El Teorema de Incompletitud de Gödel

En 1931, Kurt Gödel publicó un trabajo denominado “Sobre Proposiciones Formalmente Indecidibles de Principia Mathemática y Sistemas Análogos”, obra excepcional que le valió el nombramiento de Doctor Honoris Causa otorgado por la Universidad de Harvard. Es una obra de las que honran a la Humanidad y todo hombre culto no matemático ni lógico debería conocer al menos rudimentariamente lo que significa.

El teorema demuestra que todo sistema axiomático lo suficientemente rico como para describir la aritmética es de necesidad incompleto o incoherente.

Gödel construyó un lenguaje formal y, con él, un enunciado que –intuitivamente- se puede describir como “Esta frase entre paréntesis es indecidible”. Si asumimos que es verdadera, consiste en una frase verdadera e indemostrable, por lo que el sistema es incompleto. Si consideramos que es falsa, es un ejemplo de una frase falsa pero demostrable, con lo que el sistema axiomático se vuelve contradictorio.

Un poco de axiomática.

Podemos definir “intuitivamente” el concepto de enunciado, como toda expresión hecha en un lenguaje, de la cual tenga sentido inequívoco afirmar su verdad o su falsedad. Por ejemplo: Napoleón gobernó Francia; podemos afirmar con sentido su verdad o su falsedad. Hay una estructura más general y profunda que los lógicos llaman proposición, que atiende al significado más que a la forma de enunciación, pero no nos internaremos en semejantes honduras.

La Lógica no se ocupa del contenido efectivo de verdad de un enunciado; o sea, no se interesa en una calificación absoluta de verdad o falsedad concordante con la experiencia acumulada. Para esta ciencia, calificar a un enunciado aislado como “verdadero” tiene tanto sentido como calificarlo de “falso”. Al considerar más de un enunciado, muchas veces la suposición de un valor de verdad para uno condiciona los valores de verdad de otros. Así, por ejemplo, si suponemos verdadero un enunciado, su negación debe ser forzosamente falsa. Otros enunciados son siempre verdaderos, como “a o no a”, esto debido a su forma y no a su contenido. Cambiando el conectivo “o” por “y”, tenemos “a y no a”, que es una contradicción.

El razonamiento consiste en un encadenamiento de juicios o enunciados que termina en otro que resulta fundado en los anteriores, que es una consecuencia ineludible de los anteriores. A veces se dice que la Matemática está casi enteramente basada en el razonamiento deductivo. Una regla de oro que determina la validez de estos razonamientos es: la verdad de los antecedentes determina la verdad del consecuente. Vale decir, la conclusión se desprende de las premisas por necesidad, en virtud de ciertas características lógicas puramente formales de las mismas. En este tipo de razonamiento la conclusión se desprende lógicamente de las premisas o no lo hace; es esto último lo que la convierte en una ciencia exacta: no hay grado de probabilidad sino certeza. Supuesta la verdad de los antecedentes, se deduce la verdad del consecuente; una nada despreciable cualidad de conservar la veracidad del conocimiento; pero ningún camino lógico conduce de la verdad del consecuente a la de los antecedentes. La Lógica es ampliamente condicional.

En cuanto a la naturaleza deductiva de la Matemática, Jules Henri Poincaré se preguntaba por qué no se reducía toda esta ciencia a una tautología, a una rebuscada forma de decir “a es a”. Es claro, el razonamiento deductivo contiene a la conclusión en las premisas; o sea, no aporta conocimiento nuevo. Esta es una cuestión aún no resuelta. En la ciencia matemática, otro modo de establecer conocimientos es mediante la inducción completa; de todas formas, la manera en la que se producen las ideas creadoras es una cuestión que excede el marco de la lógica y el de la matemática.

Cuando se agrupan enunciados con el fin de crear un conjunto desde el cual deducir o construir otros conocimientos, nos encontramos con un sistema axiomático. Los enunciados que lo componen pueden ser de dos clases: axiomas o postulados. Los axiomas son enunciados de verdad evidente y los postulados no lo son; se pide al lector que asuma su verdad. En la aritmética, por ejemplo, la infinitud del proceso de cuenta es un postulado; no es evidente ni demostrable. A un sistema axiomático se le piden varias cosas:

a) Que sea consistente, coherente o compatible. Significa que ningún axioma o postulado debe ser contradictorio en sí mismo ni contradecir total o parcialmente a los demás enunciados del sistema. Si ello ocurriera, todo el sistema y sus consecuencias serían contradictorios, totalmente inservibles.

b) Que los enunciados sean lógicamente independientes entre sí. Esto quiere decir que ningún enunciado (o sus partes) debe deducirse de otro o de una combinación de otros.

c) Que sea completo. Es decir, que ninguna afirmación que se haga en base al sistema carezca de una demostración de su verdad o falsedad relativa a la verdad supuesta de los enunciados del sistema axiomático. Si aparece una afirmación imposible de demostrar a partir del sistema, estamos ante lo que los lógicos llaman un “indecidible”. Este indecidible, su negación u otra afirmación o negación lógicamente dependiente del indecidible, deben formar parte del sistema axiomático que, de otra forma, queda incompleto.

