domingo, 30 de marzo de 2014
¿Infinitos primos gemelos?
Siguiendo el método del artículo anterior, me permito abordar el problema abierto de la existencia de infinitos pares de primos gemelos. Se llama primos gemelos a dos números primos consecutivos. Por ejemplo: el 5 y el 7 ó 17 y 19. Los únicos primos consecutivos que difieren en una unidad son el 2 y el 3. Como todos los demás son impares, la diferencia será igual a 2.
Como en el caso anterior, planteemos una ecuación cuadrática, en principio, en una variable:
x² - bx + c = 0
Sea c igual al producto de dos primos gemelos. Luego, c = p (p + 2) = p² + 2p
Si queremos que p y p + 2 sean raíces de la ecuación, b debe ser igual a: p + p + 2 = 2p + 2.
Reemplacemos en la ecuación original:
x² - (2p + 2)x + p² + 2p = 0
En este caso p no es una variable, sino que es un valor determinado primo impar. Si quisiéramos investigar a la totalidad de los números primos impares, deberíamos convertir a p en una variable "y". Hagámoslo.
x² - (2y + 2)x + y² + 2y = 0
Haciendo las operaciones y reordenando, tenemos:
x² - 2yx - 2x + 2y + y² = 0
Si se pudiera determinar la cantidad de soluciones enteras para esta ecuación diofántica cuadrática en dos variables, se podría resolver el problema de la potencia del conjunto de los primos gemelos. Es más: si las raíces de esta ecuación están acotadas, se podría llegar a obtener soluciones concretas; es decir, pares de primos gemelos de cualquier magnitud humanamente manejable.
Sin embargo, "y" no siempre representará a un número primo; esta ecuación también puede tener soluciones enteras compuestas impares consecutivas. Los pares de primos gemelos serán un subconjunto de esas soluciones. Los primos gemelos sumados dan un número par divisible por 12. Esto es inmediato: la suma de dos números impares es par; también es el doble de la media aritmética de esos dos primos, que no es otra cosa que el número par que los separa; que, a su vez, es divisible por 3, puesto que es el único compuesto entre tres números enteros consecutivos.
A priori, uno podría suponer que la ecuación es una cónica. Pero resulta ser una forma degenerada. Resulta ser dos rectas paralelas de pendiente unitaria, una de ellas x = y y la otra x - 2 = y. Hay infinitas soluciones, pero su forma no aporta nada al tema.
La conjetura fuerte de Goldbach
Hardy lo calificó como el problemas más difícil, no solamente de la teoría de números sino, de toda la matemática.
No soy quien para desautorizar a Hardy. Apenas un aficionado mediocre o peor.
Sin embargo, a veces la dificultad disminuye si se encuentra una manera de enunciar el problema que lo lleve a un terreno menos escabroso.
La conjetura dice que todo número entero positivo par mayor que 4 es expresable como suma de dos números primos impares, pudiendo repetirse un mismo número primo.
Se me ocurre que está suficientemente estudiado el caso de las ecuaciones cuadráticas diofánticas (o diofantinas). Si no exhaustiva o cabalmente, por lo menos en grado suficiente.
Sea una ecuación cuadrática en una variable x² -bx + c = 0. b es un número entero par mayor que 4, si y solo si existe por lo menos un entero positivo c tal que la ecuación tiene dos raíces enteras impares mayores o iguales que 3.
Yo diría que esto mismo puede ser un buen camino para demostrarlo. En teoría de ecuaciones hace mucho que se sabe que el entero c es igual al producto de las raíces y que el entero b es la suma de esas raíces. También, el teorema general de la aritmética garantiza que hay una infinidad de enteros impares tales que son producto de dos números primos impares, cualesquiera sean estos primos. Y la suma de dos números impares es un número par. Si no está claro que todo par es un "b" generado por la suma de dos primos que factorean un "c", habría que suponer que hay un b que no es generado por un c en esas condiciones y llegar a un absurdo. Planteado el problema como una ecuación cuadrática, tenemos a mano la teoría de Galois y todo lo que se sabe de ecuaciones cuadráticas en una y dos variables.
domingo, 14 de julio de 2013
La matemática y la realidad concreta - Parte II
La matemática es una ciencia y un lenguaje muy útil cuando se trata de describir sin ambigüedades una parte de la realidad y, especialmente, cuando se trata de cuantificar y predecir los resultados de algo. Pero hay ciencias y ciencias. Inclusive, hay ciencias que, si uno lo piensa, no sé si merecerían el nombre.
