Blog matemático de Carlos

¿Se equivocó Galois?

2008-04-30T07:30:00.004-03:00

Galois utilizó la teoría de grupos para estudiar a las ecuaciones algebraicas.

Tomadas dos o más raíces o soluciones de una ecuación algebraica es posible encontrar otras ecuaciones que son cumplidas por estas soluciones. Galois estableció que estas ecuaciones deberían ser con coeficientes racionales y de tal forma que continuaran siendo cumplidas aunque se invirtieran las ubicaciones originales de cada solución involucrada; que el resultado de la ecuación no variara sustituyendo soluciones.

En divisibilidad algebraica se logra escribir los n coeficientes de una ecuación de grado arbitrario n, como suma de las combinaciones de 1, 2, 3, ...,n elementos entre las n raíces, acaso iguales, previa división de todos los coeficientes por el coeficiente del término de mayor grado. El coeficiente independiente es aquel que multiplica a la potencia "0" de la incógnita. La expresión del cociente de ese coeficiente por el que multiplica al término de mayor grado, en función de las n raíces, es igual a la potencia n-ésima de -1 multiplicada por el producto de todas las raíces. Estas ecuaciones cumplen con las condiciones pedidas por Galois. No importa qué orden le demos a una raíz en el conjunto de n elementos, siempre las expresiones encontradas serán las mismas.

Sin embargo, en mi trabajo "Pitágoras y las Ecuaciones Algebraicas", del 5 de agosto de 2007, encuentro que cualquiera sea el grado de una ecuación algebraica estas soluciones se pueden disponer como los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Esto deducido directamente de los resultados anteriores. Pero una de estas expresiones no cumple con los requisitos de Galois, aunque resulta de fórmulas generales e invariantes para toda ecuación algebraica. Me refiero a la fórmula que suma los cuadrados de todas las raíces menos una y resta la que falta. Los coeficientes son racionales, pero al haber un signo menos no son intercambiables las soluciones.

Me pregunto, entonces, si la Teoría de grupos de Galois es suficiente para estudiar a las ecuaciones algebraicas.

Triángulo sagrado egipcio y astronomía local

2008-02-24T23:59:00.007-02:00

La Astronomía antigua se basaba en la observación directa de los movimientos aparentes de los planetas visibles, el Sol y la Luna. Los observadores pasados tomaban en cuenta cuando se repetía una posición en el cielo de un mismo astro y contaban los días terrestres que transcurrían durante el ciclo. El tiempo que transcurre entre una posición de un astro sobre la eclíptica u otro círculo de posición y su repetición dentro de un mismo grado sexagesimal se denomina período de revolución sinódica del astro.

Como los sistemas de medición de ángulos y de tiempo eran sexagesimales y el producto de todo triángulo rectángulo de lados enteros es múltiplo de 60, tendremos que, en principio, todos los múltiplos de 60 pueden ser catetos e hipotenusa de triángulos semejantes al triángulo sagrado egipcio.

Ejemplos:

(36, 48, 60) = 12 (3, 4, 5)

(45, 60, 75) = 15 (3, 4, 5)

(60, 80, 100) = 20 (3, 4, 5)

(108, 144, 180) = 36 (3, 4, 5)

(135, 180, 225) = 45 (3, 4, 5)

(180, 240, 300) = 60 (3, 4, 5)

(216, 288, 360) = 72 (3, 4, 5)

(270, 360, 450) = 90 (3, 4, 5)

(360, 480, 600) = 120(3, 4, 5)

(432, 576, 720) = 144(3, 4, 5)

(540, 720, 900) = 180(3, 4, 5)

(720, 960, 1200)= 240(3, 4, 5)

El número 720 era utilizado mucho en Babilonia. Fibonacci lo reutiliza en lo que él denominó "números congruentes" y que hoy conocemos como "números congruentes de Fibonacci", para distinguirlos de las congruencias de Gauss y de otros "números congruentes" totalmente diferentes que se utilizan en ciertos aspectos de la Teoría de Números moderna. La definición de número congruente para Fibonacci era: un número entero tal que tenía la forma mn (m² - n²), con m y n enteros impares y m > n. Con esta definición el más pequeño de ellos era el 24 y 720 = 9.1 (9² - 1²). Lo hace intervenir en una identidad que permite pasar de un triángulo rectángulo a otro y que conocemos como "Identidad de Fibonacci".

(468, 624, 780) = 156 (3, 4, 5)

(585, 780, 975) = 195 (3, 4, 5)

(780, 1040, 1300) = 260 (3, 4, 5)

Aquí tenemos un múltiplo de 60 muy especial. El número 780 = 13 . 60 es el período de revolución sinódica del planeta Marte. El número 260 se encuentra en el calendario ritual azteca.

(756, 1008, 1260) = 252 (3, 4, 5)

(945, 1260, 1575) = 315 (3, 4, 5)

(1260, 1680, 2100) = 420 (3, 4, 5)

(1512, 2016, 2520) = 504 (3, 4, 5)

(1890, 2520, 3150) = 630 (3, 4, 5)

(2520, 3360, 4200) = 840 (3, 4, 5)

Los números 1260 y 2520 tienen muchos usos curiosos. El primero aparece en la Biblia en la expresión "tiempo, tiempos y la mitad de un tiempo" (Daniel 7:25). Para los hebreos un tiempo o año era de 360 días; la frase toma el significado 360 + 720 + 180 = 1260, o sea, 1, 2 y ½ ó el equivalente al secreto alquímico 2 + 1½ o "RERE RER". El "sesqui" latino o 1½ es la fracción impropia 3/2. El triángulo rectángulo (3/2, 4/2, 5/2) es semejante al triángulo sagrado egipcio, pues es su mitad: (3/2, 4/2, 5/2) = ½ (3, 4, 5). El número 2520, expresado en días, equivale a la disciplina aplicada a Nabucodonosor, que comió pasto como una bestia por esa cantidad de días en los que perdió la razón. Esos mismos días pasados a años resultan en "los tiempos señalados de las naciones", que significan el tiempo en que el hombre se gobernó a sí mismo sin el contraste de un trono fiel a JHWH (Dios) visible sobre la tierra. Este tiempo venció el 1º de octubre de 1914, dando comienzo a los "últimos días" de este sistema de cosas. Pero también tienen significado astronómico, pues en 315 años el Sol y la Luna coinciden en el firmamento con un error de 7 u 8 minutos de arco. Este error es un poco mayor al doble de la mínima separación que es capaz de hacer el ojo humano sin el auxilio de instrumentos de aumento, de manera que estos astros repiten posiciones cada 315 años. Cuatro de estos períodos suman 1260 años ó 3½ veces 360 años. Si llevamos el conjunto a la mínima expresión entera, tenemos 8.315 = 7.360 = 2520.

La segunda y la tercera pirámides de Gizeh tienen semi-secciones meridianas semejantes a los triángulos (3, 4, 5) y (20, 21, 29), respectivamente.

El número 2520 puede ubicarse como lado de triángulos semejantes a ambas secciones y de un triángulo rectángulo intermedio que no está en el grupo de pirámides.

(2520, 3360, 4200) = 840 (3, 4, 5)

(2375, 4200, 4825) = 25 (95, 168, 193)

(4200, 4410, 6090) = 210 (20, 21, 29)

(1512, 2016, 2520) = 504 (3, 4, 5)

( 864, 2520, 2664) = 4 (216,630,666) = 8 (108, 315, 333) = 12 (72, 210, 222) = 24 (36, 105, 111)= 72 (12, 35, 37)

(2520, 2646, 3654) = 126 (20, 21, 29)

(1440, 1920, 2400) = 480 (3, 4, 5)

( 700, 2400, 2500) = 100 (7, 24, 25)

(2400, 2520, 3480) = 120 (20, 21, 29)

El período de revolución sinódica de Venus es de 584 días. El múltiplo común mínimo entre el año terrestre y este período es 2920 días. Lo mismo para el año terrestre y el ciclo marciano es igual a 56940 días y para los tres planetas: 113880 días. Todos son divisibles por 40 y los últimos dos por 60. Los que son divisibles por 60 pueden ubicarse en cualquier lado de un triángulo rectángulo semejante al triángulo sagrado egipcio. Los que son únicamente divisibles por 40 pueden tener parte en un cateto y en la hipotenusa de dos triángulos semejantes. También pueden ser ubicados en triángulos semejantes a las dos semisecciones meridianas de las 2ª y 3ª pirámides de Gizeh, como se mostró antes con 2520.

Todas estas coincidencias y "cielos congruentes" permiten el cálculo de calendarios, algunos muy
precisos.

La Lógica Formal y la Lógica aplicada al lenguaje

2007-12-02T07:26:00.000-03:00

Esto que voy a escribir a continuación es una inquietud que surgió de una reflexión acerca de la paradoja del mentiroso y que me parece que señala una diferencia importante que pareciera no ser tomada en cuenta en los análisis no formales, o en los ejemplos prácticos que se tratan de encontrar a las expresiones formales.

Veamos primero la expresión informal de la paradoja el mentiroso:

"Soy un mentiroso"

¿Es contradictoria la expresión? Para que lo sea, al suponerla verdadera debe deducirse su falsedad y viceversa.

Si la supongo verdadera, estoy mintiendo y, por consecuencia, es falsa.

Si la supongo falsa, no estoy mintiendo y, entonces, es verdadera.

La estructura del enunciado es A es B, o A : B, queriendo simbolizar "es" con los dos puntos.

En la expresión encomillada el sujeto está tácito. "A" corresponde a Yo, o a Carlos, o a mi ser, o a mi alma, o a mi persona. "Soy" reemplaza a "es" para concordar gramaticalmente.

Una expresión con la misma estructura es: "Soy un ser humano". Pero hay una diferencia que me parece que no se toma en cuenta. La propiedad "ser humano" se cumple siempre, en toda circunstancia y momento. Yo siempre soy un ser humano.

En cambio, un mentiroso no tiene por qué serlo en todo momento y circunstancia. La mentira, aún la provocada por una enfermedad mental, es practicada cuando hay una conveniencia, una mala intención o lo que hace que uno oculte o disfrace si hay una enfermedad mental. Por ejemplo, un ser puede ser tildado de mentiroso si hace uso de la mentira metódicamente o con un fin determinado. Quizás yo pudiera ser un falso maestro religioso que predicara el amor y la piedad, mientras que utilizo a la comunidad religiosa para aprovechar sus puntos débiles y practicar el abuso de menores, de mujeres abandonadas o robar el diezmo para vivir bien. Digo robar porque al no tener un interés genuino los estaría estafando al cobrarles por lo que no les brindo. Sería justo que se me calificara de mentiroso en un caso así y hasta de delincuente, según mis actos y los códigos legales correspondientes. Lo mismo para el calificativo de enfermo, si fuera el caso.

Pero eso no quiere decir que un mentiroso sea constantemente mentiroso. Un mentiroso puede decir "tengo sed" e ir inmediatamente a saciarla. No mentiría en ese caso, pues no tiene sentido ni propósito una mentira tal. Iría a tomar algún líquido y el acto sería verdadero, acontecería efectivamente.

Por lo expresado intuyo que la expresión A es B no siempre puede ser analizada formalmente como que A es siempre B. Esto depende de qué sea B, del significado y alcance de B.

"Carlos es ladrón" no significa que Carlos esté continuamente robando, sino que roba con cierta regularidad o hasta una sola vez, si el criterio moral es estricto. Hasta Carlos podría no robar nunca a ciertas personas, como sus cómplices, amigos, personas indefensas como ancianas o ancianos y mujeres embarazadas y parientes queridos. Lo que en mi país se expresa con "es un ladrón, pero tiene códigos".

Para discutir y reflexionar.

Textos y Números

2007-09-23T17:11:00.001-03:00

Adrián Paenza es doctor en matemáticas y una figura estelar de la Universidad de Buenos Aires, no lo conozco personalmente pero es una persona que abarca más de una actividad, desde que es periodista deportivo. Esa amplitud de miras y el hecho de estar en los medios de difusión masiva de noticias, pues trabaja en radio y en televisión, lo hace ameno e interesante, más cercano al hombre de la calle; por lo que es un divulgador científico y de los buenos.

Hace poco tiempo escuché un programa suyo en el que afirmaba que en el intervalo numérico real que tiene por cotas al número cero y el número 1, están todos los libros que escribió la humanidad. El asunto consiste en esto: podemos dar un código único a cada letra, número y signo de puntuación. Ese código puede ser numérico y nosotros cambiar letras y signos por sus guarismos, precedidos por un cero y una coma. De esta forma, el número decimal escrito está dentro del intervalo mencionado. Vamos a hacer un ejemplo sencillo: Designamos con "00" a un espacio, con "01" a la letra "A", con "02" a la "B", y así sucesivamente hasta "27", para la "Z". Dada la sencillez de los ejemplos no distinguiremos entre mayúsculas y minúsculas ni agregaremos caracteres de otras lenguas como el hebreo, el árabe y otros idiomas que usan símbolos diferentes a los nuestros. Pero sería perfectamente posible que lo hiciéramos. Probablemente harían falta tres dígitos para cada símbolo.

Como no existen libros con contenidos de longitud infinita, todos los textos con sentido que se hayan escrito serán números racionales, pues sus cadenas serán necesariamente finitas. Los números racionales pueden tener una cantidad infinita de cifras decimales, pero periódicas; o sea, una cadena de decimales se repite indefinidamente, como 0,11111.... ó 0, 37892367 37892367 37892367 ... Para unificar notaciones, en matemáticas se conviene que números finitos pueden ser escritos como decimales infinitos: 0,5 es equivalente a 0,50000000..... ó 0,49999999....; representan el mismo número. Pero un texto con sentido literario no repetirá indefinidamente una cadena de letras, como: "tengo hambre tengo hambre tengo hambre..."; por lo que los decimales periódicos infinitos quedan descartados.

Veamos qué número le asigna el código a mi nombre CARLOS; corresponde a: 0,030119121620, un número racional comprendido en el intervalo (0, 1). Cualquier libro o texto que haya sido escrito estará comprendido en el intervalo (0, 1), pues le corresponderá una única secuencia de cifras decimales. Pero en esta pequeña caja de Pandora no solamente están todos los textos escritos desde siempre por toda la humanidad, sino también sus contrarios y la conjunción de los mismos, o sea, hasta las contradicciones.

CARLOS ES MODERADOR: 0,03011912162000052000131604051901041619

CARLOS NO ES MODERADOR: 0,03011912162000141600052000131604051901041619

CARLOS ES MODERADOR Y CARLOS NO ES MODERADOR: 0,03011912162000052000131604051901041619002600030119121620001416000520 00131604051901041619

Como en la fábula de Esopo, donde el sabio esclavo demuestra que la lengua es lo mejor y lo peor del mundo, en el intervalo (0, 1) está todo: la Biblia y el calefón. En definitiva, entre todos los números racionales que se encuentran en el intervalo (0, 1) se encuentran todos los textos finitos con sentido y sin él, las tautologías y las contradicciones. Aparentemente no hay contradicción en la definición de los números reales y, en especial, de los racionales que están comprendidos entre 0 y 1. Si tuviéramos que definir de alguna manera el conjunto de textos que estos números representan, ¿sería coherente una definición no numérica de ese conjunto?

En principio, me siento desorientado y no me parece llegar a ser capaz de dar una respuesta válida al asunto. Aunque debo confesar que le he dedicado el tiempo que me llevó escribir este texto. Como es domingo y estoy descansando, invito a los lectores a que hagan sus aportes cuando tengan tiempo y ganas.

Agregado posterior:

Tengo algunos estudios en matemáticas y conozco la Lógica Matemática, el Formalismo y me han explicado la Operación de Hilbert. Pero no soy experto en Lógica, ni siquiera un lógico mediocre.

Parece que el tema propuesto por Paenza desemboca en una cuestión similar a la del "conjunto de todos los conjuntos". Asignando un código numérico a cada símbolo de escritura de cada lenguaje humano, estarán en el intervalo (0, 1) todas las obras escritas por la humanidad, todas las que no escribió, todas las escrituras sin sentido, las negaciones de todas las cosas escritas en todos los tiempos, juntamente con sus conjunciones y disyunciones, tanto las inclusivas como las excluyentes.

No hay ninguna contradicción descubierta en la definición de los números reales del intervalo (0, 1), ni en toda la matemática. La no contradicción de la matemática se hace depender de la no contradicción de los axiomas de la Teoría de Conjuntos, por ahora la condicional se da: "Si los axiomas de la Teoría de Conjuntos no son contradictorios, entonces, los axiomas de la Aritmética no son contradictorios."

Sin embargo, utilizando las cifras que representan a los números con un significado diferente hemos arribado a lo que parece al menos un lugar muy embarrado.

Me estoy arriesgando a decir un disparate, pero parece que esta cuestión toca elementos de la Teoría del Significado además de la Lógica Formal.

Una explicación somera de algunas palabras para el lector no matemático o principiante:

Llamaremos enunciado a toda expresión en un lenguaje de la que tenga sentido afirmar su verdad o su falsedad. La Lógica no se ocupa de la verdad material de las afirmaciones, o sea, su coincidencia con la realidad observable o con la experiencia acumulada. El enunciado "San Martín liberó Perú" es verdadero, pero su verdad no es una cuestión lógica, sino de la corroboración histórica. Para la Lógica tiene tanto sentido calificarlo de verdadero como de falso.

Hay enunciados atómicos, o sea, que no pueden descomponerse en otros enunciados menores. El anterior sería un ejemplo. Otros enunciados se llaman moleculares y se descomponen en enunciados más simples unidos por conectivos lógicos como "o" o "y".

Una disyunción lógica es un enunciado molecular en el que las partes están unidas por un conectivo "o". El español acepta dos usos para el mismo conectivo: el "o" incluyente, como en el caso: "Es prohibido pisar el césped o jugar a la pelota en el cantero". Es evidente que el sentido acepta la ocurrencia de uno de los dos casos o ambos. El otro sentido es el excluyente, en donde se da solamente una de las dos posibilidades en una misma ocasión: "Esta noche iré al cine o al teatro"; "la figura geométrica dibujada es un triángulo o un círculo". En latín se hace una distinción entre ambos casos: la expresión "vel", para el caso incluyente, y "out", para el excluyente. Internacionalmente existe un convenio de aceptar a priori como incluyente cualquier disyunción a menos que se desprenda la imposibilidad de que ocurra o se utilice algún medio para indicar el caso excluyente.

La Operación de Hilbert es un sistema formal formado por siete símbolos fundamentales y letras en la cantidad necesaria y dotado de una sintaxis que permite construir sin ambigüedades ni errores expresiones lógicas. Es el Formalismo llevado al límite. Es tan minuciosa su descripción que definir algo aparentemente tan sencillo como el número natural 1 implicaría combinar esos siete símbolos en un texto que los utilizara varias decenas de miles de veces, ocupando un pequeño libro para decir "uno". Es de poca utilidad práctica, porque cualquier persona se perdería en semejantes vastedades; sería como elegir el punto de apoyo del pie con un microscopio electrónico. Se usa solamente en algunas cuestiones fundamentales en las que se hace necesario fundar la coherencia lógica de algún aspecto mínimo, de la creación de un objeto matemático de existencia dudosa, o cosas puntuales por el estilo.

La Lógica: impotente ante el lenguaje humano.

2007-09-02T12:23:00.000-03:00

Parece broma, pero es un tema serio.

Desde la Lógica Informal de Aristóteles, hasta la Lógica Formal y sus desarrollos, ampliaciones y variaciones posteriores, el lenguaje humano ha demostrado ser más rico y complejo de lo que la ciencia puede someter a análisis. Julio Rey Pastor colocaba un ejemplo en su legendario “Análisis Matemático I”. Afirmaba, con razón, que de la expresión “Hoy, el capitán está sobrio” no podía deducirse lógicamente que ayer no lo estaba. En la escritura corriente, la expresión humana está seriamente limitada, pues sus símbolos no indican el tono, el ritmo, los gestos, los ademanes, que suelen acompañar a una comunicación oral y visual. Por eso, en la escritura de guiones teatrales o cinematográficos se debe agregar comentarios pertinentes a la interpretación del texto frío. Es claro que si digo “Hoy, el capitán está sobrio” y uso un tono especial, acompañado de una expresión facial adecuada y algún movimiento de las manos, todos entenderán que ayer no lo estaba. Todos, incluidos los lógicos que, sin embargo, no podrán utilizar su “arsenal” de recursos para describir el significado y las consecuencias de lo dicho. No hay técnicas descriptivas y de tratamiento lógico del lenguaje que lleguen a tal profundidad y abarquen la totalidad de la riqueza expresiva. El lenguaje humano está poco adaptado al tratamiento formal, por abuso de lenguaje, ambigüedad, vaguedad y otros vicios. Ni hablar del doble sentido, ni del uso de algún argot o lunfardo, ni hablar al revés (“alvesre”) o cosas parecidas. Veamos un ejemplo. La situación es que hay dos personas; una realizó una pregunta y el texto se refiere a la respuesta que la segunda persona dio al cuestionamiento de la primera.

