otras. Los partidarios fanáticos de la sección áurea han tratado de aplicarla a la longitud de las cuerdas. Estas investigaciones, aunque muy interesantes, no han logrado destronar a las gamas tipos, que siguen siendo las únicas en uso. Este plural, como hemos visto, es prácticamente un singular y la gama de Bach no es de hecho más que una hija de la gama griega, con la cual se identifica en la práctica.

Nos queda por intentar la crítica matemático-filosófica de estas tres gamas y ver si no sería posible que los matemáticos participaran en la renovación del arte de los sonidos.

Su valor estético no está en discusión: es un hecho establecido por la potencia emotiva de la música. Se plantean entonces las cuestiones siguientes:

1º) ¿De dónde proviene este valor estético?

2º) ¿Agotan estas gamas las posibilidades de expresión de la música?

3º) ¿No sería posible e interesante utilizar otros sonidos que los que ellas nos imponen?

Las gamas de Pitágoras y de Zarlino son para los matemáticos de idéntica concepción: ambas se reducen a relaciones simples. La gama templada, que utiliza relaciones irracionales, no puede derivar su valor emotivo exclusivamente del frágil argumento de que cuenta con intervalos iguales. Pues, entonces, se habría podido plantear a sus creadores la siguiente pregunta: "¿Por qué 12 intervalos en una octava, y no 7 ó 15, etc.? La respuesta me parece evidente: Porque mediante la división en 12 intervalos, se obtienen sonidos prácticamente identificables con los de la gama griega". La gama templada ha sido creada, pues a semejanza de la gama griega. La misma observación es válida para la gama de Zarlino, que entre los sonidos que permite tener en cuenta no utiliza más que los ya definidos por Pitágoras.

El problema estético de las gamas vuelve a recaer íntegramente en la gama griega.

Su valor artístico reside en la siguiente concepción, admitida para las artes en general: las relaciones simples son elementos creadores de belleza. Es también un hecho establecido por la existencia de obras de arte concebidas según este principio. Podemos afirmar, pues (con toda la prudencia que debe acompañar a tales afirmaciones): nuestras gamas son bellas porque participan del principio griego de armonía basado en la utilización de relaciones simples.

Aquí el matemático se plantea el problema relativo a la recíproca de esta afirmación: ¿la belleza no puede ser creada más que por relaciones simples?

La respuesta es no. Consideremos, desde el punto de vista musical, algunos hechos de orden personal o general que demuestran esta afirmación.

Me acuerdo de una ascensión a los Alpes, durante la cual bruscamente nos llegó de las dos vertientes de la montaña el sonido de campanillas de dos rebaños que apenas se distinguían en los valles, a unos centenares de metros más abajo. La gran variedad de los sonidos que llegaban hasta nosotros formaban una armonía asombrosa, sin ritmo, sin acordes clásicos, de la que no puedo acordarme sin una profunda emoción. Y sin embargo, se trataba de sonidos imposibles de transcribir a nuestra música, que ningún compositor habría podido fijar sobre el papel y ninguna orquesta habría podido hacer revivir. Creo poder añadir que ningún ser humano, aun inculto, pero normalmente constituido, habría podido permanecer insensible a esa música.

¿Y el canto de los pájaros? Es un lugar común, que no ha perdido nada de su verdad, el considerar hermosas las largas frases del ruiseñor; sin embargo, es imposible tratar de transcribirlas a nuestra gama.

En su viaje al Congo, Gide hablaba de las melodías negras. Sostenía que los sonidos que empleaban no corresponden a nuestra gama y la transcripción, con nuestros signos, que intentó hacer, es solamente aproximada (lo ha dicho él mismo). No obstante, estas melodías emocionan a los negros, y por tanto son bellas. Es evidente que nos desconciertan (2.500 años de atavismo musical no se desenraízan tan fácilmente), pero de ello no tenemos derecho a deducir que están desprovistas de estética.

