viernes, 15 de agosto de 2014

Tabla de valores algebraicos de seno y coseno




He aquí una tabla de valores de seno y coseno para ángulos construibles del primer cuadrante y de un número entero de grados sexagesimales, más sus semiángulos.






Para ver el método de cálculo de esta tabla, está el artículo "Como calculé la tabla de valores trigonométricos", del 18/03/2018.

martes, 12 de agosto de 2014

Una gran verdad, que solo comprenden los matemáticos

Encontré en Gaussianos una frase de Lipman Bers que no tiene desperdicio. Estudié Análisis Matemático I con su libro "Cálculus" (si mal no recuerdo, de Columbia University Press), además de otro "Calculus" de Apostol y el enciclopédico tomo I de Rey Pastor, César Trejo y Pi Calleja. He aquí la joyita:

La del matemático es una profesión extremadamente cruel. Si alguien tiene, digamos, una licenciatura en Químicas, se describirá a sí mismo como un químico. Sin embargo, si alguien lleva siendo profesor de matemáticas durante diez años y le preguntas: “¿Es usted un matemático?”, te contestará “¡Estoy intentando serlo!”
                                                                         Lipman Bers

Esto solo lo comprenden los matemáticos o aquellos que pretenden serlo. También hay una gran similitud con el cristianismo. 

Nota agregada el 27 de febrero de 2025: ¿Por qué muchos matemáticos piensan como describe Lipman Bers?
Porque aman profundamente lo que hacen. ¿Digo que los científicos dedicados a otras especialidades no aman sus actividades? No, en absoluto. Ahora bien, hay una diferencia muy grande entre querer y amar: querer es para uno y amar es para el otro. El que ama quiere hacer el mayor bien posible por el objeto de su amor. Un matemático que conversó conmigo hace unos cuantos años (quizás en el año 2009) me dijo: "Matemático es el ser que hace algo por la matemática". Entonces, con ese pensamiento en mente, el que no hizo algo por el bien de la matemática, no es un matemático. Esto se entiende como dejar a la matemática más desarrollada o más generalizada que antes que nuestro amor se manifestara en su existencia. Generalmente, este tipo de amor abnegado lo viven los padres. Una amiga me dijo de su hija: "Que sea cualquier cosa, pero que sea feliz".
Un profesor de química es un químico aunque no haya descubierto nada nuevo, porque enseñando a otros capacita a que esos seres puedan aportar algo que engrandezca a su materia. Lo mismo valdría para la matemática, pero hay muchos que tienen emociones y sentimientos como los que describe Lipman Bers y hay que respetarlos. Si al final de sus vidas no lograron hacer algo a favor de las matemáticas (como probar un nuevo teorema, descubrir un campo insospechado o cualquier otra cosa) puede que se sientan tristes, pero vivieron con una creencia muy ambiciosa  a favor de otra cosa. Ojalá que tengan por lo menos la satisfacción de haber luchado por ello.

miércoles, 11 de junio de 2014

¿Cuánto es 2 + 2? Humor con lección


"¿Cuánto es 2 + 2?"

Parece una pregunta muy simple y clara, de respuesta inequívoca. Veamos cómo responden algunos personajes:

MATEMÁTICO: "Espere, solo unos minutos más, ya he probado que la solución existe y es única, ahora la estoy acotando..."

FILÓSOFO: "¿Qué quiere decir  "2 + 2"?"

TERAPEUTA: "¿Qué quiso decir con "2 + 2"?"

LÓGICO: "Defina mejor "2 + 2" y le responderé."

Más allá de cierta ironía a los vicios y diferentes puntos de vista de los que tienen formaciones profesionales distintas, el lógico y el filósofo no están errados en sus dichos: Todo depende de qué sea "2" y qué "+". La pregunta así formulada es muy vaga, no tiene sentido completo o tiene varias respuestas posibles y excluyentes.

