martes, 24 de julio de 2007

El Error Didáctico de Asimilar la Suma de Naturales a la Unión de Conjuntos

Con fines didácticos, suele hacerse un paralelo entre la unión de conjuntos y la suma en los números enteros positivos. Los niños y, menos frecuentemente, los jóvenes caen muchas veces en errores interpretativos por no advertir lo que sigue:

Primera diferencia: La unión de conjuntos finitos puede asimilarse a una suma de números enteros positivos tan solo cuando los conjuntos son disjuntos. Cuando los conjuntos a unir tienen elementos comunes la unión da por resultado un conjunto con un número menor de elementos que la suma de los números de elementos de los conjuntos dados.

Segunda diferencia: La operación de suma ordinaria en los números enteros no goza de la propiedad distributiva con respecto al producto. Pero el producto es distributivo con respecto a la suma. En cambio, la unión es distributiva con respecto a la intersección y viceversa.

A U (B ∩C) = (A U B) ∩ (A U C) [*]

A ∩ (B U C) = (A ∩B) U (A ∩ C)

[*] Nos lleva a la fórmula a + b . c = (a + b) . (a + c), imposible, excepto para
a = c = 0.

Ante todo, debo decir que lo único que conozco de didáctica es la palabra. Tampoco tengo experiencia en cuanto a la actividad docente en otros países. Algunos maestros y profesores podrían sentirse ofendidos porque alguien que no conoce un ápice de su actividad la critique; tampoco puedo explicarle a un albañil cómo se levanta una pared, pero si la construye torcida me percato de ello, aunque no sepa decirle cómo hacerlo bien.

Para empezar, muchas personas tienen una imagen utilitaria de la matemática: la matemática sirve para hacer cuentas y resolver problemas prácticos. Si esto fuera todo, sería como decir que la música sirve para que alguien enseñe solfeo hablado en la escuela media y que algunos conjuntos de música popular vendan millones de discos. Hay mucho más.

El verdadero matemático es un creador; construye nuevos objetos matemáticos, nuevos dominios o demuestra propiedades desconocidas de objetos ya definidos y estudiados. Su actividad se parece mucho a la de un músico o la de un pintor o escultor, y no falta quien diga que un matemático que no sea un poco poeta no es un matemático completo.

La actividad principal del matemático puro es la creación y, para ello, debe "demostrar" lo que afirma; o sea, debe argumentar paso a paso para que no quede duda lógica de lo que afirma.

Esto último que acabo de escribir es un obstáculo insalvable para la enseñanza de la matemática en la escuela elemental. Para demostrar una propiedad se debe argumentar; para argumentar correctamente, es menester tener un lenguaje completamente adquirido. Como los niños que asisten a la escuela elemental están adquiriendo precisamente un lenguaje, es imposible que ellos puedan argumentar hasta que esa incorporación esté más o menos completa. Esto ocurre generalmente a los quince años, si la persona fue alimentada correctamente y tiene una inteligencia normal. Chocamos, además, con la dificultad de que ningún maestro de escuela elemental tiene experiencia en la demostración de teoremas; o sea, ignora completamente la naturaleza y el espíritu de lo que está enseñando (Esto desde mi experiencia en Argentina, ignoro todo acerca del tipo de formación que reciben los maestros extranjeros). No podría, entonces, transmitir esto a sus alumnos, aunque pudieran recibir tal mensaje. Como consecuencia de esto, en la escuela elemental se enseña una "mecánica de cálculo y resolución de problemas", pero no matemática.

En cuanto a la matemática moderna y, más específicamente, la teoría de conjuntos, lo que se introduce no es más que nomenclatura y vocabulario, ortografía y sintaxis. Los niños aprenden esto sin comprender el alcance y la verdadera aplicación de lo que reciben y mucho menos se enteran de que hay otros caminos posibles y que estas técnicas tienen sus defectos y "problemas existenciales". En el mejor de los casos, los niños creen que comprenden y los maestros también. El drama llega cuando ingresan a la universidad. Pero, desde mi práctica de la matemática, lo único que puedo decir es qué está mal, pero no cómo corregirlo. De todas formas, no es malo saber la naturaleza del mal; por lo menos se tiene un diagnóstico, después habrá que buscar el remedio.

Pero, por favor, que quede claro que resolver intuitivamente un problema no es lo mismo que desarrollar una teoría que explique la resolución. Es como aquel personaje de Moliere que se sorprendió cuando se enteró de que había hablado en prosa toda su vida.

Para colmo de males, hay más que agregar. Un conjunto se dice un sistema numérico si entre sus elementos están definidas dos operaciones binarias denominadas suma y multiplicación, ambas asociativas y conmutativas y si el producto es distributivo con respecto a la suma.

Asimilando la unión de conjuntos a la suma y la intersección a un producto, tenemos que los conjuntos forman un sistema numérico; pero, con divisores de cero, puesto que toda intersección de conjuntos disjuntos dará el conjunto vacío o "cero" del sistema. Como el conjunto de todos los conjuntos lleva a contradicción, el sistema carece de unidad; al menos que se elija un conjunto de referencia desde el cual se definan otros conjuntos incluidos en él. En ese caso, el conjunto de referencia es la unidad. Esto va completamente en contra del concepto "intuitivo" de unidad.

En aritmética la multiplicación es una especie de abreviatura de una suma: equivale a sumar el multiplicando tantas veces como el número que representa el multiplicador.

Si asimilamos la intersección al producto, es evidente que no puede ser considerada como una repetición de uniones de uno de los conjuntos.

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