Dentro de otro orden de ideas, nuestras gamas y la mayoría de nuestros instrumentos impiden la utilización de los sonidos de variación continua, de los cuales hallamos ejemplos en la sirena, en el dominio de los sonidos más bien desagradables, o en las modulaciones del viento en los árboles o debajo de las puertas.

De todo esto resulta que nuestra música no agota, y no puede agotar, todos los recursos del arte de los sonidos. No hay que concluir de esto que nuestro arte musical está viciado de pobreza original; hay más de 400 millones de maneras de agrupar las 12 notas de la gama (sin tener en cuenta las repeticiones posibles y la diversidad del ritmo). Los compositores gozan pues de enorme libertad.

Sin embargo, nada impide que un músico pida a un matemático que le fabrique, por ejemplo, una gama de intervalos iguales, pero de 14 notas, en lugar de 12. La cuestión se resuelve fácilmente, como se ha visto, con ayuda de los logaritmos. El músico podría (después de una adaptación de la que un buen artista debe ser capaz) hacer ejecutar un trozo de esa gama, de acuerdo a la cual se podrían afinar los instrumentos de cuerdas y algunos instrumentos de viento. No subestimamos la dificultad, pero los hombres han superado otras peores. Este ensayo tendría una indiscutible originalidad y una de las gamas que podrían obtenerse así, sería quizás la del ruiseñor o de los pájaros en general.

Además observemos que la escritura musical no es más que un gráfico de dos variables, ya que indica la duración de una nota y su altura. Recíprocamente, podría ejecutarse un gráfico trazado sobre un pentagrama. Dibujemos una curva sobre papel de música: los puntos de intersección de esta curva con las líneas definirán una nota cuya duración podrá indicarse por la distancia horizontal que separa a dos puntos de intersección vecinos. El trazado de estas curvas podría hacerse sobre la base de consideraciones matemáticas.

En resumen, hace dos mil quinientos años la música se identificaba con las matemáticas de entonces: la escuela pitagórica creó a ambas con los mismos principios. Luego, las relaciones entre las matemáticas y la música se aflojaron, la gama templada fue, hace doscientos cincuenta años, el último resultado importante de su colaboración. No hay que inferir de esto que esa colaboración ha terminado. Aún reserva indiscutibles posibilidades que quizás utilicen los músicos futuros.»

 


El texto transcripto consta de 2.919 palabras y pertenece a Henri Martin, quien fue Inspector Principal de la Enseñanza Técnica durante los años de la ocupación nazi de Francia. Forma parte de una recopilación iniciada por F. Le Lionnais en la que colaboraron más de cuarenta matemáticos franceses. El título original de la obra es: Les grands courants de la pensée mathématique", Cahiers du Sud, París, 1948. La traducción pertenece a Néstor Miguez y la revisión técnica estuvo a cargo de la doctora Rebeca Guber y del doctor Luis A. Santaló, profesor de la Universidad de Buenos Aires. Corresponde a la tercera edición: marzo de 1976, por EUdeBA S.E.M., cuyos derechos adquirió en 1962. La obra se halla fuera de catálogo y totalmente agotada. Reproducido de la versión en rústica que se imprimió en los Talleres Gráficos OFFSET S.R.L., 5.000 ejemplares, febrero de 1976, páginas 523 a 530.
La Ley 11.723 autoriza a transcribir hasta mil palabras, citando la fuente. Como este es un sitio sin censura previa, soy el único responsable de su publicación, que ha sido hecha sin fin doloso y con la única intención de cumplir con el espíritu del pensamiento de Antonio Machado, que dijo: "En cuestiones del saber sólo se pierde lo que no se da". La República Argentina ya ha perdido mucho en este aspecto y es hora de recuperar nuestra capacidad de pensamiento independiente, lúcido e instruido. A los fines que corresponda, mi Documento Único de Identidad es el número 08.511.149 y mi domicilio legal: Pueyrredón 1.369, depto. 8, 1704 RAMOS MEJÍA, Prov. de Buenos Aires.

