miércoles, 11 de junio de 2014

¿Cuánto es 2 + 2? Humor con lección


"¿Cuánto es 2 + 2?"

Parece una pregunta muy simple y clara, de respuesta inequívoca. Veamos cómo responden algunos personajes:

MATEMÁTICO: "Espere, solo unos minutos más, ya he probado que la solución existe y es única, ahora la estoy acotando..."

FILÓSOFO: "¿Qué quiere decir  "2 + 2"?"

TERAPEUTA: "¿Qué quiso decir con "2 + 2"?"

LÓGICO: "Defina mejor "2 + 2" y le responderé."

Más allá de cierta ironía a los vicios y diferentes puntos de vista de los que tienen formaciones profesionales distintas, el lógico y el filósofo no están errados en sus dichos: Todo depende de qué sea "2" y qué "+". La pregunta así formulada es muy vaga, no tiene sentido completo o tiene varias respuestas posibles y excluyentes.

Si "2" es una clase residual de módulo m y "+" denota la suma de clases residuales, 2 + 2 puede ser igual a "1" o a "0". No se asuste, ya le explico.

Primero definamos lo que Gauss llamó "congruencia" y que ahora se conoce como "congruencia de Gauss", porque hay otras congruencias que no son esta a la que me refiero.

Se dice que un número entero "y" es congruente a otro "x" (de módulo m) si (y solo si):
y - x = k.m, donde  k  es un  número entero y m un entero positivo (mayor o igual que 0).
Notación: "y congruente a x, módulo m" suele escribirse: y ≡ x (mod m)

¿Qué tenemos en la definición? Dos números enteros tales que su diferencia es un múltiplo de m.

Pero, escribámoslo de otra manera:

y = k.m + x. Aclaremos con un ejemplo:

19  ≡ 3 (mod 4)  En efecto, 19 - 3 = 4.4, donde k = 4 y m = 4. Aunque, escrito de la segunda manera, deja ver otra cosa:

19 = 4.4 + 3

Si yo divido 19  por 4 el resultado entero es 4 y me sobra un resto igual a 3.

¿A qué llamamos una clase residual de módulo m? A todos los números enteros que dan el mismo resto (o tienen el mismo residuo) al ser divididos por m. Agrupando secuencialmente estos números enteros de igual resto tenemos lo que llamábamos una "escala" en la escuela elemental.

Si nuestra clase residual es el resto "3" de módulo 4, la clase es:

3 = {3, 7, 11, 15, 19, ...}

Es una "escala del 4" a partir de 3. Que significa:

  3 = 0.4 + 3
  7 = 1.4 + 3
11 = 2.4 + 3
15 = 3.4 + 3
19 = 4.4 + 3
y así sucesivamente.

Ahora bien, supongamos que 2 es una clase residual de módulo 4 y que + denota la suma de clases. Esa suma es "0". ¿Por qué?
Porque si tengo un número que dividido por cuatro tiene resto 2 y otro con la misma propiedad, si los sumo, me sobra un 2 por un lado y otro 2 por otro. Luego, esos restos agrupados suman 4 y, por lo tanto el resto es cero. O sea: "sumar dos números con resto 2 de módulo 4 da por resultado un múltiplo de 4, que es lo mismo que decir con resto 0. Veámoslo con símbolos:
z = k.4 + 2; w = q.4 + 2. Si los sumo:

z + w = k.4 + 2 + q.4 + 2

Asociando, conmutando, reagrupando y aplicando propiedad distributiva, tenemos que:

z + w = k.4 + q.4 + 2 + 2 = k.4 + q.4 + 4 = (k+q+1) 4 (Un múltiplo de 4). Luego, el resto es 0.

Así: 2 + 2 = 0 (mod 4)

De forma análoga 2 + 2 = 1 (mod 3)

Broma aparte, la pregunta no tiene sentido completo. Si nos referíamos a números enteros y suma ordinaria, habría que haberlo aclarado; porque no siempre 2 es 2 ni + es más, el más que nosotros conocemos desde niños. Nuestro lógico tenía razón cuando pretendía que definiera mejor lo que significa la pregunta.
Este es un ejemplo de lo que pasa cuando se abusa de la notación. Quizás debiéramos colocar un símbolo por encima de la cifra y cambiarle algo al "+" (como encerrarlo en un círculo); pero la matemática es tan vasta que los símbolos no suelen alcanzar y siempre terminamos repitiendo en alguna parte. La solución es definir bien y aclarar qué significa cada cosa, para que no haya equívocos.



2 comentarios:

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Carlos

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