Un planeta sigue una trayectoria predecible y no la cambia. No tiene conciencia, ni bondad, ni maldad. Anda por ahí como un planeta: "planeteando" ("planet-ing") y haciendo lo que le corresponde como tal. Puedo saber dónde estará mañana a una hora determinada y dentro de un siglo también. Si choca contra otro objeto y conozco suficiente información, puedo predecir los efectos, cómo será dañado y qué perjuicio le producirá al otro objeto. Pero hay otras cosas que no son tan "sinceras" como los planetas que "planetean".
La economía, por ejemplo. Es verdad que pueden plantearse elegantes y bellas ecuaciones matemáticas que dan resultados ciertos; siempre y cuando no aparezca un astuto delincuente que cambie algunas cosas de tal forma que sea él el único que puede plantear cálculos con resultados ciertos y los demás sirven a sus fines.
Veamos un ejemplo histórico:
El futuro del continente europeo dependía del resultado de la batalla de Waterloo. Especialmente el dominio inglés. Si la "Grande Armée" de Napoleón triunfaba, Francia sería el amo indiscutible de Europa. Si acaso perdiese, Inglaterra mantendría el equilibrio de poderes y estaría en condiciones de ampliar su esfera de influencia. De hecho, después consolidó un imperio en el que no se ponía el Sol.
Nathan Rothschild gozaba de un prestigio sólido en los círculos económicos, especialmente en la Bolsa de Londres. Era un referente. Además se sabía que estaba muy bien informado. Él aprovechó esto para hacer saber muy sutilmente que tenía personas que podían informarle el resultado de la batalla antes que la noticia llegara oficialmente a Londres. De manera que no pocos esperaban su reacción para imitarlo.
Rothschild tenía agentes trabajando denodadamente y con ahínco a ambos lados de la línea de batalla, más otras personas leales listas para llevar la noticia del resultado de la batalla con toda la rapidez que fueran capaces de desarrollar.
En el ocaso del 15 de junio de 1815 un representante de Rothschild abordó un barco especialmente destinado y cruzó el canal, llegando a Folkstone en la madrugada siguiente. Fue recibido por el propio Nathan, que se dirigió a la Bolsa de Valores de Londres. Una vez allí, sin ningún signo que permitiera dejar ver su estado emocional, con la cara inmutable de una estatua, hizo una señal previamente convenida a sus agentes y éstos comenzaron a vender títulos masivamente.
Todos sabían que si Napoleón ganaba, los intereses comerciales británicos se verían seriamente afectados. El futuro de Inglaterra sería sombrío. Perderían mucho dinero, sus acciones no valdrían tanto como hasta entonces, quizás nada. En el caso contrario, el futuro prometía ser próspero y las acciones subirían.
En un clima especulativo altamente enrarecido, ansioso, proclive al pánico, la venta de acciones por parte de Rothschild se interpretó como que él ya sabía que Napoleón había ganado. Todos creyeron que él se apresuraba a vender antes de que valieran menos, para ser el menos perjudicado.
Ya de por sí, la venta masiva de unas acciones baja su valor, pero si a esto le sumamos el pánico generado, la consecuencia fue que los valores cayeron acelerada y estrepitosamente. Todos querían desprenderse de sus papeles antes de que valiesen menos, para minimizar las pérdidas.
Esta maniobra psicológica y fraudulenta de Nathan Rothschild no puede preverse matemáticamente. No hay ninguna teoría ni fórmulas que anticipen algo así. Sí puede llegar a conocerse con muy buena aproximación cuánto valor llegarían a perder las acciones, cuándo la curva pasaría por un mínimo. Ese sería el tiempo óptimo para empezar a comprar a precio vil lo que después valdría mucho más que antes de todos estos hechos. Así se hizo. Nathan dio otra seña solo conocida por otros de sus expertos agentes y estos fueron, cuando fue oportuno, a comprar todo lo que los demás desechaban por apenas unas moneditas. El oro y la plata resguardados por papeles convertibles y ganados con duro trabajo por otros seres humanos comprados por peniques.
Posteriormente llegó la verdadera noticia a Londres y vino el alivio. Alivio que distrajo la atención de muchos hacia el futuro, en vez de pensar en lo que había pasado el día anterior. Ahora las acciones, como por arte de magia, valían más que antes de la caída. Con el afianzamiento de la noticia y con la seguridad de la promesa económica que se cumpliría casi inexorablemente, subieron de precio todavía más. En un día Nathan Rothschild multiplicó por veinte su fortuna y se consolidó como uno de los dueños reales del mundo, por encima de los gobiernos políticos. Tres años más tarde repetiría una maniobra casi idéntica en Francia, necesitada de préstamos después de su guerra perdida.