No puedo agradecer debidamente a la persona que me facilitó el "Tesoro", en el que figuran trabajos de Émile Borel, Jean Dieudonné, Roger Godement, Le Corbusier y Louis de Broglie; para no hacerla "partícipe necesario", mi silencio está garantizado. De todas formas, prestar un libro a un desconocido, no es un delito; es un acto de amor y de fe, no en la persona, porque no se la conoce, sino en la naturaleza original del hombre, que sobrevive a veces bajo el nombre de "conciencia". Yo perdí así media biblioteca. Pero no me arrepiento, porque estaban leídos y el saber contenido no quedó solamente en mí.

COMENTARIOS A PARTES DE LO LEÍDO

El autor parece estar imbuido de las ideas previas a la invasión napoleónica a Egipto. Hasta esa fecha, las ruinas egipcias eran un misterio científico para Europa; ya que se sabía muy poco de esta antigua civilización, de mano de griegos y romanos y de fuente bíblica. Napoleón llevó consigo un pequeño ejército de científicos que pusieron observación, intelecto y mano a todo lo que pudieron. Allí comenzó el redescubrimiento de la historia antigua de la civilización humana. Si bien es innegable que todavía estamos en la civilización greco-latina, hemos descubierto con el tiempo que los griegos tomaron casi todo de pueblos anteriores y lo reprocesaron a su propio estilo, con algunos agregados elegantes. El alfabeto griego es, por ejemplo, copia de los alfabetos fenicio y hebreo, de los que conserva parte de su estructura numérica. La diferencia en más en la cantidad de letras se debe a que el alfabeto hebreo consta de veintidós letras con triple significado: número, sonido y forma. Tanto el hebreo como el fenicio son lo que se denominan alfabetos mágicos. En cuanto a las formas, las veintidós letras representan polígonos regulares que dividen a los trescientos sesenta grados de la circunferencia. Estos polígonos tienen significado terrenal, concreto o literal, mientras que el aspecto numérico paralelo tiene significado celestial, espiritual, simbólico o figurado. Hay dos divisores de 360 grados que no corresponden a polígonos: 1 y 2; pero los hebreos utilizaban sonidos no representados por letras, sino por dobles consonantes; de ahí que el griego tenga más letras y que ellos hayan abandonado (o ignorado) el significado geométrico. Tanto el hebreo antiguo como el fenicio se escribían con trazos cuneiformes. Los griegos adoptaron formas más elegantes para representar las letras. Los hebreos cambiaron también sus cuñas por los símbolos cuadrados actuales.

El origen del sistema de numeración más antiguo que se conoce está en Sumeria. Ellos utilizaban un sistema sexagesimal de numeración y de medición de ángulos, que subsiste hasta hoy. En la astronomía local, el sesenta cumple una función muy importante, por varios motivos: para la paralaje y otras consideraciones locales, el sistema de numeración de base sesenta es muy adecuado porque todo triángulo rectángulo diofantino tiene el producto de sus lados múltiplo de sesenta. El sesenta juega un papel también en algunas conjunciones planetarias observables a simple vista, junto al cuarenta, del que resulta ser su "sesqui". El cuarenta es el divisor común máximo de los múltiplos comunes mínimos de las revoluciones sinódicas de los planetas visibles. Los números 12, 28, 30, 40, 60, 360, 720, 840, 1260 y 2520 son claves fundamentales para la confección de calendarios y para ciertas transformaciones entre triángulos rectángulos (como la Identidad de Fibonacci; un problema presentado por Fibonacci en su "Liber Quadratorum", 1225, es de origen sumerio e involucra el 720). De los sumerios nos viene también la docena (incluido el Zodíaco) y, quizás, las doce notas musicales. Otros pueblos utilizaron sistemas vigesimales, como los Mayas y Aztecas y los viejos Franceses y hasta hubo sistemas de base cinco. El autor parece desconocer la música pentatónica.


