Una variante al problema de primalidad

 La forma cuadrática x² + 2xy - n = 0, para n un número entero impar cualquiera, siempre tiene soluciones en números enteros.

Una solución que se cumple para cualquier número entero impar es: 1 = x; ½ (n - 1) = y. Si esta solución es única, n es un número primo. Si existen x e y enteros, con x distinto de 1, n es compuesto.

El problema se reduce a encontrar expresiones enteras para

Estas soluciones enteras están en un paraboloide hiperbólico.

¿Nuevas operaciones en campo complejo?

La forma polar de un número complejo lo expresa como el valor de un módulo y un ángulo o argumento con respecto al eje de abscisas, en sentido levógiro para signo positivo.

Las operaciones elementales que se definen a partir del principio de permanencia son las mismas que para otras extensiones de números: suma, resta, producto, cociente, potenciación y radicación. Estas operaciones eran todas las posibles hasta el conjunto de los números reales; pero, para este nuevo campo en el plano, la existencia de un ángulo parece indicar que hay otras operaciones que no se han contemplado y que podrían tener importantes aplicaciones.

La suma de dos números complejos tiene por argumento a la media aritmética de los argumentos de estos números.

El producto de dos números complejos tiene por argumento a la suma de los argumentos de ellos.

El cociente a la resta de sus argumentos. La potenciación de grado n a n veces el argumento y la radicación de grado n al cociente del argumento por n.

¿Qué operaciones binarias complejas dan por resultado la media armónica entre los argumentos y la media geométrica de ellos?

El problema de la obtención de una operación binaria compleja que tenga por resultado la media armónica de los argumentos es de especial interés en geometría y se propone aquí como problema abierto a la comunidad matemática.

Un triángulo sagrado egipcio en cada parábola

El triángulo sagrado egipcio es un triángulo rectángulo con catetos iguales a 3 y 4 e hipotenusa igual a 5. Manteniendo estas proporciones siempre tendremos triángulos semejantes, en cualquier escala.

Podemos relacionar un triángulo semejante al triángulo sagrado egipcio con cualquier parábola. El vértice correspondiente a la reunión de la hipotenusa con el cateto proporcional a 4 está en el foco de la parábola. El punto medio de ese cateto es un punto de la parábola, donde culmina el lado recto (latus rectum). Si trazamos un segmento de recta perpendicular al otro extremo del cateto -el opuesto al foco- y marcamos sobre ese segmento de recta un punto distante tres cuartas partes de la longitud de este mismo cateto, en el sentido de la apertura de la curva, estamos sobre otro punto de la parábola. El vértice de la parábola dista del foco una cuarta parte de la longitud del cateto proporcional a 4 del triángulo descripto. Para la parábola y = x² los puntos que definen al triángulo son: (0, ¼), (1, ¼) y (1, 1). Este triángulo es ¼ (3, 4, 5). Dado que todas las parábolas tienen la misma forma, siempre se podrá ubicar un triángulo semejante en diferentes escalas. Por la simetría axial de la parábola hay dos triángulos idénticos para cada parábola y un tercero, isósceles, con la base proporcional a 8 y la altura proporcional a 3, con las hipotenusas de los dos primeros como lados iguales.

A partir de un rectángulo con lados proporcionales a 8 y a 3 se pueden construir cinco puntos de la curva, su foco y la recta directriz.