Ultimo Teorema de Fermat: ¿Nada más que decir?

Este documento en español difiere del anterior en inglés. Es que la traducción que hice es anterior a algunas modificaciones en el original en mi lengua natal. Debido a mi pobre dominio del inglés, hice revisar mi traducción por una profesora, quien me hizo algunas correcciones de sintaxis. Preferí dejar todo como estaba. Los que hablen español y entiendan el documento en inglés podrán compararlos. Aquellos que utilicen un traductor automático para este documento tienen una forma de cotejar ambos documentos, a fin de controlar a estos ingeniosos programas que, de todas formas, no piensan ni reconocen la sintaxis de una frase. NOTE: This document written in Spanish differs from that published in English before. This is because, after the translation, I introduced changes to the original in Spanish. Because of my poor knowledge of English, I check my translation by a teacher, who gave me some syntax corrections. I preferred to leave everything as it was. Those who speak Spanish and understand the English document may compare. Those using an automatic translator for this paper have a way of comparing two documents, in order to control these ingenious programs that, however, can not think and do not recognize the syntax of a sentence.

Fermat's Last Theorem: nothing more to say?

Please, see "Note" in the next document.

Introducción a las propiedades matemáticas de la Gran Pirámide

Última versión, corregida y aumentada, incluye el  cuarto capítulo.
Dada la complejidad de este documento, procedo a subirlo en formato "jpg", página por página.

Hay un error en la página 31. Los valores para los lados de los dos cuadrados más grandes están dados para el lado de la pirámide proporcional a 1. Para obtener los valores correspondientes al lado de la pirámide proporcional a 2 hay que multiplicar esos valores por 2; o sea, quitar el denominador 2 de ambas expresiones. NOTA del 21/05/2023: Otro error encontrado en el capítulo IV es que hay dos valores diferentes posibles para la concavidad en el centro de una cara. Esto determina dos inclinaciones diferentes para la cara cóncava. Aunque las cuentas están bien hechas, hay una incoherencia derivada de que crucé el valor de la concavidad de un caso con la inclinación del otro y son incompatibles, no cumplen el teorema de Pitágoras. Cuando tenga terminados todos los cálculos reemplazaré las fotografías de las páginas que deban corregirse.

Cuadrar el círculo.

El antiguo problema de hallar un cuadrado con igual área que un círculo dado no tiene solución.

Suele decirse que no tiene solución porque el número pi es un número trascendente; esto es: que no es raíz de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales. Pues, no es del todo cierto. Voy a explicar por qué:

Como el área de un circulo de radio unitario es igual a pi, el cuadrado con área equivalente tendría el lado con longitud igual a la raíz cuadrada de pi. Si pudiésemos construir simultáneamente un segmento de recta unitario y otro con longitud igual a pi, el círculo sería cuadrable. Bastaría dibujar ambos segmentos uno a continuación del otro, trazar la circunsferencia con diámetro igual a pi más uno y dibujar una perpendicular en el punto de unión de ambos segmentos. El segmento de recta perpendicular entre ese punto y el punto de intersección con la circunsferencia sería la raíz cuadrada de pi.

Ahora bien, puedo hacer un dibujo de un segmento de recta de longitud arbitraria y decir que eso es pi, pero no podría decir qué longitud tiene el segmento unitario. Si hago lo mismo con un segmento que llamo unidad, no puedo dibujar pi.

¿Pasa esto solamente con los números trascendentes? No.

Existen números algebraicos que no son expresables mediante radicales de ningún grado; que no tienen una forma algebraica finita que los caracterice. Aquí se presenta el mismo resultado que con los números trascendentes. Si digo que un segmento cualquiera es ese número algebraico no explícito, no tengo manera de construir la unidad y viceversa.

Otra vez: si designo arbitrariamente una longitud que represente a pi, puedo hallar un anillo cuyos elementos resulten el producto de cualquier número algebraico explícito por pi. Sería un anillo sin unidad, infinito numerable y denso. Pero no me sería posible construir la unidad.

Si hiciera lo mismo con un segmento al que llamara raíz cuadrada de cinco, sí estaría en condiciones de obtener la unidad.

Si bien la trascendencia de pi hace imposible resolver el problema, que el problema no sea resolvible no implica que pi sea trascendente. Si pi fuera un número algebraico no explícito sería igual.

La verdadera razón por la que no es posible cuadrar el círculo no reside en que pi sea trascendente, sino en que no es posible definir ni geométrica ni algebraicamente la unidad y pi simultáneamente o uno cualquiera a partir del otro. Esto también sería cierto si pi fuera un número algebraico no explícito, porque no habría una fórmula algebraica para obtenerlo como solución en un número finito de pasos. 

¿Se equivocó Galois?

Galois utilizó la teoría de grupos para estudiar a las ecuaciones algebraicas.

Tomadas dos o más raíces o soluciones de una ecuación algebraica es posible encontrar otras ecuaciones que son cumplidas por estas soluciones. Galois estableció que estas ecuaciones deberían ser con coeficientes racionales y de tal forma que continuaran siendo cumplidas aunque se invirtieran las ubicaciones originales de cada solución involucrada; que el resultado de la ecuación no variara sustituyendo soluciones.

En divisibilidad algebraica se logra escribir los n coeficientes de una ecuación de grado arbitrario n, como suma de las combinaciones de 1, 2, 3, ...,n elementos entre las n raíces, acaso iguales, previa división de todos los coeficientes por el coeficiente del término de mayor grado. El coeficiente independiente es aquel que multiplica a la potencia "0" de la incógnita. La expresión del cociente de ese coeficiente por el que multiplica al término de mayor grado, en función de las n raíces, es igual a la potencia n-ésima de -1 multiplicada por el producto de todas las raíces. Estas ecuaciones cumplen con las condiciones pedidas por Galois. No importa qué orden le demos a una raíz en el conjunto de n elementos, siempre las expresiones encontradas serán las mismas.

Sin embargo, en mi trabajo "Pitágoras y las Ecuaciones Algebraicas", del 5 de agosto de 2007, encuentro que cualquiera sea el grado de una ecuación algebraica estas soluciones se pueden disponer como los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Esto deducido directamente de los resultados anteriores. Pero una de estas expresiones no cumple con los requisitos de Galois, aunque resulta de fórmulas generales e invariantes para toda ecuación algebraica. Me refiero a la fórmula que suma los cuadrados de todas las raíces menos una y resta la que falta. Los coeficientes son racionales, pero al haber un signo menos no son intercambiables las soluciones.

Me pregunto, entonces, si la Teoría de grupos de Galois es suficiente para estudiar a las ecuaciones algebraicas.