 Que la música transmite emociones y puede crear o alterar estados de ánimo no es novedad. Desde un punto de vista neurofisiológico significa que libera los neurotransmisores o las neurohormonas necesarias para ello. La alegría o la belleza causan placer y el placer está asociado a la liberación de endorfinas, sustancias de la familia de la morfina. El funcionamiento del cuerpo humano es maravilloso; por ejemplo, cuando uno sufre por algo y llora, las lágrimas contienen endorfinas que sirven para mitigar el dolor o causar consuelo. Cuando uno lagrimea por otras causas, las endorfinas no están presentes. La música puede aplacar a una fiera o enviar a un hombre a la batalla. Pero el mecanismo por el que estas cosas suceden es ignorado todavía por la ciencia oficial.

Los indios que profesan el hinduísmo creen en la reencarnación de las almas. Según haya sido el comportamiento de un ser en una vida, la siguiente etapa será en un ser superior o inferior. Una persona que haya causado mucho mal puede, según estas creencias, reencarnar en una planta. Los indios se sientan cerca de una planta a la que quieren hacer crecer y le hablan o cantan, para consolar y animar al ser que está siendo castigado en ella. Los doctos generalmente miran con compasión a estas personas; lamentando profundamente la ignorancia y la superstición en la que están sumergidos. Y tienen una parte de razón, pero no toda la razón, porque las plantas sí crecen. Verdaderos científicos, que prefirieron ver de qué se trataba antes de ponerse a despreciar o condolerse de sus semejantes, colocaron plantas de la misma especie y en las mismas condiciones de fertilidad, riego e insolación, en lugares completamente silenciosos, en un lugar cualquiera y en recintos en los que rodeaban a las plantas de ciertos sonidos de frecuencias fijas. Las plantas que recibieron la irradiación de frecuencias de 1.000 vibraciones por segundo y 10.000 vibraciones por segundo crecieron tres veces más que todas las demás. Casualmente la frecuencia de mayor potencia de la voz humana y la que más abunda tanto en el habla como en el canto es la de 1.000 ciclos por segundo. El control de "medios" o de "presencia" de los amplificadores resalta la banda alrededor de los mil ciclos para destacar la voz del cantante o acercar a la orquesta al oyente.

Los procesos químicos son afectados por los sonidos y por las ondas electromagnéticas; así, por ejemplo, la precipitación del oxicloruro de bismuto cambia de velocidad si se irradia el experimento con ondas electromagnéticas de 3.000 ciclos por segundo. Las ondas electromagnéticas no son ondas sonoras, pero hacen vibrar a las moléculas con momentos dipolares. Es conocido el tragicómico caso de la persona que tenía una amalgama en su boca y creía estar loca porque al dormir "escuchaba voces". En el silencio de la noche, este pobre hombre oía sin llegar a comprender un programa de radio que detectaba su muela tratada. Una nueva reparación dentaria eliminó la posibilidad de que se auto-internara en un manicomio. Por el motivo que sea, los hombres no somos indiferentes a los sonidos y a las radiaciones electromagnéticas que nos rodean; quizás afecten directamente algunos procesos electroquímicos, o es posible que los sonidos interfieran o intermodulen con las frecuencias cerebrales. No sabemos nada.