- ¿Cómo, cómo como? (La pregunta se enuncia en un tono de desagrado y sorpresa; dando a entender que se le ha cuestionado la forma en que come)

- Como, como como. (La respuesta del mismo sujeto tiene cierto grado de énfasis, pero no como para poner signos de admiración. Da el sentido “Como de la forma que lo hago, como me da la gana”)

- ¿Como como como? (Ahora el tono debe indicar que la persona cuestionada en su manera de comer se pregunta a sí misma si come de la manera que fue descripta por la otra persona)

-Como, como como. (La persona se responde a sí misma y reafirma y reivindica la manera en que come. Podría admitir el uso de signos de admiración –yo no soy un buen escritor-)

Así, se puede continuar variando la entonación de la misma frase y dando a entender distintos significados. Este tipo de ejercicios es común en la práctica actoral.

Con una misma expresión escrita, hemos dado a entender varias cosas diferentes, simplemente variando el tono, las pausas y la intensidad de la voz). Para desesperación de los lógicos, que, para defenderse, dirán: “la Lógica no se ocupa de tales cosas”. Y tendrán razón.

Proposición I

2007-08-22T21:04:00.000-03:00

Se propone demostrar la veracidad de la siguiente afirmación:

Si A designa a un ángulo central de una circunferencia y B y C a otros dos, tales que están en progresión aritmética de razón A/5 y A > B > C, los arcos rectificados de tales ángulos forman un triángulo rectángulo semejante al triángulo sagrado egipcio (3, 4, 5).

Como ejemplo aclaratorio, tenemos que el triángulo sagrado egipcio (3, 4, 5) tiene sus lados correspondientes a las longitudes rectificadas de los arcos de los ángulos centrales:
171, 8873385º, 229, 1831181º y 286, 4788976º; siendo la razón de la progresión aritmética el ángulo de un radián: 57,29577951º, que es la quinta parte de 286, 4788976º .

La demostración es inmediata. (Agregado el 27-09-2007)

Si A es el ángulo mayor, A/5 es la razón de la serie aritmética. Luego, A - A/5 = B = 4/5 A. El tercer ángulo de la serie es A - 2/5 A = B - 1/5 A = 3/5 A.

Si elevamos al cuadrado cada elemento de la serie, se da la igualdad siguiente:

A² = 16/25 A² + 9/25 A² = 25/25 A² = A² [1]

O sea la suma de los cuadrados de los dos ángulos menores es igual al cuadrado del mayor, que es lo que se necesitaba demostrar para determinar que es un triángulo rectángulo. También se ve claramente la semejanza con el triángulo sagrado egipcio porque aparecen los números 3 y 4 en los catetos, divididos por 5. El ángulo inicial está mulitplicado por la unidad, de manera que el triángulo genérico que encontramos es: (3/5, 4/5, 1). Este triángulo es igual al producto de 1/5 por (3, 4, 5) y sabemos que cualquier producto n (3, 4, 5) conserva las proporciones.

La longitud del arco abarcado por un ángulo es proporcional al ángulo, de tal forma que es equivalente medir ángulos en grados o por la longitud de sus arcos. En esto se basa el sistema de medición en radianes.

Un ángulo A se expresará en longitud de arco abarcado estableciendo la proporción entre la circunferencia total, igual a 2 pi radio, y el ángulo; de manera que si A se mide en grados sexagesimales, A resulta multiplicado por 2 pi radio/360 = pi radio/180. Si A está expresado en grados centesimales, será multiplicado por pi radio/200. Como todos los ángulos de la serie estarán multiplicados por una constante, la igualdad [1] se conservará.

Queda así establecida la proposición como teorema.

¿HAY UN SABER MATEMÁTICO OCULTO?

2007-08-19T10:49:00.004-03:00

El 17 de febrero de 1600, tras haber dicho a sus inquisidores que era mago y que la alta magia se basa en la creencia en otros mundos habitados y requiere un gran conocimiento matemático, moría Giordano Bruno, quemado vivo como hereje contumaz.

"Algunas de las creencias y leyendas que la Antigüedad nos ha legado están tan universal y profundamente arraigadas, que nos hemos habituado a considerarlas casi tan viejas como la misma Humanidad. Sin embargo, nos sentimos inclinados a investigar hasta qué punto la coincidencia de muchas de estas creencias y leyendas es fruto de la casualidad, o bien hasta qué punto podrían ser el reflejo de la existencia de una antigua civilización, desconocida e insospechada, y todos cuyos otros vestigios hubiesen desaparecido."

Sir Frederic Soddy (1877 - 1956; Premio Nobel 1921)

Para los antiguos egipcios un número, su duplo, su mitad, su raíz y su cuadrado eran diferentes aspectos de un mismo ente. Aquí creo encontrar una relación parcial con la música: si una cuerda vibra en una frecuencia fundamental, la mitad de la cuerda vibra al doble de esa frecuencia (una octava) y el doble de la cuerda lo hace a la mitad de la misma. Elegida una nota cualquiera, (por ejemplo un do) la octava superior (inferior) es también un do, pero de frecuencia más elevada (baja). La nota fundamental y su octava superior o inferior tienen la propiedad de ser de la misma "calidad", pero de un registro más agudo o más grave, respectivamente. La experiencia de oír la octava produce el misterio de la simultaneidad entre la diferencia y la igualdad que, curiosamente, es el mismo tipo de misterio presente en la creencia (muy arraigada, pero sin apoyo bíblico) de la trinidad (tres personas distintas y, sin embargo, las tres son una misma).

De la relación con la música se puede pasar a la alta magia, pues es conocido que ella se basa en una tríada: sonido, número y forma. También este misterio de la simultaneidad entre la diferencia y la igualdad debería darse en los aspectos "forma" y "número". En cuanto a la forma, un objeto que cumple la propiedad "tres cosas distintas que son una misma" es el espacio euclidiano de tres dimensiones. Cada coordenada es diferente de las demás; pero, en esencia, son la misma cosa; porque una misma dirección en el espacio puede desempeñar simultáneamente papeles diferentes para distintos observadores. En cuanto al número, hay un secreto celosamente guardado tras la expresión "RERE RER", que indica una cosa que está dos veces y una vez y media (o una vez, dos veces y media vez). La inclusión de la creencia trinitaria en algunas religiones me parece más un mensaje esteganográfico que una verdad o una necesidad teológica y tiene su origen en el mundo pagano de los sacerdotes practicantes de magia. Hay tríadas en muchas religiones antiguas, en la India, en Caldea, en Egipto. Los antiguos practicaban esta filosofía y tenían una geometría sagrada que no nos ha llegado a nosotros en la matemática contemporánea, pero cuyos residuos han sido conservados en secreto en sociedades iniciáticas como, por ejemplo, la Masonería.

Se distingue entre la hechicería y la magia. Para lograr sus fines, el hechicero manipula la materia; se vale de objetos, sustancias químicas y otras cosas tangibles. El mago, en cambio, utiliza su espíritu; se vale de rezos, invocaciones y símbolos más abstractos. La práctica de la alta magia recurre a construcciones geométricas y al "recitado" de fórmulas verbales. En la alta magia, el ritual involucra a una tríada: número, sonido y forma. No sólo es importante lo que se dice, sino cómo se dice; adquieren valor no sólo las palabras, sino su entonación y ritmo. Por supuesto, hay rituales que combinan ambas técnicas en distintos grados. Existe un dogma que "explica" el por qué de las acciones que lleva a cabo el mago, pero yo no soy capaz de dar todavía una explicación científica racional a todo esto. No obstante, mi actitud inicial no es despreciar ni burlarme de lo que no conozco o no entiendo; antes bien, observo con atención, prudencia y respeto. Hasta tanto no tenga premisas suficientes, no emito juicio, ni a favor, ni en contra, de la validez de ciertas explicaciones. Dada la prohibición bíblica de involucrarse en estas prácticas (Levítico 19: 26 y 19: 31), aconsejo enfáticamente al lector no participar de ninguna actividad de este tipo; inclusive para el lector agnóstico o ateo, esto es cualquier cosa menos un juego. Y no olviden que "la curiosidad mató al gato". En cuanto a la vinculación de sonidos con formas, hay una observación interesante. En las proporciones de las construcciones geométricas, en algunas leyes físicas o astronómicas (como la ley de Bode) y en las proporciones de las construcciones arquitectónicas, se hallan a menudo acordes musicales mayores y menores. Inversamente, en la música hay implícitamente construcciones geométricas. Si fuera posible determinar la correspondencia exacta entre ciertos conjuntos de sonidos y algunas figuras geométricas (esto no puede hacerse arbitrariamente), se podrían "ver" las grandes sinfonías y las grandes óperas. De las imágenes obtenidas, seguramente podrían derivarse interesantes teoremas y, quizás, también mensajes de otra naturaleza. La música, formulada especialmente para ello, no sólo produciría estados de ánimo, sino que podría introducir ciertos mensajes subliminales o disparar algunos procesos mentales. Los antiguos hablaban de la "sinfonía de las esferas" o la "sinfonía cósmica" y no era una licencia poética. Aunque no afirmo nada, llamo la atención del lector al hecho de que, desde Einstein, el universo es una síntesis geométrica y todo parece, además, reducirse a fenómenos ondulatorios. Veamos algunas opiniones:

"La arquitectura es música congelada" Matila Gyka duda en atribuir esta frase a Novalis o a Schelling. Para mayor confusión, busqué en Internet la frase encomillada y figura como pronunciada por el filósofo alemán Arthur Schopenhauer.

"La matemática es un verdadero arte, que puede colocarse junto a las artes plásticas y a la música... Sobre todo, está relacionada con las grandes arquitecturas dórica y gótica, etc. La arquitectura de los grandes templos egipcios constituye un tratado mudo de geometría... y el análisis matemático es a la inversa una arquitectura del más alto estilo."
Oswald Spengler (La Decadencia de Occidente)

"Desde los átomos hasta el universo, cada uno de los movimientos cósmicos posee un tempo, un ritmo, una periodicidad, y puede compararse entonces a la vibración, y por tanto a un sonido que expresa su naturaleza. No todas las vibraciones son perceptibles a nuestros oídos, pero las relaciones entre las vibraciones pueden compararse a las relaciones entre frecuencias audibles. Todos los átomos pueden considerarse así como la forma de una energía que se expresa en un ritmo, y todas las sustancias están caracterizadas por una relación particular de ritmos que se puede representar mediante una relación de sonidos. Es gracias a esta similitud entre, por una parte, las relaciones de los sonidos, y por otra, las formas y las sustancias de la naturaleza, como se hacen posibles el lenguaje y la música." "Los sonidos puros, los sonidos inmateriales que constituyen la naturaleza profunda de las cosas y que Kabir llama «su música inaudible», se pueden percibir mediante instrumentos más sutiles que nuestros oídos. Llegar a su percepción constituye una de las metas de la práctica de esas curiosas disciplinas fisio-mentales llamadas yoga."

Alain Daniélou, "Traité de musicologie comparée"

"El nombre natural de un ser es el sonido producido por la acción concordante de las fuerzas móviles que lo constituyen. Por eso se suele decir que aquél que pronuncie mental o físicamente el nombre natural de un ser da la vida al ser que lleva ese nombre."(X)

Sir John Woodroffe

Entre los radioaficionados es común conversar de anécdotas de resonancias extrañas que, a veces, ocurren en objetos impensados, como un balde con una cantidad de agua y muy cerca del marco metálico de una puerta, en las proximidades de una estación comercial de onda corta: de este balde (o del conjunto) salía el programa transmitido en forma audible. Otro caso fue el de un pobre hombre que no podía dormir "porque escuchaba voces"; siendo que tenía una amalgama en su dentadura que sintonizaba una estación de radio. Lo cierto es que las ondas electromagnéticas no sólo pueden ser utilizadas mediante técnicas eléctricas, sino también por medios mecánicos. Estas ondas producen un movimiento real en las sustancias dieléctricas, que es inaudible y pertenece al campo de los ultrasonidos. Los ultrasonidos son vibraciones mecánicas del aire o de otro medio material compresible que están por encima del límite superior de la audición humana. Estos pueden llegar hasta frecuencias muy altas, dependiendo de la viscosidad u otras propiedades del medio transmisor. Por ejemplo, en el aire se transmiten con facilidad frecuencias de 500 mil Herz o ciclos por cada segundo. Cuando ciertos árboles enferman o están muy debilitados emiten frecuencias que abarcan ultrasonidos desde los 50 mil ciclos hasta los 500 mil. Algunos insectos pueden percibir esas vibraciones y se dirigen a acabar con el enfermo. Se alimentan del más débil y dejan los ejemplares sanos para que sobrevivan (no voluntariamente, por supuesto).

Es cierto que cualquier onda electromagnética puede causar movimientos en las sustancias con momentos dipolares, variando los efectos según las frecuencias y las longitudes de ondas. Un ejemplo cotidiano lo constituye el horno a microondas, pero hay una diversidad de efectos. Por ejemplo, la precipitación del oxicloruro de bismuto varía su velocidad si se irradia el experimento con frecuencias de 3 KHz. Las plantas de trigo crecen más si se las somete a sonidos de 1 KHz ó 10 KHz. Que yo sepa no se han realizado experimentos en las mismas frecuencias, pero electromagnéticas. Los hindúes creen que las almas de seres humanos castigados por llevar una mala vida habitan en el interior de las plantas, para aprender y ascender en la escala jerárquica de los seres vivos. Ellos hablan y le cantan a las plantas para que se consuelen y les vaya bien, que se desarrollen bien como plantas y puedan pasar a una instancia superior. Esto es una superstición, pero es cierto que las plantas progresan con la voz humana. Los experimentos hechos con plantas de trigo en diversas condiciones controladas indican un aumento del crecimiento. La mayor potencia de la voz humana se sitúa alrededor de los 1000 ciclos por cada segundo.

Para terminar, les cuento una anécdota vinculada al tema. Cuando vi la película "En nombre de la rosa", me sorprendió una escena en la que un monje queda atónito cuando observa que Sean Connery lee un libro con la vista, en vez de en voz alta, como los demás. Reconocí inmediatamente un fondo mágico en todo esto. Para el punto de vista mágico antiguo, la palabra era una potencia, debía ser enunciada para que cobrara efectividad (Ver "X"). La actitud apresurada del hombre actual es la de calificar estas acciones como tonterías, supercherías de las mentes ignorantes de entonces. ¿Qué diferencia puede haber entre leer "con la vista" y en voz alta? La única posible -dirán con cara de doctos- es que de una forma actúa solamente la memoria visual y, de la otra, también la auditiva. ¡Ajá! ¿Sólo eso? ¿Está seguro? Yo no lo estoy tanto. La lectura en voz alta elimina completamente el ritmo alfa, aún para el individuo cuyo electro-encefalograma pertenece al tipo P extremo (1).

Tanto en la hechicería como en la magia hay lo que podríamos llamar "una escala cultural". Ciertas formas mágicas son producto de mentes poco desarrolladas, de individuos de escasa sabiduría. Como ejemplo, podemos citar el "Culto del Cargo", una forma primitiva de magia imitativa que desarrollaron unos nativos que vivían tal como creemos lo hacían los hombres del neolítico. En medio de la Segunda Guerra Mundial, esta tribu encontró de pronto a los hombres blancos y comenzaron a observarlos con curiosidad ávida. Los militares plantaban antenas de radio, colocaban las cajas que contenían el transmisor y el receptor sobre mesas y se sentaban a hablar frente a ellas. Posteriormente llegaban unos enormes aviones, de los que descargaban equipos y todo tipo de pertrechos. En los contactos que se produjeron más tarde con estas primitivas personas, algunos soldados les obsequiaron chocolates, espejos, peines, comida enlatada y otros objetos comunes para nosotros; pero que para esta gente resultaban tesoros maravillosos que -literalmente- venían del cielo. Cuando la guerra terminó, los soldados se marcharon y, con ellos, la llegada de tesoros. Poco tiempo después comenzaron a construir mesas con ramas y hojas. Sobre ellas colocaron cajas armadas de la misma manera, y plantaron largas cañas a manera de antenas. En su sencilla lengua comenzaron a pedir "a los dioses" que les mandaran esos tesoros que salían de las entrañas de esos pájaros enormes y ruidosos, pero nada llegó. Trataron de "hacer lo mismo" que esos misteriosos blancos, pero no les dio resultado. Sin embargo, se creó un culto que duró un tiempo considerable y que podría ser un tiempo largo en tanto estos seres no desarrollen su mente para comprender lo que les ocurrió. En realidad ignoro si hoy subsiste ese culto, si esa tribu desapareció o si fue "absorbida" por nuestra civilización. En ciertos ritos mágicos elementales, en la hechicería de poca monta y en las supersticiones lo que subyace es ignorancia; objetivamente, ignorancia. No digo esto con desprecio hacia quienes tienen pobreza intelectual, pero honestidad; hacia quienes se comportan sin engaño hacia los demás, creyendo en lo que hacen. Hay una colección enorme de ritos y costumbres que no sirven para nada y una constelación de timadores que se aprovechan de la ignorancia ajena para vivir sin trabajar. Pero no hay que poner todo en el mismo saco. Como contrapartida hay, también, un conocimiento secreto y profundo de ciertas técnicas que no son para ignorantes y que operan eficientemente sobre realidades que la ciencia no admite oficialmente. A ellas han accedido y se han dedicado hombres de la talla de Roger Bacon, el abate Juan Tritemo, Giordano Bruno y hasta Newton. Al igual que Pawels y Bergier, digo: "no creo en todo, pero todo debe ser revisado" (Y agregaría: sin preconceptos).

Como Soddy, soy de los que creen que hubo una civilización anterior que fue destruida y que una parte de la humanidad sobreviviente reconstruyó lo que pudo de aquel saber perdido. Este saber fue ocultado al resto de sus congéneres y resguardado en sociedades que se encargaron de perpetuar ese saber secreto, inaccesible al vulgo. Ese conocimiento no sería sólo teórico y aplicable al mundo de la abstracción, sino también utilizable prácticamente; quizás hasta abra las puertas del dominio de las interacciones débiles por medios simples y de poco gasto energético, algo que nuestra civilización todavía no logró. (2)

(1)Existen tres grupos básicos con respecto al ritmo alfa: el grupo "R", que abarca alrededor de dos tercios del muestreo aleatorio de la población, y que contiene a las personas en las que los ritmos alfa desaparecen al abrir los ojos o al realizar un esfuerzo mental. El resto de la gente se reparte en partes iguales en los grupos "P" y "M". El grupo P es el de aquellos en los que el esfuerzo mental bloquea difícilmente los ritmos alfa; éstos persisten aún abriendo los ojos y manteniendo activa y alerta la mente. Estas personas tienden a la imaginación auditiva, cinestésica o táctil, antes que la visual. El grupo M -de minus- está compuesto por individuos cuyos procesos de pensamiento discurren casi por completo en términos de imaginación visual.

(2)En la alquimia se guarda con mucho celo un secreto que pudiera estar relacionado con esto. En los años previos a la Segunda Guerra Mundial, cuando los científicos buscaban afanosamente la fisión del átomo, dos personajes, que se dieron a conocer como alquimistas, se dedicaron a visitar a los más importantes físicos nucleares, advirtiéndoles de los peligros de los residuos producidos y describiendo, somera pero muy gráficamente, de qué se trataba un reactor nuclear. Después del triunfo de Fermi, alguien recordó lo que habían escuchado tiempo atrás de estos hombres; inmediatamente, los servicios de inteligencia comenzaron una búsqueda sostenida de estas personas, que resultó infructuosa. Uno de ellos fue fusilado en el norte de África antes de que pudieran hallarlo y el otro desapareció sin dejar rastro. Después comenzaron a comprar los libros antiguos que podían encontrarse en Europa a muy buen precio. En el atentado contra Hitler, también intervino una sociedad secreta alquimista llamada "Sapiens Donabitur Astris", de la que formaba parte el coronel que llevó el portafolio con la bomba. Esta sociedad fue la que estableció el contacto con el servicio de inteligencia británico, proveedor del explosivo. Pese a la gran cantidad de charlatanes, parece que algo serio hay; dado que no podemos dejar de admitir que el hecho de invertir recursos materiales y tiempo para buscar libros y manuscritos, o capturar a ciertos personajes, resultaba tan importante como para preferir esto último a otras actividades propias de la guerra; a menos que creamos que en los servicios de inteligencia de las potencias que hoy dominan el mundo hay místicos y delirantes o personas que persiguen quimeras.

ASPECTOS MÁGICOS DE LA GEOMETRÍA ANTIGUA.

Las construcciones con regla no graduada de un solo borde liso, sin marcas y de longitud ilimitada y compás de abertura fija o móvil son de origen filosófico-religioso. Aunque nosotros recibimos esta tradición de los griegos, su origen es anterior. Pese a que le dieron un estilo propio, la sabiduría de los griegos se nutrió de las conversaciones mantenidas con los sacerdotes egipcios, quienes, a su vez, heredaron sus conocimientos de una cadena humana que comenzó con los primeros fundadores de Babilonia, en los días de Nemrod.