De las tres condiciones pedidas, la más indispensable es la primera y la más difícil –cuando no imposible-, la última.

Con respecto a lo mencionado en la condición “b”, el problema se resuelve cambiando el axioma en estudio por su negación. Si su negación no introduce contradicción con ninguno de los axiomas restantes o sus combinaciones, tendremos que, si el sistema no es en sí mismo contradictorio, entonces, el axioma analizado es lógicamente independiente. Ello se debe a que si fuera lógicamente dependiente se deduciría de algún axioma o de una combinación de ellos y, por supuesto, aceptada la verdad de los antecedentes, forzosamente tendría que ser verdadero. Al introducir su negación como “verdadera” (que deberá ser necesariamente falsa si ocurre lo primero), el sistema se volverá contradictorio. Este mismo proceso es el que usamos cuando demostramos un teorema por el absurdo: negamos lo que queremos demostrar (o sea, aceptamos la verdad de la negación) y, si es deducible del sistema, la negación nos llevará a una contradicción. Esta forma de demostración es “cómoda”, porque a veces es muy difícil plantear un camino “directo”; pero no todos los matemáticos admiten este tipo de argumentación. Hay una escuela que no se conforma con la no contradicción, sino que exige la construcción efectiva del concepto a demostrar.

Actualmente, toda la no contradicción de la Matemática se basa en la no contradicción de los axiomas de la Teoría de Conjuntos. Anteriormente, había sido reducida a la no contradicción de los axiomas de la Aritmética. Esto demuestra que solamente se hace retroceder el problema, ya que la no contradicción de los axiomas de la Teoría de Conjuntos debería hacerse depender de un sistema más general que sea cumplido por éstos, y así hasta el infinito.

La posible incoherencia del sistema que fundamenta la Matemática no invalida el conocimiento práctico acumulado, sino que cuestiona la validez de los métodos con que establecemos la verdad de nuestros conocimientos.


Algunos comentarios complementarios.

Hay cierta confusión y disparidad de criterios entre los matemáticos con respecto al Teorema de Incompletitud. Se suele trabajar con proposiciones indecidibles, pero forzosamente verdaderas; con lo que se evita la posibilidad de incoherencia del sistema.

Como vimos, un enunciado que no puede deducirse o demostrarse a partir de un conjunto de axiomas es lógicamente independiente. La única diferencia que existe entre un enunciado indecidible y uno lógicamente independiente es su ubicación en el tiempo con respecto a la elección de un sistema axiomático. Cuando uno forma un sistema axiomático no quiere que haya redundancias, quiere economía de axiomas. Por lo tanto, forma el sistema con enunciados que no sean deducibles del resto del sistema o de alguna de sus partes. Una vez considerado terminado el sistema axiomático es cuando puede aparecer un enunciado que sea indemostrable y, por tanto, indecidible. Resulta ser, también, lógicamente independiente, por lo que es lícito incluirlo en el sistema o poner en su lugar su negación (pues la negación no introduce contradicción).

Lo que trae problemas en la construcción de Gödel es que él armó una proposición en lenguaje formal que enuncia: “Esta frase entre paréntesis es indemostrable.” Y, como ya se vio, si la consideramos falsa es un ejemplo de frase falsa, pero demostrable a partir del sistema.

En cambio, en la práctica lo que va a aparecer es un enunciado del que no existirá demostración de su verdad ni de su falsedad. Y de esa forma podremos darle cualquier valor de verdad sin problemas. Después se podrá discutir si es más conveniente la verdad o la falsedad. Si el sistema así ampliado es más útil si consideramos verdadero al indecidible o si ocurre lo contrario.

Pero la construcción de Gödel no deja de ser preocupante, porque logró una que si no se supone que es forzosamente verdadera, deja abierta la posibilidad de la incoherencia de todo el sistema. Y esto en un lenguaje estrictamente formal y simbólico, sin ningún contenido de verdad material.


El teorema de Gödel implica la imposibilidad de comparar las teorías científicas de una manera racional y fiable. SegúnPopper, en "Normal Science and its Dangers", 1970, para comparar dos teorías es necesaria una tercera que sea suficientemente completa. Según el Teorema de Incompletitud de Gödel, la tercera teoría tampoco puede ser lo suficientemente completa y hasta podría ser contradictoria, sería impotente para la justificación de una respuesta verdadera, dada por esa teoría. Si bien Popper propone que se puede llegar a una mejor teoría para describir la realidad mediante la falsificación de otra, resulta que ambas tienen en común la incertidumbre del conocimiento. El método científico no puede ser probado completo y correcto más allá de las dudas. La ciencia moderna ha llegado a la embarazosa situación que tanto se le critica a la mística o a la religiosidad: no puede probar sus principios ni encontrar "la causa primera", asumiendo para la frase entre comillas el significado de un sistema lógico de razonamiento que goce de confianza absoluta y que pueda ser encontrado.