El comportamiento del cerebro con respecto a los sonidos tiene aspectos extraordinarios y sorprendentes. Antiguamente usábamos bafles con parlantes de quince pulgadas y madera maciza o terciado fenólico enchapado en madera fina de dos pulgadas de espesor y refuerzos interiores. Levantar uno de estos transductores requería dos o tres personas y era el sueño de todo audiófilo llegar a la frecuencia de 32 Hz. Hoy encontramos equipitos con parlantes de cinco pulgadas y gabinete de plástico que hacen las veces de sub-wooffers y uno se pregunta: ¿de dónde saca tantos bajos este equipo? ¿Me cambiaron las leyes de la acústica? Afortunadamente no. Sucede que se hace uso de una disciplina reciente que se llama psico-acústica. El cerebro reconstruye una nota fundamental faltante si puede escuchar sus armónicas; basta, entonces, con reforzar las armónicas de los sonidos más bajos que el equipo es incapaz de reproducir, para que nuestro "cerebrito" rellene las brechas. La verdad, suena muy bien, pero cansa, sobrecarga la CPU; de verdad, produce fatiga y hasta dolores de cabeza. También existe lo que se llama la frecuencia mínima de una habitación. Las ondas sonoras se reflejan y se anulan en ambientes que no tienen las medidas adecuadas para soportarlas. Un living normal no baja de los cincuenta ciclos en el mejor de los casos. Por eso el sonido es más limpio y pleno en grandes recintos, como templos, teatros o cinematógrafos.

Juan Sebastián Bach era erudito en varias materias, no solamente en la música. Llegó a estudiar la acústica de ciertos templos donde iba a ser ejecutada la música que le habían encargado, para aprovechar las resonancias y crear efectos sonoros que no son audibles en otras partes.

Las grandes catedrales góticas del Medioevo no son únicamente templos "cristianos", por tener forma de cruz o de doble cruz y el altar hacia el Este (los fieles viajan hacia la luz -el orto del Sol en los equinoccios-). La forma entera del edificio constituye un texto que puede ser leído y una melodía permite construir su geometría completa; esto, por supuesto, para los que están en posesión del código necesario. Francia era conocida antiguamente como la Galia, el país del gallo. El gallo es el símbolo de Hermes Trimegisto, el mítico creador de la alquimia. Sobre las cruces que coronan las torres más altas de las catedrales góticas de Francia están parados invariablemente unos gallos metálicos, como las cruces. Tengo entendido que el genial pintor Salvador Dalí fue excomulgado por haber pintado a Cristo en la cruz, pero visto desde arriba, como desde la posición del Dios Padre. Nadie protestó jamás porque un ave de corral fabricada por la mano del hombre se parara arriba del símbolo de la cristiandad. (En realidad, Cristo no murió en una cruz, sino en un madero vertical, pero ese es otro tema).


El autor dice que tanto los ojos como los oídos funcionan como contadores de frecuencias. Hablemos un poco de los ojos:

Una persona angustiada, cuando es iluminada por una luz estrosboscópica de alrededor de 18 destellos por segundo, sufre alucinaciones tan vívidas que las confunde con la realidad. El estado desaparece junto con la angustia y no ocurre en personas serenas. Las luces estrosboscópicas pueden producir ataques de epilepsia en personas sanas. Por esa razón, no es recomendable bordear los caminos con arboledas separadas por espacios iguales, pues el parpadeo del Sol puede provocar el descontrol del conductor si la frecuencia de parpadeo le produce epilepsia. Las luces parpadeantes pueden producir, también, la saturación del nervio óptico. A principio de los años setenta se conoció un accidente ocurrido a una escuadrilla de aviones de combate estadounidenses de reciente fabricación. En perfecta formación, se estrellaron todos contra una montaña. Al principio se pensó en algún tipo de sabotaje o de un defecto oculto de fabricación. Los estudios exhaustivos de todos los despojos descartaron fallas mecánicas o de resistencia de materiales y también la hipótesis de sabotaje. Resultaba inexplicable que todos los pilotos se hubieran equivocado de igual forma y al mismo tiempo, hasta que alguien descubrió la verdadera razón de la tragedia: un radar de a bordo parpadeaba en una frecuencia tal que saturaba el nervio óptico de cada piloto. Simplemente entraron en un una especie de sopor y los aviones siguieron su curso automáticamente hasta la colisión. Estos fenómenos habían sido descriptos por el eminente neurofisiólogo inglés Gray Walter en su libro "El Cerebro Viviente" ("The living brain"), Fondo de Cultura Económica, México. Los ingenieros electrónicos ignoraban el fenómeno. Un cambio en la frecuencia de barrido del radar acabó con el problema.