Esta doctrina secreta comprendía un sistema sexagesimal de medición de ángulos, una geometría sagrada y un alfabeto mágico.

El alfabeto mágico consiste en veintidós letras con triple significado: número, sonido y forma. Cada letra se asocia con un número y una figura geométrica regular y hay exactamente veintidós figuras geométricas planas y regulares que dividen sin resto a los 360 grados de la circunferencia.

El hebreo y el fenicio son alfabetos mágicos de este tipo; cualquier ritual en otras lenguas debe ser construido a partir de la correspondencia fonética con un alfabeto mágico.

El número asociado a cada letra es de significado divino, espiritual, simbólico o figurado; en cambio, el número de lados del polígono regular indica significado humano, material, concreto o terrenal. Por ejemplo: en la Biblia se narra la sucesión de diez plagas en Egipto. El número diez (correspondiente al decágono asociado a la letra zain, que significa lo completo en la tierra) nos sugiere que las plagas fueron materiales y que el sentido del texto es literal. Así, por ejemplo, cuando menciona la segunda plaga de ranas, se trata realmente de batracios (Éxodo 8: 1-15). Pero en el libro de Revelación o Apocalipsis(literalmente: "correr el velo") las plagas son siete (el número asociado a la letra zain que señala lo completo en el cielo) y esto expresa que el significado no es literal sino figurado y, por ejemplo, la plaga de langostas no es de estos insectos sino que es un hecho que puede asemejarse, por su forma de ocurrencia y sus efectos, a una plaga verdadera. Las profecías, en general, tienen en la Biblia dos cumplimientos: el primero, a corto plazo y en pequeña escala; el segundo, a largo plazo y gran escala. Ambos tipos suelen expresarse, el primero, en días; el segundo, en años o semanas de años. Un ejemplo de esto podría ser la destrucción del Templo por los romanos y el fin de la civilización actual en el Armagedón (O Harmagedón).

También los sucesos análogos suelen ser primero de significado literal y luego de sentido figurado o espiritual.

El sistema sexagesimal de medida de ángulos tiene una vinculación muy fuerte con la astronomía local y con la trigonometría. El número 60 juega un notable papel en las revoluciones celestes aparentes. Cada 315 años el Sol y la Luna vuelven al mismo punto del cielo con un error de, aproximadamente, 7 u 8 minutos de arco. Esta última cifra equivale aproximadamente al doble de la separación mínima que es capaz de detectar el ojo humano entre dos astros sin el auxilio de instrumentos de aumento. De tal forma, sobre un fondo de estrellas aparentemente fijas, a ojo desnudo, el Sol y la Luna se observan en el mismo lugar del firmamento.

Ocho períodos de 315 años equivalen a siete lapsos de 360 años. Después de 2.520 años el error acumulado es aún pequeño. Aquí encontramos el número de días/años de las pequeñas y grandes profecías registradas en el libro de Daniel.

También se produce una conjunción de Júpiter y Saturno cada sesenta años. El número 60 es, además, de la forma mn(m²-n²), con m = 4 y n = 1. Esto permite pasar con facilidad de un número cuadrado a otro; especialmente, de una terna pitagórica (un triángulo rectángulo) a otra, según la conocida identidad de Fibonacci. (1)

En las triangulaciones - propias de la astronomía local - también es importante el hecho de que el producto de los lados de un triángulo rectángulo diofántico (lados enteros) es siempre un múltiplo de 60.

Asimismo 60 es una vez y media 40. La noción de sesqui nos fue legada por los latinos, pero es más antigua y contiene una clave fundamental de la ciencia sagrada antigua, de la que no puedo decir nada por ahora. Cuarenta resulta ser el divisor máximo común de los múltiplos mínimos comunes entre la duración del año terrestre y los períodos de las revoluciones sinódicas de Venus y Marte y otros números "astronómicos" como 1.040. Es un número muy frecuente en la Biblia.

La geometría sagrada se caracterizaba por permitir sólo construcciones cuadráticas o reducibles y por el establecimiento de relaciones de analogía entre conceptos matemáticos y extramatemáticos. (*) Había una correspondencia entre un número y una entidad concreta. Esto último fue lo que impidió el establecimiento de reglas y estructuras generales y la algebrización de la geometría antigua. En esta geometría juega un papel importante el establecimiento de relaciones entre objetos a través de la proporción. La inexistencia del cero como número también tiene una importancia filosófica fundamental. La unidad no era considerada como un número, sino que era asociada a la divinidad antes del acto de la creación; era el origen de todas las cosas a través de la disección, de la dualidad diferenciadora, generadora de opuestos. Así, para los antiguos el dos era el primero de los números, considerado -entre otros atributos- femenino, como los demás números pares. (+) Para la filosofía imperante en el mundo de entonces no podía extraerse algo de la nada; los partidarios modernos del ocultismo, la metafísica o la filosofía pasada consideran a nuestra civilización, nuestra filosofía y nuestra matemática como nihilistas.(++)

NOTAS ACLARATORIAS

(1) Si bien la identidad de Fibonacci es muy posterior, en todo caso Fibonacci fue quien la redescubrió o quien la introdujo en nuestra civilización. La identidad es: [1/2(m²+n²)]² ± mn(m² - n²) = [1/2(m² - n²) ± mn]²

(*) El punto de vista descriptivo es moderno.

(+) Hay pequeñas variantes de una civilización a otra. Todavía hoy en Europa hay personas que no regalan un número par de flores porque se asocia a los números pares con lo satánico o con la mala suerte. Esto es un residuo de la filosofía antigua que otorgaba significados duales contrapuestos como femenino - masculino, blanco - negro, fijo - volátil, etc.

(++) La postura moderna puede ilustrarse con la frase de Leibnitz: OMNIBUS EX NIHIL DUCENDIS SUFFICIT UNUM (Uno basta para extraer todo de la nada) . La introducción de los números negativos y el cero como origen tienden a crear una filosofía materialista en la que Dios no es necesario, totalmente contrapuesta a la concepción antigua, que hacía salir todo de una unidad primigenia indiscernible que comenzó a manifestarse al dividirse a sí misma en pares de entes opuestos.

IMPOSIBILIDADES QUE PODRÍAN SER POSIBLES

Según el Teorema General de Ciclotomía de Gauss, de 1801, los ángulos que dividen la circunferencia en n partes iguales pueden ser construidos con compás y regla no graduada de un solo borde si y solo si n es una potencia de dos, puede escribirse como un número primo de la forma [(2 elevado a 2 elevado a ( j sub i)+ 1] o un producto de factores de estas dos clases, siendo desiguales todos los exponentes j1, j2, ... , jp; o sea, que no se repita ningún factor primo.
Si uno solo de estos ángulos "prohibidos o imposibles" de un número entero de grados pudiese construirse por el "método de los dioses", todos los demás lo serían también. Sin pérdida de generalidad, supongamos que tal excepción fuera un ángulo de veinte grados. La mediación o bisección es una operación lícita; así es que obtendríamos un ángulo de diez grados y luego uno de cinco. La suma o resta de ángulos (o arcos) también es una operación permitida; de modo que la diferencia entre el ángulo de 5 grados y el de 3 nos daría uno de 2, que diseccionado nos proporcionaría el ángulo unidad. A partir de éste se puede construir el ángulo entero en grados que queramos. También puede arribarse a este resultado considerando un ángulo de 21º, que es constructible mediante regla y compás (sus funciones trigonométricas tienen expresión algebraica cuadrática), y restarle directamente la supuesta excepción del ángulo de 20º.

Tal excepción, ¿existe? No puedo afirmarlo. Pero hay varios indicios extramatemáticos de que puede ser así.

Uno de esos indicios es que se haya perdido la pronunciación correcta del nombre de Dios en hebreo. La forma antigua de escritura del hebreo era la de escribir solamente las consonantes, sin ninguna indicación para las vocales; el lector, simplemente, pronunciaba las vocales de acuerdo al contexto o a ciertas reglas conocidas por los lectores de entonces (Agregar las vocales de acuerdo al contexto no permitiría una lectura fluida).

El nombre de Dios estaba caracterizado por cuatro letras (Tetragrámaton): yod, he, vau, he; como una forma del verbo hebreo hawah, que significa "llegar a ser" (1). Conforme a la costumbre antigua, el nombre era una expresión de la personalidad, de una cualidad esencial o distintiva; aquí el nombre de Dios da el sentido de "Él Causa que Llegue a Ser", y lo identifica como a una persona que realiza infaliblemente sus propósitos y cumple todas sus promesas al debido tiempo; un nombre muy apropiado para el "Dios Único y Verdadero".

La explicación más corriente para el hecho de haber perdido esa pronunciación es que, en algún momento de su historia, los judíos desarrollaron la creencia supersticiosa de que era malo pronunciar el nombre divino en voz alta, como una exageración del mandamiento expresado en Génesis 20 : 7 (compare con Hechos 15 : 14 y Éxodo 9 : 16). Cuando tropezaban con el Tetragrámaton en alguna lectura pública, decían " 'Adhonaí" ("Señor Soberano"). Con el paso del tiempo el hebreo antiguo dejó de usarse en la conversación diaria y la pronunciación del nombre olvidada. Según los textos griegos bíblicos estaba en uso todavía durante la vida de Jesús.

Esto puede ser cierto, pero quizás no sea completo. Las letras hebreas se relacionan con un número y con una figura geométrica plana regular, cuyo número de lados divide exactamente los 360 grados de la circunferencia. El tetragrámaton contiene un polígono de dieciocho lados, dos octógonos y un eneágono. Si fuera posible construir las figuras "imposibles" (eneágono y polígono de dieciocho lados) a partir de los octógonos y otras construcciones auxiliares como la estrella de David, la semi-sección meridiana de la Gran Pirámide o una cara de ella y ciertas sucesiones o proporciones como 1 - 2 - ½ ó 2 - 1½ [La fórmula RERE RER, de la alquimia], quizás podríamos completar la descripción anterior consignando una causa: doctos judíos introdujeron la idea supersticiosa en el pueblo con el fin de que nadie se diera cuenta de un secreto que, de continuar la pronunciación correcta del nombre, podía quedar al descubierto, al alcance de los profanos (los sonidos vocales no escritos podrían dar una idea de la orientación y posición de las figuras, según una especie de "gramática geométrica"). Esta creencia mía se ve respaldada por la escritura modificada de los números quince y dieciséis en hebreo, que en la grafía original representan abreviaturas del nombre divino, aunque la fonética de las formas femeninas o masculinas de los nombres de estos números nada tiene que ver con la pronunciación de la forma antigua de hawah. (En lugar de 10+5 y 10+6, se escribe 9+6 y 9+7, respectivamente)

El nombre de Dios tiene cuatro consonantes. Aunque la creencia de la Trinidad no tiene apoyo bíblico (esto está reconocido inclusive en la Enciclopedia Católica), es común que se asocie a la deidad trina con un triángulo equilátero. Existen trinidades en muchas religiones paganas antiguas. Cualquier triángulo tiene cuatro puntos notables (ortocentro, incentro, circuncentro y baricentro) y cuatro criterios de igualdad. En el triángulo equilátero estos cuatro puntos notables coinciden en uno solo.

El ángulo central de un octógono interviene en el cálculo del coseno de la mitad de un ángulo dado: cos a = cos 45º [raíz cuadrada de: (1 + cos a)]. También es conocido que cualquier ecuación en una indeterminada es descomponible de una única forma en el producto de expresiones (x - a), donde a es una raíz de la ecuación. Si escribimos x - a = y, tenemos una recta con pendiente igual a la unidad; o sea, que forma un ángulo de 45º con el eje real. Especializando x por cualquier valor, estos productos dan el valor de la expresión de grado n para el x elegido. Esto es lo mismo que afirmar que cualquier ecuación de grado n en una indeterminada se descompone en el producto de n rectas, algunas de las cuales pueden coincidir por el grado de multiplicidad de una raíz, si se da el caso.

Reconozco que ante la fama justamente ganada por Gauss - quizás el matemático más grande de todos los tiempos - mis argumentos son muy débiles. Pero en un tema tan complejo como éste no sería difícil que se escapara algún detalle como una singularidad (la palabra no está usada en sentido técnico), algún caso especial no contemplado; sin descartar tampoco un ocultamiento intencional.

Veamos un caso no advertido en un problema mucho más sencillo que el que nos ocupa: en el libro "El Número. Lenguaje de la Ciencia" (2), cuyo autor fue el doctor Tobías Dantzig, profesor emérito de la Universidad de Maryland, se cita un teorema acerca de las ternas pitagóricas primitivas, que dice: "Teorema B. Uno de los catetos de un triángulo primitivo es siempre un múltiplo de 3 y el otro es siempre un múltiplo de 4; uno de los tres lados es siempre divisible por 5. Como consecuencia, el producto de los tres lados es siempre un múltiplo de 60." (Página 295)

Este libro mereció un comentario elogioso de Alberto Einstein (y lo suscribo), fue editado cuatro veces en inglés en su país de origen y dos en español en el mío. También figura en la bibliografía de la última reforma educativa en Argentina. Sin embargo, nadie advirtió que - como está enunciado - el teorema es falso. En efecto, 61² = 60² + 11²; 61 es una hipotenusa prima y 11 un cateto primo. Luego no se cumple "un cateto es siempre un múltiplo de 3 y el otro es siempre un múltiplo de 4." El enunciado correcto debería ser: "Un cateto es siempre un múltiplo de 3; un cateto es siempre un múltiplo de 4; uno de los tres lados es siempre divisible por 5." La demostración, además, debe contemplar que un cateto puede ser primo.

El contraejemplo no es único:

181² = 180² + 19² ; 421² = 420² + 29² ; 1741² = 1740² + 59² ; 2521² = 2520² + 71².

Aunque este ejemplo no es un teorema importante, en temas más profundos o de más alcance a veces se deslizan errores análogos que pueden hacer incompleta una demostración. La falta de consideración de algún caso puede conducir a falsedades o a verdades parciales y estas omisiones pasan muchas veces desapercibidas; sobre todo cuando se trata de "trivialidades". Por ejemplo: en uno de los anteriores artículos incluyo una segunda expresión para la factorización de una diferencia de cuadrados que adopta, a veces, valores enteros. Creo que es inédita. Si esto último es cierto, podemos imaginar a un matemático que al demostrar un teorema tropieza con una diferencia de cuadrados y analiza únicamente el caso (a + b) (a - b). La falta de estudio del otro caso seguramente falseará los resultados. Si realmente esta segunda factorización era desconocida por todos y no solamente por mí, entonces deben ser revisadas todas las demostraciones en las que aparezcan diferencias de cuadrados.

Otras veces el error consiste en un punto de vista impropio respecto del problema. Cito nuevamente al eminente doctor Dantzig:

"5.Sobre la trisección de un ángulo".
"Para probar que, en general, la trisección de un ángulo no puede efectuarse con regla y compás, sería suficiente, evidentemente, probar la existencia de algún ángulo particular para el cual ello no fuese posible."(Página 355, segunda edición en español, tomada de la cuarta edición en inglés)
En este caso el criterio usado por Dantzig no es válido. Esto es así porque la imposibilidad se deduce de la aparición de una ecuación cúbica irreducible para un ángulo particular, que en el libro citado es la trisección de un ángulo de 60 grados sexagesimales. Pero es posible demostrar que si se logra la construcción de otro ángulo que no sea múltiplo de 3°, de 1° 30' o sus sucesivas mediaciones, mediante operaciones de regla y compás es posible construir un ángulo de 1° (pi/180) y, a partir de éste, todos los demás ángulos de un número entero de grados sexagesimales; por lo que el ángulo en cuestión podría construirse con el mismo método por otro camino diferente al que lleva a una particular ecuación cúbica irreducible. Habría que demostrar que es imposible hacerlo en la totalidad de los casos. Esta "totalidad" incluye ángulos "no enteros" (con minutos y segundos de arco).

NOTAS ACLARATORIAS

(1) El hebreo carece de los tiempos verbales de las lenguas indo-europeas, como el español. Los verbos hebreos se conjugan en modo perfecto o modo imperfecto y la calificación de acción pasada, presente o futura se deduce del contexto. El modo perfecto indica una acción completa o terminada y el imperfecto una acción todavía en curso o inconclusa. La traducción "llegar a ser" es una adaptación del significado de la palabra hebrea al modo español de hablar; corresponde al verbo "ser" en su modo imperfecto.

(2) Editado por Editorial Hobbs - Sudamericana S.A., Buenos Aires, 1971.

EJEMPLOS DE OCULTAMIENTO DE CONOCIMIENTOS

Hay una antigua forma de cifrado que se denomina "esteganografía", que consiste en un lenguaje con doble significado: uno de uso general que nada tiene que ver con el mensaje encriptado y otro que es conocido solamente por los interesados. La forma dada al mensaje hace que nadie se percate de la existencia de un código secreto. Como ejemplo, supongamos que una banda de secuestradores rapta al hijo de un poderoso industrial y lo esconde en una zona rural donde se crían porcinos. Convienen que el mensaje "maten cerdo" signifique la muerte del secuestrado y "manden cerdo", su liberación. Si no existen sospechas previas, cualquier persona que escuche una conversación entre los criminales no se dará cuenta de que hay un mensaje oculto.

De forma análoga, en mitos, leyendas, cuentos, dibujos y casi cualquier forma imaginable de comunicación se pueden esconder contenidos inaccesibles a la mayoría de la gente, porque no despiertan sospechas.

Como ejemplo de "no todo es lo que parece ser", podemos "escuchar" las palabras que pronuncia Arbaces en "Los últimos días de Pompeya", de sir Bulwer Lytton, tal como aparece en la traducción española publicada por Editorial Sopena en 1952, páginas 24 y 25:

"Por eso lo coloqué entre vosotros, y ahora es sacerdote." "-Así es, en efecto -dijo Caleno- . Pero al estimular su fe le has quitado el juicio. Se horroriza al saber que lo hemos engañado. Nuestras sabias mentiras, las estatuas que hablan y las escaleras secretas le espantan e irritan; se queda en su celda y se consume lentamente; no asiste a nuestras ceremonias y no habla más que consigo mismo. Se dice que trata con personas sospechosas de pertenecer a esa nueva secta atea que niega todos nuestros dioses y que considera a nuestros oráculos como la inspiración del espíritu maléfico de que hablan las tradiciones orientales. ¡Nuestros oráculos! ¡Vaya! Si sabremos nosotros dónde se encuentra la inspiración de nuestros oráculos." "- Ya me temía yo eso -dijo Arbaces preocupado -. Me di cuenta de lo que le sucedía por varios reproches que me hizo la última vez que lo vi. He notado que últimamente trata de huir de mí, pero debo encontrarlo y continuar mis lecciones. Quiero revelarle el santuario de la sabiduría, que hay dos grados de santidad: el primero, la fe; el segundo, el fraude; uno para el vulgo, el otro para los sabios." "- Por el primero no he pasado yo -dijo Caleno- y creo que tú, Arbaces, tampoco." "Te equivocas -replicó el egipcio -. Yo creo, no en lo que enseño, pero sí en lo que no enseño. Existe en la Naturaleza una santidad de la cual no podría ni me atrevería a dudar." ...

Bulwer Lytton fue considerado un erudito genial en cuestiones de la antigüedad y fue miembro de dos importantes sociedades secretas modernas. Por esto último, conviene consultar lo que dice Serge Hutin en la obra "Las Sociedades Secretas", publicada en español por EUdeBA, Colección Cuadernos n° 47, Bs. As. , 1984: "El Gran Arquitecto no es un Ser superior al mundo: es la Fuerza que rige a la materia, la Ley del Universo del que los hombres solo pueden percibir las manifestaciones sensibles; no es el Dios creador del catolicismo, puesto que el "Gran Arquitecto" organiza una materia que él no ha creado, que hasta es impotente para crear."

En el último párrafo destacado por mí menciona una "santidad". Arbaces no nombra a una persona sino a una fuerza motriz, un propósito, un orden, algo impersonal, pero santo. A un Dios "persona", o sea, un Ser inteligente, que es Creador y Padre, hay que rendirle cuentas y Él tiene derecho de decidir lo que es bueno para sus creaciones. Con un dios impersonal la relación es menos comprometida; es más, no es necesaria, puede reducirse a una simple coexistencia. Esa "corriente que ordena la Naturaleza" solo exigiría que no interfiriésemos con ella. Creo que, en este caso, Arbaces refleja las creencias del autor, porque son las doctrinas que absorbió en la sociedad secreta a la que perteneció (La Rosacruz inglesa moderna fue fundada por Wentworth Little en 1867, quien reclutó 144 miembros de entre los dignatarios masónicos. Bulwer Lytton fue uno de ellos.) y que eran, además, las que prevalecían entre los sacerdotes del mundo pagano antiguo.