Si "2" es una clase residual de módulo m y "+" denota la suma de clases residuales, 2 + 2 puede ser igual a "1" o a "0". No se asuste, ya le explico.

Primero definamos lo que Gauss llamó "congruencia" y que ahora se conoce como "congruencia de Gauss", porque hay otras congruencias que no son esta a la que me refiero.

Se dice que un número entero "y" es congruente a otro "x" (de módulo m) si (y solo si):
y - x = k.m, donde  k  es un  número entero y m un entero positivo (mayor o igual que 0).
Notación: "y congruente a x, módulo m" suele escribirse: y ≡ x (mod m)

¿Qué tenemos en la definición? Dos números enteros tales que su diferencia es un múltiplo de m.

Pero, escribámoslo de otra manera:

y = k.m + x. Aclaremos con un ejemplo:

19  ≡ 3 (mod 4)  En efecto, 19 - 3 = 4.4, donde k = 4 y m = 4. Aunque, escrito de la segunda manera, deja ver otra cosa:

19 = 4.4 + 3

Si yo divido 19  por 4 el resultado entero es 4 y me sobra un resto igual a 3.

¿A qué llamamos una clase residual de módulo m? A todos los números enteros que dan el mismo resto (o tienen el mismo residuo) al ser divididos por m. Agrupando secuencialmente estos números enteros de igual resto tenemos lo que llamábamos una "escala" en la escuela elemental.

Si nuestra clase residual es el resto "3" de módulo 4, la clase es:

3 = {3, 7, 11, 15, 19, ...}

Es una "escala del 4" a partir de 3. Que significa:

  3 = 0.4 + 3
  7 = 1.4 + 3
11 = 2.4 + 3
15 = 3.4 + 3
19 = 4.4 + 3
y así sucesivamente.

Ahora bien, supongamos que 2 es una clase residual de módulo 4 y que + denota la suma de clases. Esa suma es "0". ¿Por qué?
Porque si tengo un número que dividido por cuatro tiene resto 2 y otro con la misma propiedad, si los sumo, me sobra un 2 por un lado y otro 2 por otro. Luego, esos restos agrupados suman 4 y, por lo tanto el resto es cero. O sea: "sumar dos números con resto 2 de módulo 4 da por resultado un múltiplo de 4, que es lo mismo que decir con resto 0. Veámoslo con símbolos:
z = k.4 + 2; w = q.4 + 2. Si los sumo:

z + w = k.4 + 2 + q.4 + 2

Asociando, conmutando, reagrupando y aplicando propiedad distributiva, tenemos que:

z + w = k.4 + q.4 + 2 + 2 = k.4 + q.4 + 4 = (k+q+1) 4 (Un múltiplo de 4). Luego, el resto es 0.

Así: 2 + 2 = 0 (mod 4)

De forma análoga 2 + 2 = 1 (mod 3)

Broma aparte, la pregunta no tiene sentido completo. Si nos referíamos a números enteros y suma ordinaria, habría que haberlo aclarado; porque no siempre 2 es 2 ni + es más, el más que nosotros conocemos desde niños. Nuestro lógico tenía razón cuando pretendía que definiera mejor lo que significa la pregunta.
Este es un ejemplo de lo que pasa cuando se abusa de la notación. Quizás debiéramos colocar un símbolo por encima de la cifra y cambiarle algo al "+" (como encerrarlo en un círculo); pero la matemática es tan vasta que los símbolos no suelen alcanzar y siempre terminamos repitiendo en alguna parte. La solución es definir bien y aclarar qué significa cada cosa, para que no haya equívocos.



sábado, 19 de abril de 2014

Primalidad


¿Las soluciones enteras de una ecuación como estudio de primalidad?



Tomemos cuatro números enteros positivos: 1, a, b y n; a y b tales que a.b = n. Estos números “a” y “b” pueden ser ambos primos, uno primo y el otro compuesto o los dos compuestos. Si existen a y b cada uno de ellos distinto de la unidad o del valor “n”, n es evidentemente compuesto.