Los sonidos repetitivos de ciertas frecuencias causan efectos similares. También hay prácticas mágicas o religiosas que están dirigidas a la percepción de imágenes preternaturales. Los rezos ininterrumpidos como los de los budistas o los cánticos largos y sin silencios (legatos) tienden a disminuir el oxígeno que recibe el cerebro. Cuando el nivel de oxígeno es normal, el cerebro se ocupa de todo lo que tiene valor de supervivencia (ubicación en el espacio, en el tiempo, percepción del entorno, etc.); pero cuando hay hipoxia (falta de oxígeno) estas funciones son relegadas y cobran importancia las percepciones de formas y colores. Un cerebro poco oxigenado libera catecolaminas y neurohormonas que producen visiones sobrenaturales; hermosas o terroríficas imágenes multicolores similares a las que producen el LSD o la mezcalina. Esto ha sido aprovechado por chamanes y brujos para producir experiencias sobrenaturales en individuos y en ellos mismos, muchas veces ayudados también por el empleo de drogas, desde la más remota antigüedad. La calidad de hermosas o terroríficas, depende de la personalidad del individuo actuante; así como hay borracheras alegres y pendencieras.

En la alta magia, que no es una antigüedad y sigue siendo practicada por seres de nivel intelectual sobresaliente (algunos premios nobeles relativamente recientes pertenecieron a una sociedad secreta llamada Golden Down, neopagana, con ramificaciones en la Alemania pre hitleriana e influencia en la creación del nazismo esotérico -Logia Luminosa, Grupo Thule, SS de la calavera), la palabra es una potencia y en todo rito (que involucra una cantidad enorme de geometría y álgebra) toman relevante importancia el ritmo y la entonación de lo que se dice. Puedo dar dos ejemplos que creo no me traerán problemas: el poeta Yeats y sir Bulwer Lytton, fueron iniciados y practicantes de artes mágicas paganas. En última instancia, la ciencia enseña que todo lo que existe tiene naturaleza ondulatoria. Si fuera posible reproducir todas las ondas que componen un objeto, tendríamos el objeto mismo.

Ondas y espacio vacío... He aquí el misterio. Y la antigua creencia que cada objeto tenía un nombre que era el objeto mismo.

¿Nos pondremos de acuerdo, psicólogos, fisiólogos, neurólogos, médicos psiquiatras y clínicos, endocrinólogos, matemáticos, ingenieros varios, biólogos y quién sabe cuántos más especialistas a sacarnos de una vez los prejuicios de encima y hacer lo que hicieron los científicos de los setenta con las plantas a las que se les habla? ¿Qué hay de cierto en lo fantástico y qué de falso? Cerrando los ojos frente a la realidad no se elimina la realidad, sólo se esconde la cabeza como el avestruz.





lunes, 3 de octubre de 2016

LA PARADOJA DEL BARBERO DE RUSSELL



Russell Enuncia una propiedad: “Es hombre y no se afeita por sí mismo”.

Esta propiedad define un conjunto B: el conjunto de los hombres que no se afeitan por sí mismos.

Russell afirma que existe un barbero que afeita a todos los hombres que no se afeitan por sí mismos y solamente a tales hombres.

Si preguntamos si el barbero pertenece a B, surge la paradoja:

Si el barbero pertenece a B, entonces no se afeita por sí mismo; en consecuencia, es un hombre afeitado por el barbero, o sea, por sí mismo, con lo que no pertenece al conjunto B.