LOS SATÉLITES DE MARTE

Aunque no es un tema propio de un trabajo de matemáticas, he aquí un misterio que atrapa al menos curioso y que es fácilmente verificable en cualquier lugar de la Tierra, además de no requerir conocimientos de erudito para ello.

"Swift, en el Viaje a Laputa, da las distancias y los períodos de rotación de los dos satélites de Marte, desconocidos en su época. Cuando el astrónomo americano Asaph Hall los descubre, en 1877, y advierte que sus mediciones concuerdan con las indicaciones de Swift, presa de una especie de pánico, los denomina Phobos y Deimos: Miedo y Terror."

"Le aterroriza también el hecho de que estos satélites aparezcan bruscamente. Otros telescopios más poderosos que el suyo no los habían revelado en la víspera. Parece, simplemente, que él fue el primero en examinar Marte aquella noche."

"Después del lanzamiento del Sputnik, los astrónomos contemporáneos han empezado a escribir que tal vez se trataba de satélites artificiales lanzados el día de la observación de Hall."

Robert S. Richardson Observatorio de Monte Palomar, U.S.A.

"Mientras que un detalle de la superficie de Marte tendría que ser de 150 kilómetros de ancho para ser visto, un objeto luminoso, si es suficientemente brillante, podrá verse aunque sea de menor tamaño. Sabemos que los satélites de Marte, Fobos y Deimos, tienen unos pocos kilómetros de diámetro por la cantidad de luz que reflejan. Fobos, el menos alejado de Marte, está tan cerca de la superficie del planeta que gira alrededor de él en un período más corto que el de rotación de Marte. Desde el planeta se lo vería levantarse en el Oeste y ponerse en el Este, como a algunos de nuestros satélites artificiales. Seriamente se ha sugerido que Fobos es un satélite artificial de Marte. Una larga serie de observaciones demostró que la velocidad de Fobos, comparada con la que correspondería a la hipótesis de que se mueve bajo la atracción de Marte, está aumentando gradualmente. Los satélites artificiales terrestres se aceleran de la misma manera, debido al efecto de la atmósfera de la Tierra que hace que el satélite caiga en espiral a la misma. Pero si Fobos fuera de material rocoso, como un satélite natural, la densidad de la atmósfera marciana a unos pocos miles de kilómetros de la superficie del planeta tendría que ser mucho mayor que la real. Para que la atmósfera real produjera la aceleración observada, la densidad media de Fobos debería ser tan baja que éste no podría ser sino una esfera hueca, es decir, ¡un satélite muy poco natural! Para resolver esta dificultad, algunos astrónomos han supuesto que la aceleración de Fobos se debe a una acción de mareas producida por Marte, aunque esto solo sería posible si la corteza de Marte fuera de una composición enteramente diferente de la corteza terrestre. Otros han elegido la hipótesis, más sorprendente, de que Fobos es artificial. Solo el tiempo dirá quién está en lo cierto."

Michael W. Ovenden.

(Fue profesor del Departamento de Astronomía de la Universidad de Glasgow. También fue secretario de la Royal Astronomical Society.) Extraído de "Life in the Universe. A Scientific Discussion. Doubleday & Company, Inc., New York, 1962. "La Vida en el Universo. Una Discusión Científica", EUdeBA, Colección Ciencia Joven, Bs. As., 1964.

"...A salir de Júpiter atravesaron un espacio de cerca de cien millones de leguas, y costearon el planeta Marte, el cual, como todos saben es cinco veces más pequeño que nuestro glóbulo, y vieron dos lunas que sirven a este planeta y no han podido descubrir nuestros astrónomos."
Voltaire (1694 - 1778) Micromegas (1752), Capítulo III, "Viaje de los dos habitantes de Sirio y Saturno". Colección Clásicos Inolvidables, Voltaire, El Ateneo, página 622.

Voltaire y Swift escribieron acerca de los satélites de Marte más de cien años antes de su descubrimiento oficial. Si de por sí estos comentarios son desconcertantes, todavía provoca más sorpresa el siguiente de Voltaire: "como saben todos los que razonan por analogía, Marte no podría tener sino dos satélites."

El razonamiento por analogía forma parte del método mágico. Ahora bien, ¿dónde podrían encontrar los magos que Marte es acompañado por dos satélites? En la mitología greco-latina Marte o Ares es el dios de la guerra y sus compañeros son Phobos y Deimos, Miedo y Terror.

¿Es posible que la mitología occidental sea una cosmogonía disfrazada, un inmenso mensaje esteganográfico? ¿Esas extrañas historias de padres que devoran a sus hijos y luego los vomitan se refieren a planetas mayores y a planetas secundarios o a planetoides? ¿Es un relato de lo que sucedió en la formación del Sistema Solar?

A esto puede agregarse la confesión que hizo Giordano Bruno a sus inquisidores. Hoy algunos intentan hacer creer a la gente que Bruno era un científico, pero él murió por haber intentado explicar a sus jueces la verdadera naturaleza de su actividad; él mismo se confesó mago. El hecho de haber sido un hábil calculista no lo convertía en científico; quiero decir: un científico "racional", a la manera moderna.

LA LISTA SUMERIA DE REYES

"La Biblia es por excelencia un libro histórico entre los escritos antiguos. Los demás registros históricos, como los de los antiguos egipcios, asirios, babilonios, medos, persas y otros pueblos son, en su mayor parte, fragmentarios, y sus períodos más primitivos son oscuros o míticos a todas luces. En este sentido, el documento antiguo conocido como "La Lista Sumeria de Reyes" comienza diciendo: "Cuando la gobernación real fue bajada del cielo, la gobernación real fue (primero) en Eridu. (En) Eridu, Alulim (llegó a ser) rey y rigió por 28.800 años. Alalgar rigió por 36.000 años. Dos reyes (así) la rigieron por 64.800 años. [.....] (En) Badtibira, En-men-lu-Anna rigió por 43.200 años; En-men-gal-Anna rigió durante 28.800 años; el dios Dumu-zi, pastor, rigió por 36.000 años. Tres reyes (así) la rigieron por 108.000 años." (Copiado de Ayuda para entender la Biblia, publicado por Watchtower Bible and Tract Society of New York, Inc. - International Bible Students Association- Brooklyn, New York, U.S.A.; Aid to Bible Understanding Spanish (ad-S), 1987, página 371). Las palabras entre paréntesis son agregadas por el intérprete de la tablilla de arcilla, pues corresponden a huecos producidos por roturas.

En cuanto a la historicidad de la Biblia y al carácter mítico del documento citado estoy completamente de acuerdo. Sin embargo, hay algo más debajo de la apariencia. Existen dos grupos de reyes y las duraciones de sus "reinados" abarcan dos períodos "históricos"; a saber:

a) 28.800 + 36.000 = 64.800

b) 43.200 + 28.800 + 36.000 = 108.000

Si cambiamos años por segundos de arco y convertimos éstos a grados sexagesimales, nos queda:

a) 8° + 10° = 18°

b) 12° + 8° + 10° = 30°

Los ángulos de doce, dieciocho y treinta grados se pueden construir con regla no graduada de un solo borde y compás, según el sistema religioso adoptado por los asirios, caldeos y babilonios; no así los de ocho y diez grados, si es válido el teorema de ciclotomía de Gauss de 1801. Es claro que si existiera una sola excepción a la regla establecida por Gauss, todos los ángulos enteros se podrían construir por el método sagrado de los antiguos. He aquí una coincidencia demasiado significativa para ser considerada casual.

Este documento, aparentemente histórico para las mentes ingenuas del vulgo de entonces, puede ser un mensaje esteganográfico. Quizás los significados de los nombres o sus anagramas indiquen una pista para realizar una construcción geométrica de la que se deduzca esa excepción. También es factible que las figuras geométricas asociadas a las letras que componen los nombres conformen un conjunto del que sea posible deducir una expresión irracional cuadrática de gran complejidad que permita "partir" euclidianamente la circunferencia y hallar así los ángulos "imposibles".

Lo expuesto aquí se agrega a las mencionadas razones extramatemáticas que me llevan a sospechar la existencia de un caso especial que permitiría acceder a la trisección de cualquier ángulo entero.

Los ángulos que pueden ser construidos con regla no graduada de un solo borde y compás forman un sub-anillo infinito y denso (Si a y b son dos ángulos, la media aritmética de ambos pertenece al sub-anillo) Como el producto de un ángulo del sub-anillo y otro cualquiera también pertenece al sub-anillo, éste es un ideal sin elemento unidad para el producto. También resulta un k-módulo, considerando un anillo de escalares enteros para la multiplicación de ángulos o arcos por un número entero. En ello reside la recalcitrante dificultad de la construcción de cualquier ángulo de un número entero de grados sexagesimales por el método antiguo. Si utilizamos nada más que ángulos del sub-anillo y las operaciones permitidas, estamos condenados al fracaso; excepto si existe un caso extraordinario que nos lleve a un resultado fuera del anillo. Este caso debería vincular ángulos del sub-anillo con otro fuera de él, mediante una relación que permitiera despejar el valor extraño por una forma cuadrática. La pista para encontrar una construcción semejante está en el carácter místico-religioso de algunos entes aritméticos, algebraicos o geométricos ("Triángulo sagrado egipcio", "divina proporción", "sagrado y divino tetraktys", RERE RER, estrella de David, semi-sección meridiana de la Gran Pirámide, etc.) ¿Por qué los masones dibujan el ojo de Dios sobre el vértice virtual de la Gran Pirámide, que, en realidad, es trunca? El lector interesado puede ver este dibujo en ciertos billetes de un Dólar.

Como es posible vislumbrar en esta pequeña exposición, no solamente se puede arribar a un resultado notable por la sobreabundancia de inteligencia, un coeficiente intelectual elevadísimo o la pertenencia a una súper-elite de mostruos más que humanos. Hay otros caminos. A través de la analogía, por ejemplo; asociando ideas matemáticas con otras que, aparentemente, no lo son, y que parecen haber sido ocultadas por sus descubridores o los sobrevivientes de una catástrofe muy antigua de la que no hay memoria (o, quizás, sí la haya y no queremos aceptarlo), que destruyó una civilización anterior a nuestro registro histórico y cuyos restos hayan desaparecido de la faz de la Tierra. ¿Estarán en el fondo de los océanos? Queridos amigos, el mundo se me antoja mucho más complejo de lo que nos parece. Hay que ver más allá de lo evidente.

La Trigonometría es una ciencia de vieja data que nos fue legada por los griegos casi tal cual como la conocemos hoy, pero que proviene de fuentes anteriores que se pierden en el origen de los tiempos históricos y se relaciona con el estudio del cielo visible a simple vista. Siempre estas cuestiones estuvieron ligadas a la religión y al ocultismo y su práctica y conocimiento profundo estaba vedado al gran público, era una doctrina secreta que se conservaba en poder de los sacerdotes, sus cultos y sus misterios.

Como ya dije, los griegos fueron los primeros laicos que accedieron a tales conocimientos y, ya en ese dominio, se hizo necesario organizar sociedades secretas e iniciáticas para resguardar los secretos del saber acuñado en la Antigüedad más profunda o alejada.

Las funciones trigonométricas son razones entre los lados de triángulos rectángulos. Para un mismo ángulo, no importa qué dimensiones tenga el triángulo, será semejante a uno cuya hipotenusa sea la unidad, todos los cocientes serán constantes, debido a la proporcionalidad. Si situamos a la hipotenusa en el primer cuadrante y uno de sus extremos en el origen, ésta será un número complejo. El cateto adyacente al ángulo en el origen será su parte real y el cateto opuesto su parte imaginaria. Los cocientes que dan los valores de las funciones trigonométricas coseno y seno serán, respectivamente, las componentes real e imaginaria de un complejo con el mismo argumento y con módulo unitario.

Si observamos detenidamente las fórmulas trigonométricas para el coseno o seno de una suma de ángulos o cualesquiera otras, veremos que hay una coincidencia completa con las operaciones definidas en el campo complejo, siempre tomando en cuenta que se calcula un complejo de módulo unitario.

Los complejos pueden tener una representación lineal, binómica o cartesiana, pues todo complejo R = (a, b) depende linealmente de dos complejos fijos llamados U e i, donde U = (1, 0) e i = (0, 1). El complejo genérico R = (a, b) es igual a aU + bi. Si reemplazamos la forma cartesiana por la polar, es fácil demostrar que el producto de dos complejos R = ra y Q = qb, donde r y q representan respectivamente los módulos de esos complejos y a y b sus argumentos (a y b escritos como subíndices), es igual al producto de los módulos y a la suma de los argumentos. De la misma forma el cociente de R por Q es:[r/q]a-b (a-b escrito como subíndice) ; el cociente de sus módulos y la diferencia entre sus argumentos.

La radicación n-sima es igual a la raíz n-sima (real) del módulo y a la n-sima parte del argumento. La potenciación es igual a la potencia n-sima del módulo y a n veces el argumento. (Se considera únicamente una raíz de las n posibles)

¿Qué hay en cuanto a la suma de complejos? Pues bien, el argumento de la suma es igual a la media aritmética de los dos argumentos. (Sería muy instructivo y saludable que el estudiante medite y demuestre todo esto por su cuenta)

Cuando los matemáticos fueron extendiendo el concepto de número para permitir la resolución de problemas imposibles en otros conjuntos hicieron uso de un principio que se llama “de permanencia”. Las operaciones definidas en los nuevos objetos deben conservar los resultados en los subconjuntos que corresponden a los números anteriores, en donde los nuevos números resultan isomorfos con los anteriores. (Por ejemplo, un complejo a U + 0 i es isomorfo al número real a)

Quizás por ese motivo no tomaron en cuenta que en el campo complejo entra en juego un nuevo factor que admite operaciones que no pueden definirse en los conjuntos de números anteriores. Si acabamos de decir que hay una media aritmética ¿por qué no admitir que pueden existir una media geométrica y otra armónica de los argumentos?

¿Qué operación binaria compleja, si existe, tiene por resultado la media armónica entre sus argumentos? La pregunta no es trivial y la respuesta tampoco.

Consideremos que no es de esperar de gente que fue capaz de hacer correcciones ópticas en el Partenón que nosotros recién descubrimos en 1.837 fuera tan ingenua como para mantener un sistema filosófico-religioso que se mostrara impracticable desde un comienzo. Los sumerios y babilonios colocaron un dios en cada grado sexagesimal en que dividieron la circunferencia. ¿Cómo hicieron para evadir el hecho de que no podían construir algunos de esos ángulos según su doctrina?

Los ángulos de 60º y 30º tienen expresión algebraica cuadrática para sus funciones trigonométricas. La media armónica entre ambos ángulos es: 40º . Si existiera una operación binaria compleja que diera por resultado la media armónica de los argumentos y esa operación fuese euclidiana, las funciones trigonométricas de 40º serían cuadráticas. Es probable que esa operación hipotética no tuviera siempre un desarrollo euclidiano, pero sí algebraico, pero bastaría con que existiese una excepción. Esta excepción explicaría –quizás- el por qué de las denominaciones sagradas de muchos conceptos u objetos geométricos o aritméticos. Habría, por lo menos, algún caso en que los tres argumentos puedan ser construidos euclidianamente: la media armónica entre 45º y 15º es 22º 30’, cuyas funciones seno y coseno valen la mitad de la raíz cuadrada de: 2 menos la raíz cuadrada de 2 y la mitad de la raíz cuadrada de: 2 más la raíz cuadrada de 2, respectivamente.

La pregunta fundamental a responder es "POR QUÉ", la razón la dio Dante cuando dijo: "Veo que crees estas cosas porque yo te las digo, pero no sabes el por qué. De modo que no por ser creídas permanecen menos ocultas". Trabajo abnegado y perspicacia...y mi mejor deseo para todos.

RERE RER

Esta expresión encierra uno de los secretos máximos de la alquimia, junto con la materia prima, la graduación de los fuegos y el cierre de Hermes (algunos lo vinculan con el recipiente hermético). Pero no aplica solamente a esta disciplina.

Su descubrimiento parece ser consecuencia del estudio de los astros, de alguna relación matemática entre objetos celestes o sus revoluciones aparentes.

Los números 2 y 1½ son los catetos de un triángulo rectángulo con hipotenusa igual a 2½. Multiplicando la terna por 2 obtenemos el triángulo sagrado egipcio (3, 4, 5), que es el único triángulo rectángulo diofántico primitivo con sus lados en progresión aritmética (1). Para obtener una terna entera basta multiplicar la original por un número par. Pero si ese número par también es divisible por 3, podemos establecer una sucesión de ternas diofánticas que esconden un crecimiento gnomónico:

(3/2 a)² + (2 a)² = (5/2 a)² ; (2 a)² + 8/3 a)² = (10/3 a)² ; (5/2 a)² + (10/3 a)² = (25/6 a)² ; (3 a)² + (4 a)² = (5 a)² ; (7/2 a)² + (14/3 a)² = (35/6 a)² , etc.

Podemos observar que la suma de los dos primeros términos de la sucesión es igual al quinto y, en general, la suma de dos términos sucesivos también es un término de la sucesión. Por las características propias de esta sucesión los números 12, 30, 40, 60, 180, 360, 540, 720, 1260, 1040, 1080, 1440, 1460 y 2520 son catetos de triángulos semejantes y todos estos números intervienen de alguna forma en los cálculos de la astronomía local y en la confección de calendarios. (1460 está vinculado con el Ciclo de Sothis)

La semi-sección meridiana de la Gran Pirámide es un triángulo rectángulo que se obtiene de la siguiente forma: dividido el cuadrado base en cuatro cuadrados iguales, trazando semirectas desde las medianas de los lados opuestos, el triángulo queda conformado por un lado de esos cuadrados menores (la mitad de un lado del cuadrado base), la altura de la pirámide y la hipotenusa que une ambos extremos. En la mencionada pirámide esos lados son proporcionales a los números 1, en la base, la raíz cuadrada del número áureo, para la altura, y el número áureo para la hipotenusa, que corresponde a la apotema de la pirámide. Como se dijo este triángulo es el único que tiene sus lados en progresión geométrica. La segunda pirámide de Gizeh tiene un semi-triángulo meridiano proporcional al triángulo sagrado egipcio (3, 4, 5), el único que tiene a sus lados en progresión aritmética. La pirámide N de Dashouhr, la tercera del grupo, se semi-secciona en el triángulo rectángulo proporcional al triángulo (20, 21, 29).

Los números 40 y 60 están sesqui-relacionados, pues 60 es una vez y media 40. Observemos qué pasa cuando colocamos esos números en los catetos y la hipotenusa de tres triángulos rectángulos:

(24, 32, 40) = 8 (3, 4, 5) [la hipotenusa es el tercer número de la terna]
(9, 40, 41)
(40, 42, 58) = 2 (20, 21, 29)

(36, 48, 60) = 12 (3, 4, 5)
(11, 60, 61)
(60, 63, 87) = 3 (20, 21, 29)

Hemos mencionado la relación entre la música y la magia. Veamos ahora la escala diatónica mayor, debida a Pitágoras: Comienza por la nota DO, que corresponde a la unidad y a la frecuencia de 264 Hz (o ciclos por cada segundo), continúan: RE, 9/8 = 27/24 - 297 Hz; MI, 5/4 = 30/24 - 330 Hz; FA, 4/3 =32/24 - 352 Hz; SOL, 3/2 = 36/24 - 396 Hz; LA, 5/3 = 40/24 - 440 Hz; SI, 15/8 = 45/24 - 495 Hz; DO, 2 = 48/24 - 528 Hz.

La nota FA es la media armónica de la octava y SOL corresponde a sesqui veces el Do inicial (está sesqui-relacionada con el DO). Tanto el SOL como el DO que completa la octava representan a los catetos del triángulo sagrado egipcio (3/2, 2, 5/2), de igual forma en sus proporciones como en sus frecuencias.

La hipotenusa del triángulo está en la octava siguiente y corresponde a la nota MI, 5/2 = 60/24 - 660 Hz (la proporción tomada desde el Do inicial de la anterior escala). Los triángulos (3/2, 2, 5/2), (3, 4, 5) y (396, 528, 660) son semejantes. El tercero es 264 veces el primero y 132 veces el segundo.

Si dibujamos un triángulo sagrado egipcio de catetos 3 y 4 e hipotenusa 5, su recta de Euler parte del vértice con el ángulo recto hasta el medio exacto de la hipotenusa. El vértice del ángulo recto es el ortocentro y en la mitad de la hipotenusa se halla en circuncentro, que permite trazar la circunferencia que circunscribe al triángulo. Esa recta divide al triángulo en dos triángulos isósceles, cuyos ángulos no idénticos son, respectivamente:106º 15' 36,7369499230466626395895745274432..." y 73º 44' 23,2630500769533373604104254725567...". Precisamente la función seno del último ángulo es igual a 24/25, el número por el que hay que multiplicar una nota de la escala diatónica para obtener su bemol.

Como se puede apreciar, hay una cantidad de coincidencias que ya no parecen ser tales, sino una verdadera relación entre la aritmética, la geometría euclidiana, la astronomía y la música, como eran concebidas por los antiguos. Formaban un sistema cuádruple, en donde sonido, número y forma tenían vinculación con la alta magia pagana.

