La conjetura fuerte de Goldbach

Hardy lo calificó como el problemas más difícil, no solamente de la teoría de números sino, de toda la matemática.

No soy quien para desautorizar a Hardy. Apenas un aficionado mediocre o peor.

Sin embargo, a veces la dificultad disminuye si se encuentra una manera de enunciar el problema que lo lleve a un terreno menos escabroso.

La conjetura dice que todo número entero positivo par mayor que 4 es expresable como suma de dos números primos impares, pudiendo repetirse un mismo número primo.

Se me ocurre que está suficientemente estudiado el caso de las ecuaciones cuadráticas diofánticas (o diofantinas). Si no exhaustiva o cabalmente, por lo menos en grado suficiente.

Sea una ecuación cuadrática en una variable x² -bx + c = 0. b es un número entero par mayor que 4, si y solo si existe por lo menos un entero positivo c tal que la ecuación tiene dos raíces enteras impares mayores o iguales que 3.

Yo diría que esto mismo puede ser un buen camino para demostrarlo. En teoría de ecuaciones hace mucho que se sabe que el entero c es igual al producto de las raíces y que el entero b es la suma de esas raíces. También, el teorema general de la aritmética garantiza que hay una infinidad de enteros impares tales que son producto de dos números primos impares, cualesquiera sean estos primos. Y la suma de dos números impares es un número par. Si no está claro que todo par es un "b" generado por la suma de dos primos que factorean un "c", habría que suponer que hay un b que no es generado por un c en esas condiciones y llegar a un absurdo. Planteado el problema como una ecuación cuadrática, tenemos a mano la teoría de Galois y todo lo que se sabe de ecuaciones cuadráticas en una y dos variables.