Ahora pongámoslos como raíces de una ecuación en una incógnita:

(x – 1) (x – n) (x – a) (x – b) =


Si generalizamos el problema, podemos hacer al valor determinado “a” una indeterminada “y” y a “b” otra indeterminada “z”. La ecuación en tres indeterminadas queda así:





La ecuación [1] no tiene simultáneamente soluciones enteras x, y, z para n primo.

Dos raíces dobles 1 y n indican el cuadrado de un número primo.

domingo, 30 de marzo de 2014

¿Infinitos primos gemelos?


Siguiendo el método del artículo anterior, me permito abordar el problema abierto de la existencia de infinitos pares de primos gemelos. Se llama primos gemelos a dos números primos consecutivos. Por ejemplo: el 5 y el 7 ó 17 y 19. Los únicos primos consecutivos que difieren en una unidad son el 2 y el 3. Como todos los demás son impares, la diferencia será igual a 2.

Como en el caso anterior, planteemos una ecuación cuadrática, en principio, en una variable:

x² - bx + c = 0

Sea c igual al producto de dos primos gemelos. Luego, c = p (p + 2) = p² + 2p

Si queremos que p y p + 2 sean raíces de la ecuación, b debe ser igual a: p + p + 2 = 2p + 2.

Reemplacemos en la ecuación original:

x² - (2p + 2)x + p² + 2p = 0

En este caso p no es una variable, sino que es un valor determinado primo impar. Si quisiéramos investigar a la totalidad de los números primos impares, deberíamos convertir a p en una variable "y". Hagámoslo.

x² - (2y + 2)x + y² + 2y = 0

Haciendo las operaciones y reordenando, tenemos:

x² - 2yx - 2x + 2y + y² = 0

Si se pudiera determinar la cantidad de soluciones enteras para esta ecuación diofántica cuadrática en dos variables, se podría resolver el problema de la potencia del conjunto de los primos gemelos. Es más: si las raíces de esta ecuación están acotadas, se podría llegar a obtener soluciones concretas; es decir, pares de primos gemelos de cualquier magnitud humanamente manejable.

Sin embargo, "y" no siempre representará a un número primo; esta ecuación también puede tener soluciones enteras compuestas impares consecutivas.  Los pares de primos gemelos serán un subconjunto de esas soluciones. Los primos gemelos sumados dan un número par divisible por 12. Esto es inmediato: la suma de dos números impares es par; también es el doble de la media aritmética de esos dos primos, que no es otra cosa que el número par que los separa; que, a su vez, es divisible por 3, puesto que es el único compuesto entre tres números enteros consecutivos.

A priori, uno podría suponer que la ecuación es una cónica. Pero resulta ser una forma degenerada. Resulta ser dos rectas paralelas de pendiente unitaria, una de ellas x = y y la otra x - 2 = y. Hay infinitas soluciones, pero su forma no aporta nada al tema.

La conjetura fuerte de Goldbach


Hardy lo calificó como el problemas más difícil, no solamente de la teoría de números sino, de toda la matemática.

No soy quien para desautorizar a Hardy. Apenas un aficionado mediocre o peor.

Sin embargo, a veces la dificultad disminuye si se encuentra una manera de enunciar el problema que lo lleve a un terreno menos escabroso.

La conjetura dice que todo número entero positivo par mayor que 4 es expresable como suma de dos números primos impares, pudiendo repetirse un mismo número primo.

Se me ocurre que está suficientemente estudiado el caso de las ecuaciones cuadráticas diofánticas (o diofantinas). Si no exhaustiva o cabalmente, por lo menos en grado suficiente.

Sea una ecuación cuadrática en una variable x² -bx + c = 0. b es un número entero par mayor que 4, si y solo si existe por lo menos un entero positivo c tal que la ecuación tiene dos raíces enteras impares mayores o iguales que 3.