La geometría antigua permitía duplicaciones y mediaciones. La bisectriz de un ángulo resulta ser una vez y media su trisección.

También hay una coincidencia con la Estrella de David; esta estrella está formada por dos triángulos equiláteros entrelazados inscribibles en un hexágono regular. Simboliza la semejanza entre el macrocosmos y el microcosmos; como consta en el libro alquímico "Tabla de Esmeralda", atribuido a Hermes Trimegisto, que dice: "lo que está arriba es como lo que está abajo para realizar los milagros de una misma cosa".

La superficie de la unión de los dos triágulos es igual al doble de la superficie del hexágono inscripto en la estrella y la superficie de uno solo de ellos es una vez y media la del mismo hexágono interior (el que se forma por el cruce de las diagonales).

Puede establecerse otra conexión con la tercera ley de Kepler (2), ya que los exponentes están en relación 1 : 1,5.

"...a partir de la regla de Kepler de los tiempos periódicos de los planetas que se hallan en una proporción sesquivariable de su distancia a los centros de sus órbitas deduje que las fuerzas que mantenían a los planetas en sus órbitas debían ser inversamente proporcional a los cuadrados de sus distancias a los centros en torno de los que giran y, ..." (Isaac Newton) (3)

Para aquellos matemáticos que tengan elevados conocimientos de música, dejo la tarea de averiguar si hay relación entre el concepto de "sesqui" y las formas musicales "dosillo" y "tresillo". (Ver glosario).

NOTAS ACLARATORIAS

(1) Demostrado por W. A. Price, en The Fiel, Londres. El triángulo sagrado egipcio tiene otras propiedades notables. Plutarco señala que su área es 6 (el primer número perfecto) y que el cubo de su área es igual a la suma de los cubos de sus lados. Platón se basa en esta igualdad para calcular un número que llama "nupcial" (La República, libro VIII). Este triángulo es la semi-sección meridiana de la segunda pirámide de Gizeth y, junto con el ángulo central que abarca el lado de un octógono, la mitad de uno de sus ángulos agudos forma el ángulo del vértice superior de la cara de la gran pirámide (ese ángulo agudo más el ángulo de la inclinación del telescopio meridiano natural que apunta a la estrella polar, también da el mismo resultado)

(2)Los cuadrados de los períodos de revolución de los distintos planetas guardan la misma relación que los cubos de sus distancias medias al Sol.

(3)Es poco conocido que Newton practicó la alquimia. Como en su época ésta comenzaba a caer en descrédito, él ocultó sus escritos al respecto.

La Catedral de Chartres

Los templos católicos de la antigüedad estaban orientados en la dirección que sigue el Sol. El altar hacia el Este, porque los fieles marchan hacia la luz. Sin embargo, Chartres está orientada hacia el Noroeste, con un ángulo de cuarenta y ocho grados sexagesimales. Este santuario está ubicado en el paralelo cuarenta y ocho grados cuarenta y cinco minutos. La longitud de un arco que abarque un grado sexagesimal en el citado paralelo es de 73.800 metros. Ahora bien, todas las líneas directrices de la catedral son múltiplos de 0,738 metros (1:100.000).

La distancia recorrida por un punto en una hora durante la rotación de la Tierra en la longitud de Chartres es 1.107 km y el largo de la nave central, desde la fachada hasta el fondo del ábside, es de 110,7 metros (1:10.000).

El ángulo de inclinación está a 48º del Norte y el edificio sobre el paralelo 48º 45'. La diferencia entre los dos ángulos es de 45'. Este ángulo de 45' es construíble con regla no graduada de un solo borde y compás. Cabe 64 veces en el ángulo de desviación hacia el Noroeste (48º Norte) y 184 veces en el ángulo de desviación desde la dirección correcta (Orientación 138º Este).

Sobre este enigmático monumento, como así también de algunos aspectos de lo expuesto anteriormente, podrán encontrar excelentes trabajos en las siguientes referencias: "El número y lo sagrado en el arte" (PDF/HTML) http://www.palermo.edu.ar/ingenieria/downloads/Investigacion/ElNumeroyloSagrado1P.pdf [Si no le es posible entrar por este enlace a la página es porque no cabe en una línea y el pase a la línea siguiente incluye un símbolo que cambia la dirección. Por favor, copie el enlace en su navegador y no tendrá problemas]

"Las proporciones musicales en la catedral de Chartres" http://www.filomusica.com/filo65/chartres.html

Ambos trabajos realizados por la Licenciada en Física (Universidad de La Plata, Argentina) María Cecilia Tomasini, que también es Licenciada en Arte (Universidad de Palermo, Buenos Aires, Argentina).

Existe un tercer trabajo: "El simbolismo geométrico de la planta de Chartres", que editó la Universidad de Palermo, probablemente en septiembre de 2005, en la VI Jornada SAEMED, y del que no he podido encontrar referencias en Internet. Yo tengo una copia impresa que amablemente me otorgó María Cecilia Tomasini.

También pueden ver el libro "El Enigma de la Catedral de Chartres, de Louise Charpentier, Editorial Roca, I.S.B.N. 8427028571, 208 páginas. Información en: http://www.comentariosdelibros.com/come2003-2/book0114-2003.htm

SERIA ADVERTENCIA.

Anteriormente hice mención a la prohibición bíblica de practicar las artes mágicas. Dios no es caprichoso y lo que aconseja u ordena es siempre para bien de sus criaturas. En este mundo complejo en el que vivimos, en donde conviven la bondad y la maldad y muchas cosas parecen no tener explicación coherente, algunos llegan a creer que Dios no existe o que no está interesado en nosotros. Recuerdo una conversación que tuve hace mucho tiempo con un español en Buenos Aires. Él decía no creer en Dios por todo lo que había visto en la guerra civil, cuando niño: "Mi madre se exprimía una teta para vender la leche de mi hermanito y darnos de comer a nosotros, ¿dónde estaba tu Dios cuando eso pasaba?" Una pregunta muy comprensible, que cuando no rebibe la respuesta correcta (y la hay) lleva al descreimiento. Para los que no creen, dudan o no tienen a la Biblia como su texto sagrado, agrego algunos comentarios seglares como para reforzar lo dicho. Por ningún motivo debe el lector involucrarse en estas prácticas y menos si es inexperto y no sabe con quién se enfrenta. Dudo que haya un peligro mayor en este mundo.

Cuando tratas con lo desconocido, es siempre lo desconocido quien está a cargo.

Louis Pawells y Jacques Bergier

Todo hombre lleva su Patmos dentro de sí. Es libre de subir o no subir a este terrible promontorio del pensamiento, desde el cual se perciben las tinieblas. Si no va a él, permanece en la vida ordinaria, en la conciencia ordinaria, en la virtud ordinaria, y así está bien. Para el descanso interior es sin duda lo mejor. Si sube a la cima, queda preso en ella. Se le aparecen las profundas olas del prodigio. Y nadie puede ver impunemente aquel océano...Se obstina en el abismo absorbente, en el sondeo de lo inexplorado, en el esfuerzo por palpar lo impalpable, por mirar lo invisible; y vuelve allí, y vuelve de nuevo, y se acoda, y se abalanza, y da un paso, después dos, y así es como uno penetra en lo impenetrable, y así es como uno avanza en el ensanchamiento sin límites de la condición infinita.

Víctor Hugo

Los grandes designios son siempre cruzados por diversos encuentros y dificultades. La carne y la sangre nos dirán que hay que abandonar la misión; guardémonos de escucharlas. Dios jamás cambia las cosas que ha resuelto, aunque se produzcan cosas que nos parezcan contrarias.

Vicente de Paul.

Hay que guiarse en estas cosas por la prudencia, pues es fácil al hombre equivocarse, y nos hallamos en presencia de dos errores: unos niegan todo lo que es extraordinario, y otros, yendo más allá de la razón, caen en la magia. Hay que guardarse, pues, de los numerosos libros que contienen versos, caracteres, oraciones, conjuros y sacrificios, ya que son libros de pura magia, y de otros en número infinito que no tienen ni la fuerza del arte ni de la Naturaleza, sino que son embustes de hechicero. De otra parte, hay que considerar que, entre los libros que son tenidos por mágicos, los hay que no lo son en absoluto y que contienen el secreto de los sabios...Si alguien encuentra en estas obras alguna operación de la Naturaleza o del arte, que la guarde..."

Roger Bacon, Carta sobre los prodigios.

(Existe una duda acerca de si este texto corresponde a Roger Bacon o a Francis Bacon. Si algún lector conoce con certeza esto, le ruego lo comunique)

Ningún énfasis parece suficiente, ninguna insistencia es mucha, para advertir al lector de los peligros del ocultismo. Practicar estas cosas solo puede traer degradación y muerte.
Cuando en este trabajo se mencionan creencias antiguas, conceptos de magia o cábala o cualquier otra de esas cosas, no se hizo con el propósito de alentar al lector a que se involucre en esas prácticas. Ninguna de ellas tiene valor alguno como filosofía de vida, como guía moral, para el buen desarrollo de la personalidad ni para la salud física; mucho menos la espiritual.
Es muy distinto adquirir información acerca de ciertos aspectos de estas materias que concuerdan con verdades o leyes naturales o ideales, para luego trabajar en el campo de la razón, sabiendo que - como todo - esas prácticas ocultistas son falsas o perjudiciales. Para que una mentira sea creíble debe asentarse en algunas verdades. Se trata pues, de ser prudentes y selectivos para tomar esas verdades sin ensuciarse con el resto. Siempre es peligroso trabajar con basura; es preferible la abstención frente a una duda. La práctica de estas artes es enemistad con Dios. (Deuteronomio 18:10-12 - Hechos 16:16-19 - Hechos 19:19-2)

UN SEGUNDO PELIGRO

En el ocultismo no está permitido trabajar con independencia. Todos los grupos de investigación o sociedades que se dedican a estas actividades han sido autorizadas a trabajar en determinados temas y no otros. Dentro de las sociedades secretas, los adeptos están contenidos y sus conocimientos resguardados por un juramento de silencio. Las pocas personas que se han atrevido a publicar algo independientemente de estas sociedades (generalmente místicos o seres con dotes paranormales) han sido destruidos; muchas veces en su fama y credibilidad y, otras pocas, físicamente. Esto, es claro, cuando lo que se dice tiene algo de peligroso para los intereses involucrados; cuando alguien se aproxima amenazantemente a la verdad oculta. Los traidores son castigados con la máxima severidad. La impunidad está asegurada por la pertenencia de jueces y jefes de policía a estas sociedades en no pocos países.

Sin embargo, Paracelso escribió algo muy interesante: "Dios permirá que se haga un descubrimiento de mayor importancia que debe quedar oculto hasta el advenimiento de Elías artista...Y es la verdad, no hay nada oculto que no deba ser descubierto; por eso tras de mí vendrá un ser maravilloso, que no vive aún, y que revelará muchas cosas."

De ninguna manera creo ser ese ser maravilloso. Tampoco estoy seguro de haberme aproximado peligrosamente a la Verdad, de manera independiente. Tengo más preguntas que respuestas. Lo cierto es que no traicioné ningún juramento, porque no juré nada; tampoco lo que escribo me fue revelado por un ser humano perjuro o infidente. No soy culpable ante nadie. Si lo escrito molesta a alguna autoridad oculta, si "los Superiores Desconocidos" existen y se disgustan por lo que me atreví a decir, apelo a su condición de caballeros que portan espada y tienen un código de honor que rige sus vidas. Si un tonto descubrió algo por sí mismo, quizás esté cercana la hora de la venida de Elías artista, quizás esté madura la cosecha. Dejen entrar a la digna Verdad, si es el tiempo; no sea que se encuentren luchando contra el Altísimo. Su situación se me antoja análoga a la de los Fariseos y sacerdotes ante Jesús y sus discípulos; recuerden a Gamaliel (Hebreos 5: 35-39). Depongan el orgullo y el egoísmo; privilegien la verdad. Compórtense como los caballeros que son y acepten la Autoridad que está por sobre ustedes. Si Dios quiere que una verdad se diga y no hay hombre que pueda decirla, ¡hasta las piedras podrían proclamarla!

GLOSARIO

Diofántico o diofantino: Término adoptado en honor de Diofanto de Alejandría (325 - 409) y que denomina a los problemas en los que interesa obtener sólo soluciones en números enteros.

Dosillo: Grupo anormal de dos notas en un ritmo ternario (como seis por ocho), cuyo valor es igual al de tres de su figura.

Gnomon: Figura que es necesario agregar a otra para obtener una semejante a la anterior. Este concepto se debe a Aristóteles.

Número perfecto: Es aquel entero positivo que es igual a la suma de sus divisores positivos excepto él mismo. En notación moderna, se dice que un entero positivo es número perfecto si, y sólo si, la suma de sus divisores positivos es igual a su duplo. Sólo se conocen números perfectos pares, aunque no se demostró la imposibilidad de un número perfecto impar. Tampoco se sabe si hay una infinidad de ellos.

Sinódico: Conjunción de dos planetas en el mismo grado de la eclíptica o en el mismo círculo de posición.

Revolución sinódica: Período que media entre una posición de un planeta en la eclíptica o en un círculo de posición y su repetición.

Tresillo: Conjunto de tres notas de la misma duración que se interpretan en el tiempo correspondiente a dos de ellas.

La Raíz Cuadrada en la Antigüedad

2007-08-13T00:00:00.000-03:00

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La Manera Egipcia de Escribir Fracciones.

2007-08-12T22:44:00.000-03:00

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Números Primos

2007-08-09T20:19:00.000-03:00

Sea Z el conjunto de los números enteros.

donde denota el producto ordinario en Z.

I(f) (la imagen de f, por abuso de notación) es el conjunto de todos los números enteros no primos de valor absoluto distinto de uno.

El subconjunto I(f) {1,-1} que, de ahora en adelante llamaremos Z’, goza de las siguientes propiedades:

i) Es cerrado respecto al producto ordinario de los números enteros.
ii) No es cerrado respecto de la suma ordinaria de los números enteros (al respecto, las indeterminaciones son los casos que dan resultados primos).

En este aspecto la estructura es análoga a la del conjunto de los irracionales elementales; este conjunto resulta cerrado respecto del producto y ampliamente abierto con respecto a la suma.

La siguiente tabla muestra una partición del conjunto de los enteros positivos mayores que la unidad. Asociada a esa partición, hay una relación de equivalencia que divide al conjunto en clases. Los representantes mínimos de esas clases son números primos.

Con respecto a este asunto, cito un párrafo de la obra "Análisis Matemático 1", de J. Rey Pastor, P. Pi Calleja y C. A. Trejo, Editorial Kapelusz S. A., Nota 1 al Capítulo 1, parágrafo 1 -6, página 9, decimotercera tirada de la octava edición, febrero de 1.985, Bs.As.

"Es importante observar que la relación de equivalencia no nace de la comunidad del carácter abstracto, sino que lo engendra. Por ejemplo. No podemos definir la semejanza como igualdad de forma, pues es justamente la relación de «semejanza» la que permite introducir la noción de «forma». Cada relación de equivalencia permite definir por abstracción un nuevo concepto."

Cuando leí este párrafo, me pregunté ¿cuál es el nuevo concepto que define la relación de equivalencia manifiesta en la tabla? Y si la relación engendra el concepto de número primo, ¿cuál es la relación?

No conozco ninguna técnica para obtener la relación de equivalencia a partir de la partición. Tampoco dieron resultado las consultas que realicé con personas más capacitadas; alguna de ellas manifestó dudas de que ello pudiera servir para algo. Con todo, sigo pensando que quizás esto sea lo que necesitamos para resolver ciertos problemas como el de la distribución de los números primos.

La idea no es nueva. He visto una tabla de divisores mínimos para cierto conjunto de números enteros en la famosa colección de tablas de Hoüel (logaritmos decimales, valores naturales de las funciones seno, coseno y tangente, etc.). Lo que hice es agrupar todos los números con un mismo mínimo divisor y formar una estructura de "cociente de un conjunto por una relación de equivalencia"; tan solo que no puedo determinar la relación a partir de los conjuntos.
Como se verá más adelante, elegí un camino inverso al que han seguido la mayoría de los matemáticos profesionales. Todos ellos han buscado un criterio para saber si un número es primo, lo mismo que una función que diera la distribución de todos los primos o, al menos, alguna expresión de grado mayor a la unidad que tuviera una infinidad de números primos, aunque contuviera valores compuestos. En las últimas dos no han tenido ningún éxito, pues no se conoce ninguna fórmula que dé solamente números primos ni tampoco alguna expresión algebraica de la que se esté seguro de que da infinitos valores primos, aunque sea mezclado con algún número de enteros compuestos.

Con respecto a criterios de reconocimiento más rápidos y efectivos que el método de la fuerza bruta (dividir un entero por todos los números primos menores a su raíz cuadrada), miles de matemáticos profesionales se han dedicado a buscar y lo que se ha encontrado hasta ahora ayuda un poco pero está lejos de dar una solución práctica al problema.

Por ello se espera que un aficionado no tenga éxito donde los que saben más fracasaron. Pero los aficionados tienen una ventaja sobre los más sabios, que es la falta de prejuicios y de tradiciones. Los profesionales se empeñan en escalar una montaña siempre por la misma ruta, aún sabiendo que todos cayeron en grietas y diferentes trampas. El aficionado no sabe tanto y, por eso mismo, intenta llegar a la cima por cualquier lado, muchas veces ignora por dónde intentaron subir otros. Si lo logra –y no es fácil ni común que lo haga- una vez en ella es muy sencillo determinar qué caminos son imposibles, cuáles los más fáciles y cuáles los difíciles e interesantes como desafío a la virtud del escalador.

Entonces ¿por qué no encontrar una fórmula que dé únicamente todos los números compuestos impares? Como en la criba de Eratóstenes, los primos saldrán por descarte. Para que un número sea compuesto basta, simplemente, con que sea producto de dos factores cualesquiera, cada uno de ellos distinto de la unidad. Esto conduce forzosamente a una ecuación cuadrática en una incógnita o a una forma cuadrática, si el análisis se vuelve de tipo indeterminado.

(Para ver esta tabla más grande y cualquier otra imagen que le resulte pequeña, haga "click" sobre la imagen. Luego vuelva al texto con la flecha izquierda)

BÚSQUEDA DE UN CRITERIO PRÁCTICO PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO O COMPUESTO

Para j perteneciente a Z y k perteneciente a Z, j > 0 y k ≥0,

TEOREMA

Para z número entero positivo, z : primo, z2 no tiene solución en números enteros positivos j > 0 y k ≥ 0.

Supongamos que z no es un número primo. Luego existen dos factores ambos mayores que la unidad. Si escribimos z como en el enunciado, . Ahora bien, 2j + 1 > 1 => j > 0 y 2k + 2j + 1 > 1 => 2k > -2j => k > -j pero, como j debe ser mayor que cero, también k debe ser 0 ó un número mayor. Hemos demostrado no p implica no q, que es lo mismo que demostrar q implica p.

Si z es primo, luego sus divisores son 1, -1, z y –z. Dado que exigimos para j y k, si existen, que sean positivos, sólo interesan 1 y z.

La factorización de (k+2j+1)² – k² nos conduce forzosamente a una de estas dos igualdades:
2k + 2j + 1 = 1 ó 2j + 1 = 1

La primera es imposible, porque tendríamos k + j = 0 y sabemos que la hipótesis obliga a que ambos sean positivos. La segunda también es imposible porque 2j = 0 j = 0 y j > 0 por hipótesis. Luego, no existen j y k solucionesde [1], en las condiciones de la hipótesis.

Este teorema garantiza que cualquier número positivo impar que pueda escribirse de esta forma es compuesto. También resultan de ella todos los números compuestos impares positivos, como demostraré a continuación.

Supongamos que existe un número w, entero positivo, impar y compuesto, que no cumple la igualdad w = (2k+2j+1) (2j+1) [*], en las condiciones de la hipótesis. Por ser compuesto, será divisible por un número primo impar p = 2v + 1. Como w es impar, el cociente de w por p también lo será; o sea: w = (2v+1) (2m+1). Ahora bien, hay tres posibilidades: m = v, m > v ó v > m.

Si m = v, w = (2v+1)² , que corresponde al caso k = 0 del teorema demostrado; o sea, que w cumple con [*]; lo que contradice el supuesto.

Si m > v, entonces m = v + h; luego: w = (2v+1) (2(v+h)+1) = (2v+1) (2v+2h+1), que también tiene la misma forma del teorema, contradiciendo el supuesto.

Para v > m, tenemos v = m + b; que nos lleva a un resultado análogo. Luego, no existe ningún w entero positivo, impar y compuesto, que no cumpla con el teorema.