En una actividad humana en la que caben la maldad, el egoísmo, la confianza, la fe y el descreimiento (según sople el viento; debí decir la credulidad, en vez de la fe). En donde la gente cree en papeles pintados no convertibles, que se emiten contra deuda y que solamente se respaldan en el poderío de una industria, en especial militar. Industria que puede ser trasladada sin aviso y junto a sus capitales a otro lado. Depositar fe o credulidad en eso es demencial. Sobre todo si esos papeles son impresos por una empresa privada que, además, decide las tasas de interés y el monto del circulante y, por ende, sabe de antemano cuándo habrá vacas gordas y cuándo vacas flacas. Juega a la bonanza y a la recesión alternativamente (primero hacen que te endeudes con dinero barato y luego lo retiran de circulación, encarecen las tasas y te ejecutan). Ellos solos saben cuándo apostar a cada lado, porque siempre ganan, y los demás terminan sin pagar sus hipotecas o perdiendo directamente el empleo, en una transferencia brutal, despiadada y controlada de riqueza, siempre a las mismas manos.
Uno de los usos más utilitarios y vanos de la matemática es que sirve para calcular cosas. Pero primero hay que conocer la realidad. En nuestra desinformación nuestros cálculos no resultan porque los pícaros no nos informan y así nos dominan. Sin las premisas o los datos correctos el resultado es incierto. El de ellos no.
Si la Tierra interrumpiese repentinamente su movimiento de traslación, la energía cinética se transformaría en calor y todo terminaría en una enorme bola de fuego. Hasta podríamos calcular la temperatura de esa bola. Este es el reino indiscutido de la matemática.
Cuando cabe la mentira, no hay ciencia. Al menos, para los engañados. El que sabe que miente puede calcular. Si una actividad tal es una ciencia, es una en manos de pocos.
Un planeta sigue una trayectoria predecible y no la cambia. No tiene conciencia, ni bondad, ni maldad. Anda por ahí como un planeta: "planeteando" ("planet-ing") y haciendo lo que le corresponde como tal. Puedo saber dónde estará mañana a una hora determinada y dentro de un siglo también. Si choca contra otro objeto y conozco suficiente información, puedo predecir los efectos, cómo será dañado y qué perjuicio le producirá al otro objeto. Pero hay otras cosas que no son tan "sinceras" como los planetas que "planetean".
La economía, por ejemplo. Es verdad que pueden plantearse elegantes y bellas ecuaciones matemáticas que dan resultados ciertos; siempre y cuando no aparezca un astuto delincuente que cambie algunas cosas de tal forma que sea él el único que puede plantear cálculos con resultados ciertos y los demás sirven a sus fines.
Veamos un ejemplo histórico:
El futuro del continente europeo dependía del resultado de la batalla de Waterloo. Especialmente el dominio inglés. Si la "Grande Armée" de Napoleón triunfaba, Francia sería el amo indiscutible de Europa. Si acaso perdiese, Inglaterra mantendría el equilibrio de poderes y estaría en condiciones de ampliar su esfera de influencia. De hecho, después consolidó un imperio en el que no se ponía el Sol.
Nathan Rothschild gozaba de un prestigio sólido en los círculos económicos, especialmente en la Bolsa de Londres. Era un referente. Además se sabía que estaba muy bien informado. Él aprovechó esto para hacer saber muy sutilmente que tenía personas que podían informarle el resultado de la batalla antes que la noticia llegara oficialmente a Londres. De manera que no pocos esperaban su reacción para imitarlo.
Rothschild tenía agentes trabajando denodadamente y con ahínco a ambos lados de la línea de batalla, más otras personas leales listas para llevar la noticia del resultado de la batalla con toda la rapidez que fueran capaces de desarrollar.
En el ocaso del 15 de junio de 1815 un representante de Rothschild abordó un barco especialmente destinado y cruzó el canal, llegando a Folkstone en la madrugada siguiente. Fue recibido por el propio Nathan, que se dirigió a la Bolsa de Valores de Londres. Una vez allí, sin ningún signo que permitiera dejar ver su estado emocional, con la cara inmutable de una estatua, hizo una señal previamente convenida a sus agentes y éstos comenzaron a vender títulos masivamente.
Todos sabían que si Napoleón ganaba, los intereses comerciales británicos se verían seriamente afectados. El futuro de Inglaterra sería sombrío. Perderían mucho dinero, sus acciones no valdrían tanto como hasta entonces, quizás nada. En el caso contrario, el futuro prometía ser próspero y las acciones subirían.