Si el barbero no pertenece a B, luego se afeita por sí mismo, con lo que es un hombre afeitado por el barbero y, por tanto, no se afeita por sí mismo, perteneciendo a B. O sea, en ambos casos el barbero pertenece y no pertenece al conjunto B, lo que es una tremebunda contradicción.

En este caso, el ejercicio de Russell lleva implícito un enunciado no expresado: “Todo hombre es afeitado”. Esto podría no ser cierto, pues algún hombre es libre de decidir que no será afeitado jamás.

Entre los hombres que son afeitados, podemos distinguir dos clases:

A : { es hombre y se afeita por sí mismo} y B : {es hombre y no se afeita por sí mismo}.

La unión de ambos conjuntos, A U B, es el conjunto que tiene la propiedad definitoria “es hombre y es afeitado”.

Para evitar la contradicción hay dos alternativas:

La primera, suponer que el barbero no es afeitado; pertenece a un conjunto con la propiedad “es hombre y no es afeitado”. Para que no surja contradicción en este caso, la propiedad definitoria de B debería ser “es hombre, es afeitado y no se afeita por sí mismo”. El conjunto A se definiría con “es hombre, es afeitado y se afeita por sí mismo”. Así, el barbero no pertenece a ninguno de los dos conjuntos A y B sin caer en contradicción.

La segunda opción contempla que el barbero sí se afeita. En este caso debe excluirse la expresión “y solamente a tales hombres”. Luego, el barbero no pertenece a B y sí pertenece a A.


Pero esta paradoja es una variación intuitiva de otra formal de tratamiento más delicado. El manejo intuitivo dado aquí al problema del barbero podría no ser efectivo en el caso formal y general.

lunes, 11 de enero de 2016

Cuadratura exacta de la rectificación de una circunferencia




Si preguntamos a cualquier persona con formación matemática si es posible construir euclidianamente un cuadrado de superficie equivalente a la rectificación de una circunferencia, dirá que no. Una circunferencia de radio unitario, por ejemplo, tiene un arco rectificado de 2 π; cuadrar esa longitud requeriría construir la raíz cuadrada de π con regla y compás. Eso no es posible. Pero no siempre es así.

Dibujemos un segmento de recta de valor arbitrario y asignémosle el valor 2π. Es fácil construir euclidianamente un cuadrado con ese segmento de recta. Cada lado tendrá una medida  igual a la mitad de pi y la diagonal de ese cuadrado mide el producto de la mitad de raíz cuadrada de 2 por  π. La mitad de este último valor resulta ser el radio de la circunferencia que inscribe al cuadrado. La rectificación de la circunferencia es igual a dos veces pi por el radio; o sea: la mitad de raíz cuadrada de 2 por  π² .

Esta rectificación es igual al producto de dos segmentos menores iguales a raíz cuadrada de 2 por π y a un medio de π respectivamente; ambos construibles mediante regla y compás a partir de nuestro segmento de valor arbitrario. También es posible construir los segmentos de manera que estén uno a continuación del otro y en una misma recta. Tomando a su reunión como el diámetro de una circunferencia, trazándola y construyendo un segmento de recta normal al diámetro en el punto de reunión de dichos segmentos,  el segmento que va desde ese punto de reunión hasta un punto de la circunferencia es la media geométrica entre ambos segmentos; es decir, la raíz cuadrada del producto de ambos y el valor del lado de un cuadrado cuya área es igual a la longitud rectificada de la circunferencia.

 Como todas las circunferencias tienen la misma forma, dada una cualquiera de valor indefinido, podemos construir en ella un cuadrado inscripto, decir que su lado vale un medio de  π y encontrar la cuadratura. Esto vale solamente si es el segmento del lado del cuadrado el que tiene ese valor asignado y no para cualquier valor del lado del cuadrado. Pero hay un anillo infinito numerable y denso cuyos elementos son el producto de un número entero positivo, un racional positivo o un irracional cuadrático por el valor arbitrario de π en los que la cuadratura es posible.