La ecuación (2k+2j+1) (2j+1) – p = 0 tiene solución única (en enteros positivos) para p primo, con j = 0. Para p compuesto hay una solución con j = 0 y por lo menos otra con j > 0. Encontrando un algoritmo de cálculo para las soluciones enteras de la ecuación [1], con p entero positivo impar dado, tendríamos un criterio práctico para determinar si un número es primo o no.

Si consideramos la ecuación general de segundo grado con dos incógnitas, la "curva" que describen sus soluciones depende del valor que toma el discriminante . Para el caso que nos ocupa, 4kj + 4j2 + 4j + 2k + 1 – z = 0, el discriminante mayor que cero indica una curva "hiperbólica". En Internet hay una página muy buena del profesor Darío Alejandro Alpern (UTN), en la que se puede utilizar un programa en JAVA para calcular las soluciones enteras. Para los que se interesan más en las fórmulas "elegantes" de los matemáticos teóricos, cualquier ecuación cuadrática en dos incógnitas puede ser llevada, por sustitución de las variables, a la forma (con irracional), que se conoce como ecuación de Pell generalizada. Las soluciones de este tipo de ecuación dependen del desarrollo en fracción continua de la raíz cuadrada de A, pero la bibliografía consultada por mí hasta ahora no trata más que casos particulares. (Ver nota al final)

Al parecer, una solución para el caso general es complicada, o no hay interés en divulgarla. Yo confieso ser incapaz de dar un método algebraico general de búsqueda de raíces que no sea el de "ensayo y error", pero los profesionales conocen un método universal, por lo que el criterio de determinación planteado más arriba tiene solución práctica y no necesita recurrir a números "astronómicos" como los que suelen aparecer con el teorema de Wilson.

Este tema puede cobrar importancia a partir del revuelo causado por el gran matemático indio Agrawal, cuando publicó un algoritmo que está siendo perfeccionado por los más importantes matemáticos de las universidades de renombre.

Este algoritmo parece ser más complicado que la obtención de una fracción continua, pero el desarrollo del método que propongo podría destruir la seguridad informática como se practica actualmente, porque habría una manera relativamente rápida de determinar el carácter primo de un número entero muy grande. De todas formas, hay muchas formas de cifrado, como la esteganografía del abate Juan Tritemo y otras que no dependieran de un primo enorme.

Un matemático profesional, que se hace conocer por el pseudónimo Xhantt, me comunicó que, para este tipo de ecuación o forma cuadrática, las soluciones no están todavía acotadas, por lo que por un tiempo largo no podrá usarse ésta como criterio práctico. No puedo discutir con él acerca del tema, porque no estoy capacitado. De todas formas, creo recordar que no solamente se puede recurrir a una ecuación de Pell, sino que esta misma, sin "retocar", tendría un método de resolución debido a Gauss y que desarrolla el número primo o compuesto como fracción continua. El caso general para desarrollar cualquier número como fracción continua, que necesitaría de métodos más refinados, parece que está en un libro del afamado y muy notable matemático soviético Gelfond.

Con todo, lo expuesto aquí basta para mostrar que el problema básico de la divisibilidad o del carácter de primo o compuesto de un número, es, en principio, un problema cuadrático; pues basta con encontrar un par de factores, no importa en cuántos factores primos se divida un número.

Ya que estamos bailando, sigamos haciéndolo mientras tengamos fuerzas y ganas.

SEGUNDA PARTE
LA DIFERENCIA DE CUADRADOS TIENE MAS DE UNA DESCOMPOSICIÓN

La diferencia de cuadrados se divide en dos factores que algunos denominan "quinto caso de factoreo". Se la enseña desde la escuela media y forma parte de un sin fin de demostraciones en teoría de ecuaciones, problemas geométricos y de teoría de números. Es una forma común y cómoda de análisis por la misma sencillez de la descomposición.

Analizando la ecuación cúbica reducida x³ – x – m = 0, se me ocurrió considerar la igualdad x³ – x = m; con lo que, si a es una raíz de la ecuación, a³ – a = m = a (a² – 1).

Según la conocidísima descomposición de una diferencia de cuadrados, a² – 1 = (a + 1) (a – 1). El término independiente se reduce, entonces, al producto de tres factores: a, a + 1 y a – 1. Como el producto de las soluciones resulta ser igual a (-1)^n y las raíces son tres, procedí a verificar si los términos a + 1 y a – 1 eran raíces, con resultado negativo. Luego dividí la ecuación por x – a, obteniendo una ecuación cuadrática y dos raíces iguales a y . Nuevamente, el producto de estas dos expresiones es igual a , el cociente entre el término independiente y el coeficiente del término cuadrático de la ecuación cuadrática obtenida al dividir por x – a y estas tres sí son las raíces de la ecuación cúbica. Cuando a³ – a es un número entero, es también un número congruente de Fibonacci , para b = 1.
Desde este punto es sencillo obtener la identidad[*], fácilmente verificable "haciendo las cuentas".

Esta identidad nos introduce en los racionales de denominador 2, en irracionales cuadráticos de denominadores iguales a potencias de dos y hasta en números complejos con coeficientes irracionales cuadráticos. Sin embargo, también los dos términos de la derecha toman valores enteros cuando dentro de la raíz hay un cuadrado perfecto y la suma del numerador es par. Por lo que esta identidad debería ser tomada en cuenta aún en problemas dentro de Z, que es un dominio de factorización única.

La siguiente y tercera descomposición se obtiene por un camino diferente. Consideremos el triángulo aritmético de Fibonacci:

Si f designa el número de fila del triángulo, f ³ es el valor de la suma de los elementos de la fila, f² – (f – 1) es el primer elemento de la fila y f ²+ (f – 1) el último. El número de sumandos es f.
Conocemos la igualdad 1+2+3+4+5+....+n = que se demuestra por inducción matemática en los cursos elementales de álgebra; también sabemos que 1³ + 2³ + 3³ + ...+ n³ = . Si escribimos la suma anterior hasta el penúltimo sumando, tenemos que: ; evidentemente:

Esta identidad, trivial, podría jugar un papel importante en algunos temas de la Teoría de Números. Es más, cualquier potencia impar cumple la identidad
; como es fácil verificar.

Como cualquier potencia impar puede ser escrita como una diferencia de cuadrados, es posible aplicar la segunda identidad encontrada a esta fórmula.

Sea ; para y , vale:
; esto nos lleva a la identidad, que vale para todo número real x. Podemos reemplazar la letra x por la expresión "a² – b²" sin inconvenientes. Aquí tenemos una fórmula que permite escribir cualquier número o expresión algebraica como una diferencia de cuadrados.

Estas dos nuevas expresiones del quinto caso de factoreo son muy elementales y fáciles de comprender. Podrían ser enseñadas sin ninguna dificultad en las escuelas de enseñanza media. Sin embargo, nunca vi una consideración semejante en ninguna parte; lo que me lleva a suponer que estas fórmulas son inéditas. Pregunté a personas con formación matemática terciaria muy superior a la mía si conocían alguna otra descomposición diferente a (a + b) (a – b) para una diferencia de cuadrados y ninguna contestó por la afirmativa; aún aquellas que habían estudiado las extensiones de Kummer.

Ahora veamos cómo obtenemos distintas descomposiciones en diferencias de cuadrados para un mismo número dado que, por simplicidad, tomaremos igual a cuarenta. Esto para no caer en consideraciones teóricas más engorrosas; pero el procedimiento es válido para la generalidad de los números enteros positivos.

40 = 7² – 3²

40 = 11² - 9²

, y así sucesivamente, hasta el infinito.

Los valores enteros o racionales de denominador 2 se obtienen de los divisores positivos del número considerado, tomando los pares cuyo producto es igual al número dado y calculando su media aritmética. Al cuadrado de esa media aritmética se le resta el número dado para obtener el segundo cuadrado. Los demás valores surgen al aplicar a cada uno de ellos la segunda fórmula encontrada. El proceso no tiene fin; hay una infinidad de diferencias de cuadrados para un mismo número; ya que la 2ª fórmula encontrada puede ser aplicada recurrentemente. En algunos casos, esta descomposición irracional cuadrática produce valores enteros, además de los irracionales cuadráticos reales o complejos que surgen naturalmente de la fórmula utilizada.

Las expresiones complejas encontradas en la generalidad de los casos podrían resultar factores primos en ciertos anillos de números complejos. Esto pondría a la diferencia de cuadrados dentro de las consideraciones de la teoría algebraica de números y, en especial, de las extensiones de Kummer. Resulta que la fórmula conocida para la descomposición en factores de una diferencia de cuadrados es utilizada en un sinnúmero de demostraciones de teoremas, cálculo de soluciones de ecuaciones diofánticas (como la que surge del Teorema de Pitágoras) y otras consideraciones. Sugiero que esos análisis y demostraciones son incompletos y sus resultados parciales. Una diferencia de cuadrados a² – b² no debe ser considerada a partir de sus componentes a y b, sino desde lo que la diferencia de cuadrados representa como un todo (un número real o complejo).

Pienso que todas las demostraciones en las que aparecen diferencias de cuadrados deben ser profundamente revisadas.

Ahora veamos algo acerca de la ecuación de Pell que, en realidad, fue estudiada por Brouncker y atribuida a Pell por un error de Euler.

La ecuación irracional, es la ecuación conocida con el nombre de Pell. Se la divide en factores según la fórmula clásica de tal forma que queda:. El caso es más general y difícil.

Se buscan las soluciones estudiando las unidades en un anillo porque se descompone la ecuación utilizando el elemental y conocido quinto caso de factoreo; para el cual en este trabajo encontré otra descomposición: la fórmula [*]. ¿Agrega esta nueva forma de re-escritura otro conjunto de soluciones? ¿Son equivalentes estas soluciones? ¿Es por esa razón que todavía no se han acotado debidamente las soluciones?No hay que olvidar que la fórmula [*] conduce también a resultados enteros. O sea, debe tomarse en cuenta para los problemas diofantinos. Para responder a ello, hay que atreverse a desafiar el paradigma dominante y revisar todas las demostraciones considerando estas nuevas identidades y los efectos que provocan. Esto es lo que cabría esperar de alguien que se llame científico; no hay que aceptar las cosas "porque están demostradas", por el temor reverencial hacia personas más inteligentes que la mayoría de nosotros o el peso de la autoridad. Hacer esto significa ser crédulo, no científico. Hacer esto - dirán algunos - es recomenzar continuamente. Sí, pero, ¿no es esto lo que llevó a la Relatividad Restringida? ¿No fue la revisión de la calidad lógica de lo que se conocía desde el Renacimiento lo que pulió la matemática actual y condujo a otras geometrías desconocidas hasta entonces?

Ciertos autores, como A. O Guelfond, en su libro "Resolución de Ecuaciones en Números Enteros", Editorial Mir, Moscú, 1979, dan métodos para desarrollar algunos tipos de enteros como fracciones continuas. En el caso citado los del tipo A = m² + 1. El mismo autor menciona dos libros en los que hay métodos generales: "Teoría de Números, I. V. Arnold, capítulo VI, Uchpedguiz, 1939 y "Fracciones Continuas", A. Ya. Jinchin, Gostejizdat, M. 1949.

Pitágoras y las Ecuaciones Algebraicas

2007-08-05T20:29:00.000-03:00

UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO PARA CADA PARÁBOLA

La ecuación completa de segundo grado ax² + bx + c = 0 describe a parábolas que tienen su eje de simetría paralelo al eje de ordenadas.

Las raíces o soluciones de esta ecuación se calculan mediante una muy conocida fórmula: . Ahora, llamemos por comodidad "u" a una de las raíces y "v" a la otra. Estas raíces cumplen algunas propiedades muy conocidas con respecto a los coeficientes de la ecuación:
Elevemos la primera expresión al cuadrado:
Reemplazando y haciendo el correspondiente pasaje de términos, nos queda: . Ahora bien, las soluciones (x, y, z), a la ecuación x² + y² = z² tienen las formas x = 2uv, y = u² - v², z = u² + v², para u y v enteros positivos, u > v, de distinta paridad y primos entre sí; esto garantiza que la terna tiene elementos primos entre sí, caso que se denomina terna pitagórica primitiva.

Este caso para obtener triángulos rectángulos diofantinos primitivos; o sea, con sus lados enteros y primos entre sí, pero también será terna pitagórica cualquier terna primitiva multiplicada por un escalar entero positivo, lo que da las ternas con divisores comunes. Asimismo, la fórmula es aplicable a cualesquiera números reales u y v, u > v. De resultas de esto pueden aparecer ternas con divisores comunes, en cualquier anillo.

Observemos que la fórmula corresponde a la hipotenusa y a uno de los catetos. Para obtener el restante, volvemos a la fórmula para calcular las raíces:
. Elevando ambos al cuadrado y restándolos, obtenemos el otro cateto como función de los coeficientes: . Si los coeficientes de la ecuación completa no tienen divisores comunes, cada ecuación cuadrática completa tendrá un triángulo rectángulo propio que puede ser compartido con otras bajo ciertas condiciones, no muy claras todavía para mí. La misma ecuación multiplicada por un factor cualquiera dará un triángulo rectángulo semejante, de la misma forma que una ecuación no cambia sus soluciones si se la multiplica por un factor entero.
Observemos que el producto vuelve a dar otro cateto, de un triángulo que tenga por hipotenusa a y a 2u²v² por el otro cateto.

UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO CON LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CÚBICA GENERAL

Dada una ecuación cúbica general en una incógnita Ax³ + Bx² + Cx + D = 0, sabemos que es igual a A (x – u) (x – v) (x – w), donde u, v y w son sus raíces o soluciones.

Los coeficientes se relacionan con las raíces como sigue:

Si elevamos la primera igualdad al cuadrado y le restamos el doble de la segunda, obtenemos una suma de tres cuadrados como función de los coeficientes de la ecuación. Esta suma puede interpretarse como la diagonal de un paralelepípedo recto rectángulo y esta diagonal como la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tenga por catetos un lado del paralelepípedo y la diagonal de una cara.

LAS RAÍCES DE CUALQUIER ECUACIÓN ALGEBRAICA EN UNA INCÓGNITA FORMAN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Si consideramos la ecuación general en una incógnita y llamamos a sus raíces, se cumple siempre que: ; siendo la suma de cuadrados la diagonal de un politopo ortoédrico, que es caso análogo de un parelelepípedo recto rectángulo en espacios de más dimensiones. Todas las soluciones conforman un triángulo rectángulo, según la siguiente terna: . Según el grado de la ecuación y de los grados de multiplicidad de sus raíces, puede existir más de un tríangulo rectángulo constructible con sus raíces. Es que podemos elegir qué raíz lleva el signo negativo, siempre que el resultado de la suma sea positivo. Así, por ejemplo, el triángulo sagrado egipcio (3, 4, 5) tiene sus lados como soluciones de la ecuación cúbica x³ -12x² + 47x - 60 = 0. En este caso hay dos triángulos con sus raíces: (6 raíz cuadrada de 41, 32, 50) y (8 raíz cuadrada de 34, 18, 50).

También es interesante el hecho de que cualquier curva algebraica sea descomponible en el producto de a lo sumo n rectas distintas; las que forman los factores (x - ), con pendiente igual a 1, o sea, rectas que son todas paralelas y a 45º de inclinación con respecto a un par de ejes coordenados y ortogonales. A esto se agrega que el cociente desarrolla la fracción de los coeficientes como suma de fracciones de denominador unitario de las raíces, a la manera egipcia de escribir fracciones.

Volvamos ahora a la hipotenusa .

La ecuación indeterminada para un triángulo rectángulo es: x² + y² = z², el clásico teorema de Pitágoras. En cursos iniciales de álgebra se demuestra que todas las soluciones enteras de esa ecuación son: z = k (u² + v²); x = k (u² - v²); y = k 2uv, donde u, v y k son enteros positivos arbitrarios, u > v, u y v de distinta paridad y primos entre sí. Cada trío de números enteros positivos que elijamos en las condiciones prefijadas dará un triángulo rectángulo. Si k = 1, las ternas tienen elementos primos entre sí. Todos los triángulos con u y v fijos y k variable son semejantes. Como estas fórmulas constituyen una identidad, y por el principio de permanencia en las extensiones del concepto de número, también son válidas para números reales positivos.

Hay una cuestión interesante para tratar, aunque se aparta un poco del hilo del tema. Si damos un valor numérico entero positivo a la variable z, tratar de determinar en qué condiciones son enteros los catetos para ese valor dado de la hipotenusa. Este problema fue abordado por Fermat. La respuesta es la siguiente:

Para la ecuación x² + y² = n², n un entero positivo conocido, ¿en qué condiciones existen catetos enteros?

Si n es un número primo de la forma 4m + 1, existe una única descomposición de n como suma de dos cuadrados. Luego, hay una única terna pitagórica primitiva y primaria (hipotenusa prima).

Si n es un número primo de la forma 4m + 3, no es posible descomponerlo en suma de dos cuadrados y, por tanto, no existe una terna pitagórica (se entiende, diofantina; o sea, con todos sus componentes enteros positivos. Siempre existen valores no enteros, como sucede en el trazado de una circunferencia –la ecuación canónica de la circunferencia es básicamente el teorema de Pitágoras- o en el cálculo trigonométrico).

Si n es compuesto, pueden pasar varias cosas:

El número n es descomponible en factores primos de la forma 4m + 1 o en factores primos de la forma 4m + 3 elevados a una potencia par, en ese caso n es descomponible como suma de dos cuadrados de varias maneras, tanto en ternas primitivas, como no primitivas.

El número n se descompone en factores primos, pero hay factores de la forma 4m + 3 elevados a potencias impares; n no es descomponible como suma de dos cuadrados, pero los factores de la forma 4m + 3 que molesten pueden agruparse en el entero k o factor común y descomponer la totalidad o una parte de los factores que sí dan descomposiciones como suma de dos cuadrados enteros y calcular los catetos en base a la descomposición considerada y al factor común. También hay varias ternas obtenibles, todas no primitivas.

Si n se descompone solamente en factores primos de la forma 4m + 3 todos distintos, o sea, elevados a la primera potencia, no hay forma de escribirlo como suma de dos cuadrados de números enteros.

Si bien esta descripción es completa, descomponer un número n lo suficientemente grande en factores primos puede ser una tarea extremadamente difícil. Por este motivo, no se considera que el problema esté exhaustivamente resuelto.

Volvamos al análisis. Tenemos, entonces, , que puede considerarse como una circunferencia con centro en el origen y radio o como una forma cuadrática ku² + kv² , cuyo discriminante es -4k², menor que cero; lo que indica que las soluciones x e y forman una elipse.

De cualquiera de las dos formas aparecen secciones cónicas en el análisis de cualquier ecuación algebraica de grado arbitrario n, entero positivo.

Si fuera fácil calcular u y v, podríamos llegar a despejar una raíz ; pero el estudio de estas formas cuadráticas está lejos de la completitud, si es que es posible lograr un análisis cabal de estas formas cuadráticas. Para más claridad: estas ecuaciones están resueltas pero sus raíces no están acotadas, en general. La falta de acotación de raíces resta valor práctico a estas consideraciones.

Lo que propongo analicen los que saben más que yo, tanto en teoría de ecuaciones como en teoría de números, es si resulta importante que para cada ecuación algebraica de cualquier orden exista una forma cuadrática asociada y si esto no entra en conflicto con la teoría de grupos de Galois.

ALGUNAS EXPLICACIONES PARA LOS QUE ESTÁN COMENZANDO CON TEORÍA DE NÚMEROS

Primer paso: cómo se obtienen las soluciones enteras para el Teorema de Pitágoras

Al parecer, no es fácil encontrar en la literatura matemática ciertas cuestiones que pertenecen al mundo del matemático puro y que no se utilizan en la matemática aplicada con el mismo sentido o profundidad. En todas las técnicas bastará casi siempre con tres o cuatro decimales y, aunque todo ingeniero o científico sabe de la existencia de los números irracionales y de los reales, algebraicos o trascendentes, nadie se preocupa por saber si el resultado que le da su calculadora científica es un número algebraico explícito o no. (Un número algebraico explícito es aquel que puede escribirse mediante las operaciones algebraicas elementales: suma, multiplicación, radicación de cualquier índice y potenciación de cualquier índice, un número finito de veces).

Para el matemático puro existen números algebraicos, es decir, que son soluciones de ecuaciones algebraicas, pero que no es posible escribir mediante fórmulas algebraicas. Sin embargo, no son trascendentes. La existencia de refinadísimas técnicas matemáticas para intentar resolver estas cuestiones está fuera de la experiencia y del entrenamiento necesario para cualquier técnico o científico fáctico. Hasta puede que cause asombro a alguno de ellos el hecho de que los matemáticos "pierdan el tiempo" en semejantes cuestiones. Se da la situación cuasi paradojal de que muchos matemáticos son menos hábiles en la resolución de ciertas ecuaciones diferenciales que físicos e ingenieros dominan, cuando tienen un gran saber acumulado en cuestiones que la ciencia diaria ignora o no utiliza. Lo que sucede es que el mundo del matemático es muy metafísico e ideal, sus objetos no son practicables. La simple raíz cuadrada de dos existe únicamente en la mente de los matemáticos como un todo, pues nadie podría dar la infinitud de sus decimales, sino una aproximación racional por exceso o por defecto que sea útil a la precisión del cálculo práctico a efectuar. Por esa razón, muchos textos eluden ciertas demostraciones, pues están orientados a la utilización de la matemática y no a su creación o desarrollo.

