En
la Edad Media, las materias aritmética, música, geometría y astronomía eran
enseñadas como un cuerpo al que denominaban Quadrivium.
El
ubicuo teorema de Pitágoras y el no menos presente triángulo sagrado egipcio
están íntimamente entrelazados en todas las disciplinas del Quadrivium.
Sea,
por ejemplo, la gama musical:
1 - 9/8 - 5/4 - 4/3 - 3/2 - 5/3 - 15/8 - 2 - 9/4 - 5/2 - ...
No
importa la frecuencia a la que esté afinada la nota tónica “1” (que llamaremos
“Do” ó “C”), las tres notas remarcadas en rojo forman un triángulo sagrado
egipcio 1/2 (3, 4, 5)
.
Pero esto no es todo. Si dibujamos el triángulo sagrado
egipcio
y unimos el vértice
correspondiente al ángulo recto del triángulo con la hipotenusa, de tal forma que la semirrecta corte a la
hipotenusa en un ángulo recto, tendremos otros dos triángulos rectángulos
semejantes. Éstos son:
6/10 (3, 4, 5) y 8/10 (3, 4, 5).
Sin
pérdida de generalidad, supongamos que la nota Do ó C es Do4 o C4, entonces, los tres triángulos
corresponden, respectivamente, a las notas:
(G4, C5, E5), (B3b, E4b, G4) y (E4b, A4b, C5), o bien, (Sol4, Do5, Mi5), (Si3b, Mi4b, Sol4)
y (Mi4b, La4b, Do5)
La
letra “b” a la derecha de la nota indica que es el bemol de esa nota. Se logra
afinando a una frecuencia igual a la frecuencia de la nota multiplicada por la
fracción 24/25. Si unimos el vértice correspondiente al
ángulo recto del triángulo sagrado con el punto medio de la hipotenusa
(circuncentro) obtenemos dos triángulos isósceles. Uno de ellos tiene dos
ángulos iguales que miden 36,869897645844021296855612559093…º y el ángulo
desigual mide 106,26020470831195740628877488181…º. El otro tiene dos ángulos
iguales que miden 53,130102354155978703144387440907…º y el ángulo desigual mide
73,739795291688042593711225118187…º. La función seno de este último ángulo mide
exactamente 24/25.
En
cuanto a la astronomía, en un artículo anterior escribí acerca de las
relaciones que hay entre el triángulo sagrado egipcio y las revoluciones
sinódicas de los planetas visibles.
Si
dibujamos el triángulo sagrado egipcio 1/4 (3, 4, 5) en
un doble cuadrado, el ángulo A es exactamente el valor del ángulo diedro del
dodecaedro y éste, a la vez, es el doble
del valor del ángulo del vértice superior de una cara de la Gran Pirámide (cara plana, pues el monumento tiene una concavidad de alrededor de 90 cm en la apotema). La gran
Pirámide está vinculada de una manera interesante con la geometría de la
esfera. También observamos que la gama musical diatónica está relacionada con
la geometría de los cuerpos regulares y otros volúmenes básicos, como el cilindro y la esfera.
En
un triángulo equilátero, la razón entre las áreas del círculo circunscrito y el
inscrito es 4:1 (dos octavas). La razón entre el área del anillo entre los dos
círculos concéntricos y el círculo inscrito es 3: 1 que, respecto de la escala
anterior, corresponde a SOL (G) en la segunda octava respecto del DO inicial
dado.
En
un cuadrado, la relación entre el círculo circunscrito y el inscrito es 2: 1
(una octava) y en el hexágono es 4:3, que corresponde a FA (F).
El
baricentro de cualquier triángulo dista dos tercios de la longitud de la
mediana respecto del vértice. Dos tercios es la nota FA (F) de la octava
anterior a un DO dado.
La
misma relación se cumple tanto en el volumen como en la superficie de una
esfera inscrita en un cilindro, respecto del volumen o de la superficie del
cilindro.
La
superficie de una esfera es cuatro veces la superficie de un círculo máximo en
la esfera (dos octavas) y la superficie de un cilindro en el que está inscrita
la esfera es seis veces la superficie de un círculo máximo de la esfera; o sea,
un SOL dos octavas más alto respecto del DO inicial.
Recomiendo la lectura de los trabajos "
El número y lo sagrado en el arte.
Primera parte" y "
El número y lo sagrado en el arte. Segunda parte", por María Cecilia Tomasini.
Lic. en Física, Universidad Nacional de La Plata y Licenciada en Arte, Universidad de Palermo, Buenos Aires. Pueden ser vistos en Internet, en las siguientes direcciones:
http://www.palermo.edu/ingenieria/downloads/Investigacion/ElNumeroyloSagrado1P.pdf
http://www.palermo.edu/ingenieria/downloads/CyT%204/CYT406.pdf
www.palermo.edu/ingenieria/downloads/CyT7/7CyT%2013.pdf
El orden geométrico y la proporción en el arte de la Cultura Olmeca
www.palermo.edu/ingenieria/downloads/CyT5/CYT508.pdf
También: "
Las proporciones musicales en la catedral de Chartres", de la misma autora. Publicado en la revista Filomúsica, revista mensual de publicación en Internet, nº 65, junio de 2005