Yo diría que esto mismo puede ser un buen camino para demostrarlo. En teoría de ecuaciones hace mucho que se sabe que el entero c es igual al producto de las raíces y que el entero b es la suma de esas raíces. También, el teorema general de la aritmética garantiza que hay una infinidad de enteros impares tales que son producto de dos números primos impares, cualesquiera sean estos primos. Y la suma de dos números impares es un número par. Si no está claro que todo par es un "b" generado por la suma de dos primos que factorean un "c", habría que suponer que hay un b que no es generado por un c en esas condiciones y llegar a un absurdo. Planteado el problema como una ecuación cuadrática, tenemos a mano la teoría de Galois y todo lo que se sabe de ecuaciones cuadráticas en una y dos variables.


domingo, 14 de julio de 2013

La matemática y la realidad concreta - Parte II

La matemática es una ciencia y un lenguaje muy útil cuando se trata de describir sin ambigüedades una parte de la realidad y, especialmente, cuando se trata de cuantificar y predecir los resultados de algo. Pero hay ciencias y ciencias. Inclusive, hay ciencias que, si uno lo piensa, no sé si merecerían el nombre.

Un planeta sigue una trayectoria predecible y no la cambia. No tiene conciencia, ni bondad, ni maldad. Anda por ahí como un planeta: "planeteando" ("planet-ing") y haciendo lo que le corresponde como tal. Puedo saber dónde estará mañana a una hora determinada y dentro de un siglo también. Si choca contra otro objeto y conozco suficiente información, puedo predecir los efectos, cómo será dañado y qué perjuicio le producirá al otro objeto. Pero hay otras cosas que no son tan "sinceras" como los planetas que "planetean".

La economía, por ejemplo. Es verdad que pueden plantearse elegantes y bellas ecuaciones matemáticas que dan resultados ciertos; siempre y cuando no aparezca un astuto delincuente que cambie algunas cosas de tal forma que sea él el único que puede plantear cálculos con resultados ciertos y los demás sirven a sus fines.

Veamos un ejemplo histórico:


El futuro del continente europeo dependía del resultado de la batalla de Waterloo. Especialmente el dominio inglés. Si la "Grande Armée" de Napoleón triunfaba, Francia sería el amo indiscutible de Europa. Si acaso perdiese, Inglaterra mantendría el equilibrio de poderes y estaría en condiciones de ampliar su esfera de influencia. De hecho, después consolidó un imperio en el que no se ponía el Sol.

Nathan Rothschild gozaba de un prestigio sólido en los círculos económicos, especialmente en la Bolsa de Londres. Era un referente. Además se sabía que estaba muy bien informado. Él aprovechó esto para hacer saber muy sutilmente que tenía personas que podían informarle el resultado de la batalla antes que la noticia llegara oficialmente a Londres. De manera que no pocos esperaban su reacción para imitarlo.

Rothschild tenía agentes trabajando denodadamente y con ahínco a ambos lados de la línea de batalla, más otras personas leales listas para llevar la noticia del resultado de la batalla con toda la rapidez que fueran capaces de desarrollar.

En el ocaso del 15 de junio de 1815 un representante de Rothschild abordó un barco especialmente destinado y cruzó el canal, llegando a Folkstone en la madrugada siguiente. Fue recibido por el propio Nathan, que se dirigió a la Bolsa de Valores de Londres. Una vez allí, sin ningún signo que permitiera dejar ver su estado emocional, con la cara inmutable de una estatua, hizo una señal previamente convenida a sus agentes y éstos comenzaron a vender títulos masivamente.

Todos sabían que si Napoleón ganaba, los intereses comerciales británicos se verían seriamente afectados. El futuro de Inglaterra sería sombrío. Perderían mucho dinero, sus acciones no valdrían tanto como hasta entonces, quizás nada. En el caso contrario, el futuro prometía ser próspero y las acciones subirían.