Sigue una demostración de la obtención de soluciones enteras para la ecuación x² + y² = z² de la manera menos formal posible.

La ecuación x² + y² = x² puede tener la interpretación geométrica de describir todos los triángulos rectángulos que puedan concebirse; pues "la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa". También es la descripción de una circunferencia con centro en (0, 0) y radio z (Comparar con la trigonometría). La resolución de esta ecuación en números enteros, equivale en el primer caso a encontrar todos los triángulos rectángulos con lados e hipotenusa enteros, que pueden llamarse tanto triángulos pitagóricos, triángulos de Pitágoras, o triángulos rectángulos diofánticos o diofantinos. (En honor a Diofanto de Alejandría, que estudió problemas a ser resueltos únicamente en números enteros)

Si designamos por d al divisor común máximo entre los números enteros x e y, tenemos que:
x = x'd y, también, y = y'd

La ecuación tomará la forma (x')²d² + (y')²d² = z². Es evidente que d² también divide a z², simplemente, aplicando la propiedad distributiva. Por tanto la ecuación queda reducida a una expresión "de la misma forma" algebraica: (x')² + (y')² = (z')². Esto demuestra que basta considerar el caso particular en el que los números x e y no tienen divisores comunes distintos de la unidad. Si el divisor común máximo entre x e y es 1, x e y son de distinta paridad, uno par y el otro impar.

Ahora escribamos la ecuación como una diferencia de cuadrados: x² = z² - y² = (z + y) (z - y) [*]. Nuevamente, si d' es el divisor común máximo de (z + y) y (z - y), tenemos que z + y = md' y z - y = nd'.

Si sustituimos estos valores en los paréntesis de [*], nos queda: x² = mn (d')². Como m y n no tienen divisores comunes, la igualdad es válida únicamente cuando m y n son cuadrados perfectos; luego: m = u² y n= v². Así x² = u² v² (d')² y x = uv d'.

Ahora tomemos otra vez las igualdades z + y = m d' y z - y = nd'. Las sumaremos para obtener el valor de z en función de los cuadrados de u y v encontrados y restaremos la segunda de la primera para saber el valor de y.

2z = md' + nd' = u² d' + v²d'; z = ½ (u²+ v²) d'
2y = md' - nd' = u² d' - v² d'; y = ½ (u² - v²) d'

Como hemos exigido que x e y fueran primos entre sí, de las expresiones x = uv d' e y = ½ (u² - v²) d' se deduce que d' = 1. También concluimos que m y n son primos entre sí; por lo tanto, los números u² y v² -relacionados a ellos por igualdades- también lo son. Y como m > n para que el valor del lado no resulte menor que cero, también u > v.

Sustituyendo d' por la unidad, las expresiones para las tres indeterminadas son:

x = uv, y = ½ (u² - v²) y z = ½ (u² + v²). Aquí u y v deben ser ambos primos entre sí, impares y u > v. En esas condiciones, tomando valores arbitrarios para u y v obtenemos todos los triángulos rectángulos con lados enteros primos entre sí. Para tener todos los triángulos posibles, basta multiplicar a los que poseeen lados primos entre sí por un factor común entero positivo cualquiera.

Una observación necesaria: si multiplicamos por 2 todas las expresiones, tenemos la forma en que he tratado las soluciones en los demás textos; a saber. x = 2uv, y = u² - v² y z = u² + v².

Esta inocente multiplicación por 2 de todos los miembros cambia la paridad de los enteros u y v; ahora deben ser de distinta paridad, y no ambos impares como antes, para conservar los resultados. Esto muestra lo cuidadoso que se debe ser en los análisis de estas cuestiones.

Para obtener las soluciones tanto enteras como racionales, el razonamiento se realiza de forma análoga, pero dividiendo todo por z², de manera que se llega a la ecuación (x/z)² + (y/z)² = 1, como puede verse en el libro "División Inexacta", de A. A. Belski y L- A. Kaluzhnin, Lecciones Populares de Matemáticas, Editorial Mir, Moscú, 1980.

Espero esto sea de utilidad para todos los interesados.

Una aproximación euclidiana para el arco de circunferencia

2007-08-05T15:07:00.000-03:00

Me propongo mostrar un método de construcción geométrica, con compás y regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida, que permite, al menos teóricamente, encontrar una cota inferior a la rectificación de la circunferencia con el error que se desee. Este error decrece con el aumento del número de pasos constructivos y con la disminución de la abertura de un ángulo central de la circunferencia, cosas que suceden paralelamente.

El método se basa en una construcción notable por su exactitud, sencillez y belleza, debida a la mente del físico holandés Willebrord Snell Van Roijen (1591 – 1626), quien firmaba sus trabajos con el nombre latinizado de Snellius, por el que es más conocido. (Snellius de Roijen)

El método consiste en tomar uno de los lados de un ángulo central de una circunferencia y dibujar el diámetro que se superpone a él. Luego se prolonga el diámetro alejándolo del vértice del ángulo en una medida igual al radio de la circunferencia. Se traza un segmento de la tangente a la circunferencia en el punto que corresponde a la intersección del diámetro, del lado correspondiente al arco del ángulo. Desde el extremo más alejado a la circunferencia se traza un segmento de recta que pase por el punto de intersección del otro lado del ángulo con la circunferencia, hasta llegar a cortar la tangente. El segmento de la tangente que está entre este corte y el diámetro es la aproximación de Snell al arco del ángulo. Para un ángulo de 90º sexagesimales, equivale a un número pi igual a 3, pero la precisión crece a medida que el ángulo se achica. Cuando éste tiende a cero, la aproximación difiere del valor verdadero del arco en un infinitésimo de quinto orden. Para un ángulo de 1º 30’ da seis decimales exactos para el valor de pi.Las funciones trigonométricas de un ángulo de 1º 30’ son algebraicas explícitas y lo mismo todas las mediaciones sucesivas de este ángulo y cualquier ángulo que resulte ser múltiplo del mismo. Involucran solamente raíces cuadradas, por lo que son construibles con regla y compás.La aproximación de Snell, para un ángulo cualquiera, vale: . Si elegimos un ángulo que divida un número entero de veces la circunferencia, podemos aproximar la rectificación de la circunferencia multiplicando la aproximación de Snell por la cantidad de veces que el ángulo en cuesión cabe en ella. Para hacer las cosas "a la antigua" tomaremos ángulos en grados sexagesimales y procederemos a "mediar" sucesivamente a la circunferencia, o sea, a dividir sucesivamente por dos cada ángulo.

La fórmula para la aproximación de la rectificación de la circunferencia es:

Para calcular los valores de coseno y seno de la mitad de un ángulo usaremos, respectivamente:.

de cos 45º = sen 45º =

cos 22º 30’ =
…………………..
cos 0º 21’ 5,625" =
sen 0º 21’ 5,625" =

Luego, para , la aproximación a la rectificación de la circunferencia es:
Mientras que …, tenemos diez decimales exactos para la aproximación, en cambio, la aproximación de Ramanuján tiene ocho decimales exactos . Pero Ramanuján logró una construcción más rápida y elegante.

Si dividimos la circunferencia por una potencia con x > 2, tenemos una regla mnemotécnica para calcular el coseno de ese ángulo. Su valor será de la forma y habrá tantos números "2" como x – 2 .

Ahora bien, hay un teorema publicado en un American Mathematical Monthly de 1917 en el que Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, demuestra que expresiones de la forma tienen por límite en el infinito a la mayor raíz de la ecuación x² – x – a = 0; o sea: .

Para el coseno de un ángulo tendiendo a cero el valor del límite será , lo que resulta correcto y coincidente con el valor natural de la función coseno para un ángulo de 0º. Lo mismo para el cálculo del valor del seno del ángulo: ; tenemos que el valor del límite de la expresión de radicales dentro de radicales que tienen signos de suma vale el doble del valor del coseno del ángulo, o sea, 2. Luego queda , también coincidente con el valor natural de un ángulo nulo para la función seno. Pero el cociente entre 1080 y un número tendiente a cero, tenderá a infinito. Del producto de infinito por cero no podemos decir nada. Sin embargo, de la expresión completa y de la evolución de sus valores se intuye que el límite será Pese a todas las depuraciones que le hicieron al análisis matemático en el siglo XIX, de este tipo son las cosas que me desagradan del análisis.

La construcción geométrica de una raíz cuadrada se hace colocando un segmento de recta del valor a radicar seguido por la unidad del sistema. Tomada la reunión de estos dos segmentos como el diámetro de una circunferencia, la perpendicular trazada desde la unidad hasta la intersección con el arco de la circunferencia es el valor de la raíz cuadrada del segmento distinto de la unidad. Si los segmentos en cuestión son ambos diferentes de la unidad, la perpendicular será la raíz cuadrada del producto de ambos segmentos.

En nuestro caso, conviene tomar al radio de la circunferencia como unidad. Calcular la raíz cuadrada de 2 es equivalente a trazar la diagonal de un cuadrado levantado sobre el radio. Para el caso , se construirá la diagonal del cuadrado que tiene por lado el radio y luego se prolongará este segmento en tres radios. Marcada la mitad del segmento resultante, dibujada la circunferencia correspondiente y levantada una perpendicular desde la unidad (el radio), tendremos la representación de . Sucesivamente se repetirá el método hasta completar la cadena de raíces. La construcción práctica del cociente es más complicada, pero posible. Una vía que exige mucho trabajo algebraico es la de eliminar los radicales del denominador, dejando un número entero. Esto complicará notablemente la expresión algebraica del numerador, pero hará sencilla la división.

De todas maneras, este método no es elegante ni simple. También hay que considerar que ningún dibujante puede lograr una precisión mayor a una décima de milímetro en cada paso, por lo que no tiene sentido una construcción que brinde diez decimales exactos de pi, cuando el error total cometido será mucho más grosero. Tiene a su favor que es teóricamente exacto y se puede realizar idealmente una construcción con el error que se desee. Avanzando suficientemente en la pequeñez del ángulo considerado, la rectificación se aproximará al verdadero valor del arco de toda la circunferencia.

No existe un ser humano ni máquina capaz de crear un objeto de un kilómetro de longitud con un error de menos de un tercio de micra, que es el que proveyó Ramanuján con su raíz cuarta.
Los matemáticos y aficionados a las matemáticas estamos en un mundo ideal en donde la persona se comporta como si tuviese por delante una vida de duración indefinida y que cada acto que pudiera hacer una vez se pudiese repetir infinitamente. Los objetos matemáticos existen en un mundo arquetípico, metafísico e ideal. ¿Será por ello que los indios mezclaban tan deliciosamente religión con matemáticas?

Los problemas de rectificación de una circunferencia o su cuadratura (encontrar un cuadrado de igual superficie a la de un círculo) no tienen solución algebraica por la misma trascendencia de pi. No obstante, el hecho de buscar aproximaciones no deja de ser un trabajo de ingenio muy entretenido y formador, que dará "cierto manejo" (feeling) al que se ocupe en ello.

Esto no es para mí una pérdida de tiempo ni una ocupación inútil, todo lo contrario, brinda la flexibilidad de una gimnasia que puede servir de mucho en otros campos de la Matemática.

El Teorema de Incompletitud de Gödel

2007-07-28T14:32:00.000-03:00

En 1.931, Kurt Gödel publicó un trabajo denominado “Sobre Proposiciones Formalmente Indecidibles de Principia Mathemática y Sistemas Análogos”, obra excepcional que le valió el nombramiento de Doctor Honoris Causa otorgado por la Universidad de Harvard. Es una obra de las que honran a la Humanidad y todo hombre culto no matemático ni lógico debería conocer al menos rudimentariamente lo que significa.

El teorema demuestra que todo sistema axiomático lo suficientemente rico como para describir la aritmética es de necesidad incompleto o incoherente.

Gödel construyó un lenguaje formal y, con él, un enunciado que –intuitivamente- se puede describir como “Esta frase entre paréntesis es indecidible”. Si asumimos que es verdadera, consiste en una frase verdadera e indemostrable, por lo que el sistema es incompleto. Si consideramos que es falsa, es un ejemplo de una frase falsa pero demostrable, con lo que el sistema axiomático se vuelve contradictorio.

Un poco de axiomática.

Podemos definir “intuitivamente” el concepto de enunciado, como toda expresión hecha en un lenguaje, de la cual tenga sentido inequívoco afirmar su verdad o su falsedad. Por ejemplo: Napoleón gobernó Francia; podemos afirmar con sentido su verdad o su falsedad. Hay una estructura más general y profunda que los lógicos llaman proposición, que atiende al significado más que a la forma de enunciación, pero no nos internaremos en semejantes honduras.

La Lógica no se ocupa del contenido efectivo de verdad de un enunciado; o sea, no se interesa en una calificación absoluta de verdad o falsedad concordante con la experiencia acumulada. Para esta ciencia, calificar a un enunciado aislado como “verdadero” tiene tanto sentido como calificarlo de “falso”. Al considerar más de un enunciado, muchas veces la suposición de un valor de verdad para uno condiciona los valores de verdad de otros. Así, por ejemplo, si suponemos verdadero un enunciado, su negación debe ser forzosamente falsa. Otros enunciados son siempre verdaderos, como “a o no a”, esto debido a su forma y no a su contenido. Cambiando el conectivo “o” por “y”, tenemos “a y no a”, que es una contradicción.

El razonamiento consiste en un encadenamiento de juicios o enunciados que termina en otro que resulta fundado en los anteriores, que es una consecuencia ineludible de los anteriores. A veces se dice que la Matemática está casi enteramente basada en el razonamiento deductivo. Una regla de oro que determina la validez de estos razonamientos es: la verdad de los antecedentes determina la verdad del consecuente. Vale decir, la conclusión se desprende de las premisas por necesidad, en virtud de ciertas características lógicas puramente formales de las mismas. En este tipo de razonamiento la conclusión se desprende lógicamente de las premisas o no lo hace; es esto último lo que la convierte en una ciencia exacta: no hay grado de probabilidad sino certeza. Supuesta la verdad de los antecedentes, se deduce la verdad del consecuente; una nada despreciable cualidad de conservar la veracidad del conocimiento; pero ningún camino lógico conduce de la verdad del consecuente a la de los antecedentes. La Lógica es ampliamente condicional.

En cuanto a la naturaleza deductiva de la Matemática, Jules Henri Poincaré se preguntaba por qué no se reducía toda esta ciencia a una tautología, a una rebuscada forma de decir “a es a”. Es claro, el razonamiento deductivo contiene a la conclusión en las premisas; o sea, no aporta conocimiento nuevo. Esta es una cuestión aún no resuelta. En la ciencia matemática, otro modo de establecer conocimientos es mediante la inducción completa; de todas formas, la manera en la que se producen las ideas creadoras es una cuestión que excede el marco de la lógica y el de la matemática.

Cuando se agrupan enunciados con el fin de crear un conjunto desde el cual deducir o construir otros conocimientos, nos encontramos con un sistema axiomático. Los enunciados que lo componen pueden ser de dos clases: axiomas o postulados. Los axiomas son enunciados de verdad evidente y los postulados no lo son; se pide al lector que asuma su verdad. En la aritmética, por ejemplo, la infinitud del proceso de cuenta es un postulado; no es evidente ni demostrable. A un sistema axiomático se le piden varias cosas:

a) Que sea consistente, coherente o compatible. Significa que ningún axioma o postulado debe ser contradictorio en sí mismo ni contradecir total o parcialmente a los demás enunciados del sistema. Si ello ocurriera, todo el sistema y sus consecuencias serían contradictorios, totalmente inservibles.

b) Que los enunciados sean lógicamente independientes entre sí. Esto quiere decir que ningún enunciado (o sus partes) debe deducirse de otro o de una combinación de otros.

c) Que sea completo. Es decir, que ninguna afirmación que se haga en base al sistema carezca de una demostración de su verdad o falsedad relativa a la verdad supuesta de los enunciados del sistema axiomático. Si aparece una afirmación imposible de demostrar a partir del sistema, estamos ante lo que los lógicos llaman un “indecidible”. Este indecidible, su negación u otra afirmación o negación lógicamente dependiente del indecidible, deben formar parte del sistema axiomático que, de otra forma, queda incompleto.

De las tres condiciones pedidas, la más indispensable es la primera y la más difícil –cuando no imposible-, la última.

Con respecto a lo mencionado en la condición “b”, el problema se resuelve cambiando el axioma en estudio por su negación. Si su negación no introduce contradicción con ninguno de los axiomas restantes o sus combinaciones, tendremos que, si el sistema no es en sí mismo contradictorio, entonces, el axioma analizado es lógicamente independiente. Ello se debe a que si fuera lógicamente dependiente se deduciría de algún axioma o de una combinación de ellos y, por supuesto, aceptada la verdad de los antecedentes, forzosamente tendría que ser verdadero. Al introducir su negación como “verdadera” (que deberá ser necesariamente falsa si ocurre lo primero), el sistema se volverá contradictorio. Este mismo proceso es el que usamos cuando demostramos un teorema por el absurdo: negamos lo que queremos demostrar (o sea, aceptamos la verdad de la negación) y, si es deducible del sistema, la negación nos llevará a una contradicción. Esta forma de demostración es “cómoda”, porque a veces es muy difícil plantear un camino “directo”; pero no todos los matemáticos admiten este tipo de argumentación. Hay una escuela que no se conforma con la no contradicción, sino que exige la construcción efectiva del concepto a demostrar.

Actualmente, toda la no contradicción de la Matemática se basa en la no contradicción de los axiomas de la Teoría de Conjuntos. Anteriormente, había sido reducida a la no contradicción de los axiomas de la Aritmética. Esto demuestra que solamente se hace retroceder el problema, ya que la no contradicción de los axiomas de la Teoría de Conjuntos debería hacerse depender de un sistema más general que sea cumplido por éstos, y así hasta el infinito.

La posible incoherencia del sistema que fundamenta la Matemática no invalida el conocimiento práctico acumulado, sino que cuestiona la validez de los métodos con que establecemos la verdad de nuestros conocimientos.

Algunos comentarios complementarios.

Hay cierta confusión y disparidad de criterios entre los matemáticos con respecto al Teorema de Incompletitud. Se suele trabajar con proposiciones indecidibles, pero forzosamente verdaderas; con lo que se evita la posibilidad de incoherencia del sistema.

Como vimos, un enunciado que no puede deducirse o demostrarse a partir de un conjunto de axiomas es lógicamente independiente. La única diferencia que existe entre un enunciado indecidible y uno lógicamente independiente es su ubicación en el tiempo con respecto a la elección de un sistema axiomático. Cuando uno forma un sistema axiomático no quiere que haya redundancias, quiere economía de axiomas. Por lo tanto, forma el sistema con enunciados que no sean deducibles del resto del sistema o de alguna de sus partes. Una vez considerado terminado el sistema axiomático es cuando puede aparecer un enunciado que sea indemostrable y, por tanto, indecidible. Resulta ser, también, lógicamente independiente, por lo que es lícito incluirlo en el sistema o poner en su lugar su negación (pues la negación no introduce contradicción).

Lo que trae problemas en la construcción de Gödel es que él armó una proposición en lenguaje formal que enuncia: “Esta frase entre paréntesis es indemostrable.” Y, como ya se vio, si la consideramos falsa es un ejemplo de frase falsa, pero demostrable a partir del sistema.

En cambio, en la práctica lo que va a aparecer es un enunciado del que no existirá demostración de su verdad ni de su falsedad. Y de esa forma podremos darle cualquier valor de verdad sin problemas. Después se podrá discutir si es más conveniente la verdad o la falsedad. Si el sistema así ampliado es más útil si consideramos verdadero al indecidible o si ocurre lo contrario.

Pero la construcción de Gödel no deja de ser preocupante, porque logró una que si no se supone que es forzosamente verdadera, deja abierta la posibilidad de la incoherencia de todo el sistema. Y esto en un lenguaje estrictamente formal y simbólico, sin ningún contenido de verdad material.

El teorema de Gödel implica la imposibilidad de comparar las teorías científicas de una manera racional y fiable. SegúnPopper, en "Normal Science and its Dangers", 1970, para comparar dos teorías es necesaria una tercera que sea suficientemente completa. Según el Teorema de Incompletitud de Gödel, la tercera teoría tampoco puede ser lo suficientemente completa y hasta podría ser contradictoria, sería impotente para la justificación de una respuesta verdadera, dada por esa teoría. Si bien Popper propone que se puede llegar a una mejor teoría para describir la realidad mediante la falsificación de otra, resulta que ambas tienen en común la incertidumbre del conocimiento. El método científico no puede ser probado completo y correcto más allá de las dudas. La ciencia moderna ha llegado a la embarazosa situación que tanto se le critica a la mística o a la religiosidad: no puede probar sus principios ni encontrar "la causa primera", asumiendo para la frase entre comillas el significado de un sistema lógico de razonamiento que goce de confianza absoluta y que pueda ser encontrado.