En un clima especulativo altamente enrarecido, ansioso, proclive al pánico, la venta de acciones por parte de Rothschild se interpretó como que él ya sabía que Napoleón había ganado. Todos creyeron que él se apresuraba a vender antes de que valieran menos, para ser el menos perjudicado.
Ya de por sí, la venta masiva de unas acciones baja su valor, pero si a esto le sumamos el pánico generado, la consecuencia fue que los valores cayeron acelerada y estrepitosamente. Todos querían desprenderse de sus papeles antes de que valiesen menos, para minimizar las pérdidas.
Esta maniobra psicológica y fraudulenta de Nathan Rothschild no puede preverse matemáticamente. No hay ninguna teoría ni fórmulas que anticipen algo así. Sí puede llegar a conocerse con muy buena aproximación cuánto valor llegarían a perder las acciones, cuándo la curva pasaría por un mínimo. Ese sería el tiempo óptimo para empezar a comprar a precio vil lo que después valdría mucho más que antes de todos estos hechos. Así se hizo. Nathan dio otra seña solo conocida por otros de sus expertos agentes y estos fueron, cuando fue oportuno, a comprar todo lo que los demás desechaban por apenas unas moneditas. El oro y la plata resguardados por papeles convertibles y ganados con duro trabajo por otros seres humanos comprados por peniques.
Posteriormente llegó la verdadera noticia a Londres y vino el alivio. Alivio que distrajo la atención de muchos hacia el futuro, en vez de pensar en lo que había pasado el día anterior. Ahora las acciones, como por arte de magia, valían más que antes de la caída. Con el afianzamiento de la noticia y con la seguridad de la promesa económica que se cumpliría casi inexorablemente, subieron de precio todavía más. En un día Nathan Rothschild multiplicó por veinte su fortuna y se consolidó como uno de los dueños reales del mundo, por encima de los gobiernos políticos. Tres años más tarde repetiría una maniobra casi idéntica en Francia, necesitada de préstamos después de su guerra perdida.
En una actividad humana en la que caben la maldad, el egoísmo, la confianza, la fe y el descreimiento (según sople el viento; debí decir la credulidad, en vez de la fe). En donde la gente cree en papeles pintados no convertibles, que se emiten contra deuda y que solamente se respaldan en el poderío de una industria, en especial militar. Industria que puede ser trasladada sin aviso y junto a sus capitales a otro lado. Depositar fe o credulidad en eso es demencial. Sobre todo si esos papeles son impresos por una empresa privada que, además, decide las tasas de interés y el monto del circulante y, por ende, sabe de antemano cuándo habrá vacas gordas y cuándo vacas flacas. Juega a la bonanza y a la recesión alternativamente (primero hacen que te endeudes con dinero barato y luego lo retiran de circulación, encarecen las tasas y te ejecutan). Ellos solos saben cuándo apostar a cada lado, porque siempre ganan, y los demás terminan sin pagar sus hipotecas o perdiendo directamente el empleo, en una transferencia brutal, despiadada y controlada de riqueza, siempre a las mismas manos.
Uno de los usos más utilitarios y vanos de la matemática es que sirve para calcular cosas. Pero primero hay que conocer la realidad. En nuestra desinformación nuestros cálculos no resultan porque los pícaros no nos informan y así nos dominan. Sin las premisas o los datos correctos el resultado es incierto. El de ellos no.
Si la Tierra interrumpiese repentinamente su movimiento de traslación, la energía cinética se transformaría en calor y todo terminaría en una enorme bola de fuego. Hasta podríamos calcular la temperatura de esa bola. Este es el reino indiscutido de la matemática.
Cuando cabe la mentira, no hay ciencia. Al menos, para los engañados. El que sabe que miente puede calcular. Si una actividad tal es una ciencia, es una en manos de pocos.
viernes, 21 de junio de 2013
Una forma primitiva y extraña de multiplicar con los dedos.
En la actualidad, la palabra "algoritmo" significa una secuencia de pasos a seguir para resolver una operación. Matemáticamente, nosotros podemos indicar una operación sin llegar a establecer el resultado práctico. Así, por ejemplo, escribir sqrt(5) ó 23/8 + 7/3 y operar con estos símbolos sin que sea necesario el cálculo efectivo de un par de cotas entre las cuales se hallen los valores numéricos de las expresiones.
Una misma operación puede resolverse de distintas formas, algunas de ellas muy curiosas.