En un clima especulativo altamente enrarecido, ansioso, proclive al pánico, la venta de acciones por parte de Rothschild se interpretó como que él ya sabía que Napoleón había ganado. Todos creyeron que él se apresuraba a vender antes de que valieran menos, para ser el menos perjudicado.

Ya de por sí, la venta masiva de unas acciones baja su valor, pero si a esto le sumamos el pánico generado, la consecuencia fue que los valores cayeron acelerada y estrepitosamente. Todos querían desprenderse de sus papeles antes de que valiesen menos, para minimizar las pérdidas.

Esta maniobra psicológica y fraudulenta de Nathan Rothschild no puede preverse matemáticamente. No hay ninguna teoría ni fórmulas que anticipen algo así. Sí puede llegar a conocerse con muy buena aproximación cuánto valor llegarían a perder las acciones, cuándo la curva pasaría por un mínimo. Ese sería el tiempo óptimo para empezar a comprar a precio vil lo que después valdría mucho más que antes de todos estos hechos. Así se hizo. Nathan dio otra seña solo conocida por otros de sus expertos agentes y estos fueron, cuando fue oportuno, a comprar todo lo que los demás desechaban por apenas unas moneditas. El oro y la plata resguardados por papeles convertibles y ganados con duro trabajo por otros seres humanos comprados por peniques.

Posteriormente llegó la verdadera noticia a Londres y vino el alivio. Alivio que distrajo la atención de muchos hacia el futuro, en vez de pensar en lo que había pasado el día anterior. Ahora las acciones, como por arte de magia, valían más que antes de la caída. Con el afianzamiento de la noticia y con la seguridad de la promesa económica que se cumpliría casi inexorablemente, subieron de precio todavía más. En un día Nathan Rothschild multiplicó por veinte su fortuna y se consolidó como uno de los dueños reales del mundo, por encima de los gobiernos políticos. Tres años más tarde repetiría una maniobra casi idéntica en Francia, necesitada de préstamos después de su guerra perdida.

En una actividad humana en la que caben la maldad, el egoísmo, la confianza, la fe y el descreimiento (según sople el viento; debí decir la credulidad, en vez de la fe). En donde la gente cree en papeles pintados no convertibles, que se emiten contra deuda y que solamente se respaldan en el poderío de una industria, en especial militar. Industria que puede ser trasladada sin aviso y junto a sus capitales a otro lado. Depositar fe o credulidad en eso es demencial. Sobre todo si esos papeles son impresos por una empresa privada que, además, decide las tasas de interés y el monto del circulante y, por ende, sabe de antemano cuándo habrá vacas gordas y cuándo vacas flacas. Juega a la bonanza y a la recesión alternativamente (primero hacen que te endeudes con dinero barato y luego lo retiran de circulación, encarecen las tasas y te ejecutan). Ellos solos saben cuándo apostar a cada lado, porque siempre ganan, y los demás terminan sin pagar sus hipotecas o perdiendo directamente el empleo, en una transferencia brutal, despiadada y controlada de riqueza, siempre a las mismas manos.

Uno de los usos más utilitarios y vanos de la matemática es que sirve para calcular cosas. Pero primero hay que conocer la realidad. En nuestra desinformación  nuestros cálculos no resultan porque los pícaros no nos informan y así nos dominan. Sin las premisas o los datos correctos el resultado es incierto. El de ellos no.

Si la Tierra interrumpiese repentinamente su movimiento de traslación, la energía cinética se transformaría en calor y todo terminaría en una enorme bola de fuego. Hasta podríamos calcular la temperatura de esa bola. Este es el reino indiscutido de la matemática.

Cuando cabe la mentira, no hay ciencia. Al menos, para los engañados. El que sabe que miente puede calcular. Si una actividad tal es una ciencia, es una en manos de pocos.