Otro Error Común de los que Aprenden Teoría de Conjuntos

2007-07-28T13:49:00.000-03:00

Supongamos que está bien definido el siguiente conjunto:

C = { Un ejemplar del libro Poesías Completas, de Antonio Machado, Colección Austral, Espasa.Calpe. S. A., décima edición, España, 24-10-1963, 299 páginas, en rústica}

Preguntamos: ¿La página 201 del citado libro pertenece al conjunto? Muchos dicen que sí. Pero la pregunta que debemos responder para saber si cualquier objeto que nos alcancen o propongan pertenece o no al conjunto es: ¿La página 201 del libro Poesías Completas, etc, es el libro Poesías Completas, etc? Evidentemente, NO. El conjunto que definimos es unitario. Que el elemento de ese conjunto sea lo que los lógicos llaman una unidad de orden superior (o sea, que pueda considerarse como la suma de otras unidades menores; por ejemplo, páginas), no hace que una de sus páginas pertenezca al conjunto que definimos, sino a otro (El libro considerado como conjunto de páginas).

Parece una trivialidad, y quizás lo sea. Pero muchos estudiantes se equivocan en este tipo de cosas y el error subsiste algunas veces hasta ingresar a la universidad.

En consejo es: tomar las definiciones al pie de la letra y comparar el objeto que se nos propone con la definición. Volviendo al ejemplo, entonces, una página del libro no es el libro y el conjunto contiene al libro completo; luego, la página no pertenece al conjunto, sin que sea posible ninguna discusión.

Cálculo, Física y Ficción

2007-07-24T08:41:00.000-03:00

Por Física clásica se puede querer significar dos cosas completamente distintas. Si la palabra “clásica”, se usa en sentido coloquial, clásica significa, la usual, la de siempre, la anterior a Einstein. En sentido técnico, tanto la física de Newton (o las formas equivalentes de Lagrange y Hamilton) como la física de Einstein son clásicas. En ese último sentido , por Física clásica se entiende una física no cuantificada en la que la partícula es un punto del espacio, infinitesimal. El espacio es, además, continuo y la fenomenología es de tipo determinista. Todo esto vale tanto en la mecánica no relativista como en la relativista de Einstein. [En la mecánica clásica, el espacio-tiempo es un continuo, mientras que en la mecánica cuántica (no clásica), las partículas no son puntuales y los fenómenos se describen mediante procesos estadísticos y probabilísticos]
Toda la mecánica clásica y la física teórica en general utiliza el concepto de masa puntual. “Sea una masa puntual de 3 kg”. El concepto de punto no es el mismo para la matemática pura, que para la matemática aplicada al cálculo físico, químico o en ingeniería. Tampoco resulta igual para los filósofos. Para el matemático puro, un punto es un objeto geométrico que no tiene dimensiones, es “infinitamente pequeño”, hasta el límite. No hay ningún objeto físico que corresponda al punto matemático. La partícula elemental más pequeña que pueda existir o imaginarse, si tiene entidad física, es infinitamente más grande que un punto geométrico. En algún sentido, el punto de vista matemático de la geometría es metafísico, por decir lo menos.

Para el físico o el ingeniero, un átomo de hidrógeno puede ser considerado un punto con respecto a una naranja, hasta es invisible. También podría ser considerada una masa puntual una pequeña partícula de polvo de las que flotan en el aire y brillan como planetas cuando pasan a través de un rayo de sol. Esto es conocido por todos, el punto físico es cualquier cosa que pueda ser considerada insignificante en cuanto a tamaño y que sirva para resolver satisfactoriamente los cálculos con un error despreciable. Pero, para el matemático puro, el punto existe nada más que en su espíritu o en su mente, es un objeto ideal.

Para el físico considerar una masa puntual es una ficción cómoda para poder calcular. Pero una masa puntual pierde ciertas propiedades del objeto concreto como, por ejemplo, la densidad. Una masa puntual de 3 kg tendría una densidad infinita si fuera un punto geométrico y un número descomunalmente grande si fuera un objeto pequeño como el núcleo de un átomo de hidrógeno. El diámetro del núcleo de un átomo de hidrógeno debe estar en el orden de 10^-13 cm, su radio, 0,5 .10^-13 cm (Si no es esta la medida real, poco importa para este desarrollo) . El volumen de la esfera es cuatro tercios de pi por el cubo del radio, luego el volumen aproximado de ese núcleo de hidrógeno es: 0,5235987 . 10^-39 cm³ . La densidad de este “objeto puntual” es: 5,7295787 . 10^39 kg/cm³ , si no me equivoqué en las cuentas . La verdad, algo muy poco real, que no satisface al filósofo, porque él intenta explicar todo cuanto hay. Tampoco al matemático puro. A los físicos no les importa, porque en un cálculo de mecánica, la densidad, generalmente, no interesa. Siempre se puede volver a la realidad después de una cuenta. El peligro está cuando se olvidan de que el cálculo es una ficción útil y confunden las fórmulas matemáticas con la realidad misma. Y esto no es raro que ocurra, por ejemplo, se discute mucho acerca del significado de las fórmulas en la mecánica cuántica. ¿Realidades o modelos aproximados o útiles de una realidad distinta? ¿Describen la realidad o lo que el observador mide, perturbando el conjunto e introduciendo, además, su propio "esquema mental"? (El sujeto que conoce podría "cargar los dados" con su propia forma de "ver" la realidad; a fin de cuentas, los instrumentos son prolongaciones de nuestos cinco sentidos y toda medición termina en una percepción)
Un asunto difícil en el que resulta instructivo meditar.

El Error Didáctico de Asimilar la Suma de Naturales a la Unión de Conjuntos

2007-07-24T08:22:00.000-03:00

Con fines didácticos, suele hacerse un paralelo entre la unión de conjuntos y la suma en los números enteros positivos. Los niños y, menos frecuentemente, los jóvenes caen muchas veces en errores interpretativos por no advertir lo que sigue:

Primera diferencia: La unión de conjuntos finitos puede asimilarse a una suma de números enteros positivos tan solo cuando los conjuntos son disjuntos. Cuando los conjuntos a unir tienen elementos comunes la unión da por resultado un conjunto con un número menor de elementos que la suma de los números de elementos de los conjuntos dados.

Segunda diferencia: La operación de suma ordinaria en los números enteros no goza de la propiedad distributiva con respecto al producto. Pero el producto es distributivo con respecto a la suma. En cambio, la unión es distributiva con respecto a la intersección y viceversa.

A U (B ∩C) = (A U B) ∩ (A U C) [*]

A ∩ (B U C) = (A ∩B) U (A ∩ C)

[*] Nos lleva a la fórmula a + b . c = (a + b) . (a + c), imposible, excepto para
a = c = 0.

Ante todo, debo decir que lo único que conozco de didáctica es la palabra. Tampoco tengo experiencia en cuanto a la actividad docente en otros países. Algunos maestros y profesores podrían sentirse ofendidos porque alguien que no conoce un ápice de su actividad la critique; tampoco puedo explicarle a un albañil cómo se levanta una pared, pero si la construye torcida me percato de ello, aunque no sepa decirle cómo hacerlo bien.

Para empezar, muchas personas tienen una imagen utilitaria de la matemática: la matemática sirve para hacer cuentas y resolver problemas prácticos. Si esto fuera todo, sería como decir que la música sirve para que alguien enseñe solfeo hablado en la escuela media y que algunos conjuntos de música popular vendan millones de discos. Hay mucho más.

El verdadero matemático es un creador; construye nuevos objetos matemáticos, nuevos dominios o demuestra propiedades desconocidas de objetos ya definidos y estudiados. Su actividad se parece mucho a la de un músico o la de un pintor o escultor, y no falta quien diga que un matemático que no sea un poco poeta no es un matemático completo.

La actividad principal del matemático puro es la creación y, para ello, debe "demostrar" lo que afirma; o sea, debe argumentar paso a paso para que no quede duda lógica de lo que afirma.

Esto último que acabo de escribir es un obstáculo insalvable para la enseñanza de la matemática en la escuela elemental. Para demostrar una propiedad se debe argumentar; para argumentar correctamente, es menester tener un lenguaje completamente adquirido. Como los niños que asisten a la escuela elemental están adquiriendo precisamente un lenguaje, es imposible que ellos puedan argumentar hasta que esa incorporación esté más o menos completa. Esto ocurre generalmente a los quince años, si la persona fue alimentada correctamente y tiene una inteligencia normal. Chocamos, además, con la dificultad de que ningún maestro de escuela elemental tiene experiencia en la demostración de teoremas; o sea, ignora completamente la naturaleza y el espíritu de lo que está enseñando (Esto desde mi experiencia en Argentina, ignoro todo acerca del tipo de formación que reciben los maestros extranjeros). No podría, entonces, transmitir esto a sus alumnos, aunque pudieran recibir tal mensaje. Como consecuencia de esto, en la escuela elemental se enseña una "mecánica de cálculo y resolución de problemas", pero no matemática.

En cuanto a la matemática moderna y, más específicamente, la teoría de conjuntos, lo que se introduce no es más que nomenclatura y vocabulario, ortografía y sintaxis. Los niños aprenden esto sin comprender el alcance y la verdadera aplicación de lo que reciben y mucho menos se enteran de que hay otros caminos posibles y que estas técnicas tienen sus defectos y "problemas existenciales". En el mejor de los casos, los niños creen que comprenden y los maestros también. El drama llega cuando ingresan a la universidad. Pero, desde mi práctica de la matemática, lo único que puedo decir es qué está mal, pero no cómo corregirlo. De todas formas, no es malo saber la naturaleza del mal; por lo menos se tiene un diagnóstico, después habrá que buscar el remedio.

Pero, por favor, que quede claro que resolver intuitivamente un problema no es lo mismo que desarrollar una teoría que explique la resolución. Es como aquel personaje de Moliere que se sorprendió cuando se enteró de que había hablado en prosa toda su vida.

Para colmo de males, hay más que agregar. Un conjunto se dice un sistema numérico si entre sus elementos están definidas dos operaciones binarias denominadas suma y multiplicación, ambas asociativas y conmutativas y si el producto es distributivo con respecto a la suma.

Asimilando la unión de conjuntos a la suma y la intersección a un producto, tenemos que los conjuntos forman un sistema numérico; pero, con divisores de cero, puesto que toda intersección de conjuntos disjuntos dará el conjunto vacío o "cero" del sistema. Como el conjunto de todos los conjuntos lleva a contradicción, el sistema carece de unidad; al menos que se elija un conjunto de referencia desde el cual se definan otros conjuntos incluidos en él. En ese caso, el conjunto de referencia es la unidad. Esto va completamente en contra del concepto "intuitivo" de unidad.

En aritmética la multiplicación es una especie de abreviatura de una suma: equivale a sumar el multiplicando tantas veces como el número que representa el multiplicador.

Si asimilamos la intersección al producto, es evidente que no puede ser considerada como una repetición de uniones de uno de los conjuntos.

La Matemática y la Realidad Concreta

2007-07-24T01:47:00.000-03:00

La matemática es una ciencia que maneja objetos ideales. Cuando decimos que un objeto matemático cumple una propiedad, lo hace; no hay otra alternativa ni fenómeno que pueda evitarlo. Pero cuando una teoría matemática se aplica a la realidad concreta, no siempre lo que es válido matemáticamente resulta correcto para los objetos reales.

En el muy valioso trabajo de Lia Oubiña, "Introducción a la Teoría de Conjuntos"(Ediciones Previas, EUdeBA), esta notable científica inicia al lector en el concepto de inducción completa, dando un par de ejemplos "prácticos", con fin esencialmente didáctico. Entre ellos: "Supongamos tener 1.000.000 de lamparitas eléctricas alineadas y conectadas de tal forma que al encenderse una de ellas se enciende la siguiente. En un momento dado se quiere saber si todas las lamparitas están encendidas. La verificación directa sería indudablemente bastante trabajosa, pero el lector ya habrá encontrado otra forma de resolver el problema. Nos dirá: "Basta con observar si la primera lamparita está encendida"."

"En efecto, si la primera lamparita está encendida, como se sabe de antemano que al encenderse una se enciende la siguiente, se puede asegurar que la segunda está también encendida, luego, por la misma razón, está encendida la tercera, y así sucesivamente."

Si las lamparitas fueran objetos matemáticos, el razonamiento de Lia Oubiña en el ejemplo sería inobjetable. Pero no lo son. Un técnico irreflexivo que aplicara este método a un caso real, no sería eficiente. Las lámparas pueden "quemarse"; luego, si una de ellas no enciende, las restantes en el sentido ascendente de la cadena no lo harán. Para saber si todas están encendidas, debería ver la última. En realidad, esto es más complejo aún; dibujé tres circuitos diferentes que cumplen con lo pedido, pero sólo en uno de ellos es correcto afirmar que todas las lámparas están encendidas viendo la última. En los otros dos, no es posible detectar una lámpara apagada sin observación directa o tele-control. Desde ya, ella no quería formar técnicos electricistas, sino dar ejemplos didácticos. Pero, al no poner los límites de validez a las técnicas o conceptos definidos, personas que no alcanzaron la madurez en las cosas aprendidas suelen cometer errores groseros, como productos de generalizaciones no adecuadas.

Veamos otro ejemplo: Una casa de trescientos cincuenta metros cuadrados es construida por un equipo de dieciseis obreros en nueve meses. ¿Cuántos obreros debo emplear para que la terminen en ocho meses? Respuesta: dieciocho obreros. Quizás sea cierto. Aplicando el mismo razonamiento, ¿es verdad que 4.320 obreros la levantan en un día? Evidentemente, no. No es posible que cuatro mil personas quepan en trescientos cincuenta metros cuadrados, y no sólo sería muy difícil coordinar el trabajo de una octava parte de esa cantidad de gente en tan poco espacio, sino que ciertos procesos requieren tiempo; como el fraguado del hormigón, que lleva veinte días. La regla de tres simple es útil donde el error del método es pequeño, en los lugares en donde la curva de la ley matemática que describe el fenómeno es "menos curva" (Pero esto no se enseña ni siquiera en la escuela media). El caso límite expuesto es tan ridículo que resulta indudablemente falso para cualquier persona. Pero le aseguro al lector que muchos planes económico - políticos, con mala intención o sin ella, están sustentados en falacias semejantes, aunque menos evidentes.

La aplicación de la matemática a la realidad sensible debe realizarse con sumo cuidado y muchísima reflexión. No es cuestión de utilizar métodos o hábitos mentales a la ligera, cuando fueron diseñados para objetos ideales, diferentes a aquellos a los cuales pretendemos describir mediante modelos abstractos.

2007-07-24T01:19:00.001-03:00

EL SER INFINITAMENTE PLANO DE POINCARÉ

(Jules Henri Poincaré)

Este gran matemático inventó un ser que vivía en un universo de dos dimensiones, tanto un plano euclidiano como uno curvado en un espacio de más dimensiones (como una hoja de papel curvada en el espacio ordinario; asimilando una hoja de papel a un plano).

Para este ser, terraplanero o flatlander, el paso de un objeto de tres dimensiones por su universo (o su universo a través de un objeto tridimensional), sería visto por él como un fenómeno de evolución. Por ejemplo, el paso de una esfera por su plano comenzaría con un punto, luego una circunferencia que crecería hasta un máximo y luego decrecería hasta quedar reducida a un punto que desaparecería después. El paso de un toro (no el que tiene cuernos) sería más misterioso: Primero un punto, que se transformaría en un óvalo de Cialdini creciente y luego en una curva llamada lemniscata (como un ocho acostado), que se dividiría en dos óvalos y después en dos círculos separados; para luego repetir el proceso en orden inverso hasta el principio.

Este ejercicio de Poincaré tiene, a mi entender, varios defectos. Primero citaré los menos importantes, porque no hacen al problema principal:

1) Si el ser infinitamente plano fuera un punto geométrico, carecería totalmente de dimensiones y no podría estar vivo ni ver. Para que cualquier proceso físico, químico, biológico o de otra naturaleza ocurra, primero tiene que existir alguna asimetría (Principio de Curie), pues es esa asimetría la que provoca el fenómeno o reacción. En un objeto totalmente isótropo y homogéneo no puede ocurrir nada. ¿Conoce algo más isótropo y homogéneo que un punto geométrico?

2) Nos vemos forzados a considerar, entonces, que este ser es alguna forma plana diferente de un punto. Nuevamente, estamos ante la dificultad de que no tiene altura. Debemos admitir por necesidad que este ser tiene una vida basada únicamente en la geometría (pues tiene la altura de un punto). Por buena voluntad, admitamos que tal vida existe. Seguidamente, abordaremos el verdadero problema, que no se resuelve admitiendo un ejercicio de imaginación.

3) Hay un principio implícito en el ejercicio de Poincaré: tanto que el universo de este ser sea plano euclidiano o un plano curvo, su visión se hace según la línea recta que une el objeto a ser visto con este ser, en el primer caso, y según la geodesia entre él y el objeto, en el segundo. Esto es lógico, porque el terraplanero no podría ver fuera de su universo (de lo contrario vería el cuerpo) y la geodesia sería la curva más recta en su universo plano curvado.

Pero hay un inconveniente: suponiendo que su universo plano fuera transparente como lo es el aire para nosotros, si tanto este ser como su visión se encuentran dentro de su universo de dos dimensiones no podrá ver sino segmentos de rectas o de geodesias (ponga un papel de celofán con algo dibujado sobre un vidrio e intente ver algo distinto a una recta desde una posición que no esté por encima o por debajo del plano). Lo que Poincaré dice que vería el terraplanero sería verdad si este ser estuviera en un punto exterior a su plano de existencia (algo así como un viaje a otra dimensión o al más allá).

En el mismo orden de ideas, Edwin A. Abbott publicó, en 1.884, la novela Flatland (Planilandia); un libro muy recomendable en el que se hace una mordaz y graciosa crítica a la sociedad victoriana, a la vez de que se trata de una manera amena el problema matemático y el de la percepción humana de la realidad. Describe una sociedad de polígonos, en donde la escala social se mide por la cantidad de lados. Cualquiera sea la forma de un ser de Planilandia, el desarrollo completo se logra en un valor de 27 cm, 30 cm como máximo. Las mujeres son segmentos de rectas. La milicia y la clase trabajadora están constituidas por triángulos isósceles con el ángulo desigual muy agudo, los lados iguales de 27 cm y el desigual entre 0,3 cm y 1,3 cm. Los comerciantes destacados y la clase media la forman los triángulos equiláteros. Los profesionales o caballeros son cuadrados o pentágonos, las clases más altas tienen un número creciente de lados, hasta que es muy difícil distinguir un polígono de una circunferencia y llegan a la categoría de "circulares" u orden sacerdotal, la clase más elevada de todas. Un día aparece en su mundo un punto que se transforma en una circunferencia creciente hasta un límite, tras el cual la circunferencia se va reduciendo hasta un punto que luego desaparece. Toda la sociedad se asombra, pues la experiencia era que las circunferencias crecían con la edad, pero ellos habían visto todo el proceso en muy poco tiempo. En realidad, era una esfera que atravesaba su universo y ésta le habla a un cuadrado y lo transporta fuera de su mundo para que comprenda qué está pasando. Cuando vuelve de su experiencia mística, nadie cree lo que dice y termina sus días en una cárcel. Tanto este cuento, como el ejercicio de Poincaré admiten que las figuras planas se ven como tales en su universo, pero esto puede suceder únicamente desde una posición exterior al plano. Es más, en una superficie no curvada que fuera atravesada por una esfera, el único lugar en el que se vería una circunferencia evolucionando sería en una recta perpendicular al plano y pasante por el centro de la esfera. La visión desde cualquier otro ángulo daría por resultado elipses. En Planilandia nunca podría observarse más que un segmento de recta; los cuadrados y decágonos no se diferenciarían, a condición de que tuvieran igual diámetro.

Abbott, sin embargo, reconoce la dificultad y salva la historia de ficción relatando que ellos no pueden ver más que rectas, pero conocen los ángulos por el sentido del tacto. Aunque aún para los más doctos y experimentados resulta casi imposible distinguir las diferencias en polígonos de un número elevado de lados. También el cuadrado que cuenta su desdichada experiencia habla "del brillo de una recta". Luego de su experiencia tridimensional toma conciencia de que hay una tercera dimensión infinitesimal en su mundo, la que ellos llaman "brillo". Pero cuando vuelve a su casa no puede indicar hacia dónde ni medir esa dimensión.

En realidad, Poincaré y quienes le creyeron se dejaron engañar por la carga teórica de su propia experiencia tridimensional (pensaron lo que vería un ser de dos dimensiones, pero desde una perspectiva de tres, como la nuestra). LO QUE VEMOS DEPENDE DE LO QUE BUSCAMOS Y DE NUESTRA PROPIA NATURALEZA.