Tobías Dantzig relata un extraño método que usaban los campesinos de Auverne (Francia), también utilizado en Besarabia, Servia (o Serbia) y Siria. Para realizar el producto de 9 x 8, encogían cuatro dedos de la mano izquierda (9 - 5) y tres de la derecha (8 - 5). La suma de todos los dedos replegados daba las decenas del resultado de la operación (4 + 3 = 7) y el producto de los dedos extendidos de cada mano, las unidades (1 x 2). Respectivamente, los dedos extendidos representan 5 - 4 = 1 y 5 - 3 = 2. Esta manera de calcular podría extenderse a números con más de una cifra. Tiene la ventaja de no requerir el aprendizaje de tablas de multiplicar.
El proceso es más lento que el de recordar un valor de tabla de multiplicar. Sin embargo, esto es válido desde que se hicieron populares el sistema de numeración posicional y el cero. Antes del advenimiento de esta revolución matemática, las operaciones de multiplicación y de división se resolvían por duplicaciones o mediaciones, respectivamente. Los cálculos eran realizados por expertos que vivían de ello y respondían a una vieja geometría sagrada que se pierde en los orígenes del hombre. Esta geometría sagrada era cuadrática; la misma que está detrás de los antiguos problemas griegos de duplicar un cubo, cuadrar la circunsferencia o trisecar un ángulo. Todavía quedan residuos en la manera en la que se subdividen las unidades de medida antiguas, como la pulgada: fracciones con denominadores iguales a potencias de dos. La mediación es una operación con regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida y compás sin memoria (se cierra si se lo levanta para trasladar una medida). En la Edad Media, las universidades alemanas llegaban hasta la suma y la resta; el que quisiera aprender a multiplicar y dividir debía trasladarse a Italia.
Parece mentira, ¿vio?
Una misma operación puede resolverse de distintas formas, algunas de ellas muy curiosas.
Tobías Dantzig relata un extraño método que usaban los campesinos de Auverne (Francia), también utilizado en Besarabia, Servia (o Serbia) y Siria. Para realizar el producto de 9 x 8, encogían cuatro dedos de la mano izquierda (9 - 5) y tres de la derecha (8 - 5). La suma de todos los dedos replegados daba las decenas del resultado de la operación (4 + 3 = 7) y el producto de los dedos extendidos de cada mano, las unidades (1 x 2). Respectivamente, los dedos extendidos representan 5 - 4 = 1 y 5 - 3 = 2. Esta manera de calcular podría extenderse a números con más de una cifra. Tiene la ventaja de no requerir el aprendizaje de tablas de multiplicar.
El proceso es más lento que el de recordar un valor de tabla de multiplicar. Sin embargo, esto es válido desde que se hicieron populares el sistema de numeración posicional y el cero. Antes del advenimiento de esta revolución matemática, las operaciones de multiplicación y de división se resolvían por duplicaciones o mediaciones, respectivamente. Los cálculos eran realizados por expertos que vivían de ello y respondían a una vieja geometría sagrada que se pierde en los orígenes del hombre. Esta geometría sagrada era cuadrática; la misma que está detrás de los antiguos problemas griegos de duplicar un cubo, cuadrar la circunsferencia o trisecar un ángulo. Todavía quedan residuos en la manera en la que se subdividen las unidades de medida antiguas, como la pulgada: fracciones con denominadores iguales a potencias de dos. La mediación es una operación con regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida y compás sin memoria (se cierra si se lo levanta para trasladar una medida). En la Edad Media, las universidades alemanas llegaban hasta la suma y la resta; el que quisiera aprender a multiplicar y dividir debía trasladarse a Italia.
Parece mentira, ¿vio?
lunes, 3 de junio de 2013
sábado, 9 de febrero de 2013
Ultimo Teorema de Fermat: ¿Nada más que decir?
Este documento en español difiere del anterior en inglés. Es que la traducción que hice es anterior a algunas modificaciones en el original en mi lengua natal. Debido a mi pobre dominio del inglés, hice revisar mi traducción por una profesora, quien me hizo algunas correcciones de sintaxis. Preferí dejar todo como estaba. Los que hablen español y entiendan el documento en inglés podrán compararlos. Aquellos que utilicen un traductor automático para este documento tienen una forma de cotejar ambos documentos, a fin de controlar a estos ingeniosos programas que, de todas formas, no piensan ni reconocen la sintaxis de una frase.
NOTE:
This document written in Spanish differs from that published in English before. This is because, after the translation, I introduced changes to the original in Spanish. Because of my poor knowledge of English, I check my translation by a teacher, who gave me some syntax corrections. I preferred to leave everything as it was. Those who speak Spanish and understand the English document may compare. Those using an automatic translator for this paper have a way of comparing two documents, in order to control these ingenious programs that, however, can not think and do not recognize the syntax of a sentence.
sábado, 2 de febrero de 2013
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