El concepto de grupo y las artes

PARA EL LECTOR PRINCIPIANTE

Sea un conjunto G (finito o infinito). Suponemos que para cada par de elementos a y b de G está definido unívocamente un tercer elemento de G, llamado suma del elemento a y del elemento b y que denotaremos por a + b. Que está definido unívocamente significa que hay un único tercer elemento para cada par a y b, aunque ese tercer elemento puede ser unívocamente el asociado a otro par c y d, distinto de a y b. Cuando para cada par de elementos de un conjunto se define unívocamente un tercer elemento, hablamos de una operación binaria. Por último vamos a suponer que esta operación de adición (es decir, la operación que a cada dos elementos a y b de G le hace corresponder el elemento a + b) satisface las siguientes condiciones:

I) PROPIEDAD ASOCIATIVA: Dados tres elementos arbitrarios a, b, c de G vale la relación ( a + b ) + c = a + ( b + c )

Si designamos por d al elemento de G que es igual a a + b y por e al elemento de G que es igual a b + c, entonces la igualdad anterior nos asegura que d + c  y  a + e  son el mismo elemento de G.

II) EXISTENCIA DEL ELEMENTO NEUTRO: Entre los elementos del conjunto G existe un elemento llamado elemento neutro y denotado por 0, tal que satisface

         a + 0 = 0 + a = a, para todo elemento a de G.

III) EXISTENCIA DE ELEMENTO OPUESTO PARA TODO ELEMENTO DEL CONJUNTO: para todo elemento a de G, existe un elemento -a de G que satisface:

         a + (-a) = (-a) + a = 0

Se llama grupo a un conjunto G en el que está definida una operación de adición que satisface las tres condiciones que acabamos de enunciar. Estas condiciones reciben el nombre de Axiomas de definición de grupo.

Si un grupo G, además de cumplir sus tres axiomas de definición, satisface la siguiente condición:

IV) LA PROPIEDAD CONMUTATIVA: a + b = b + a, para todos los elementos de G, se llama grupo Abeliano o conmutativo. (En honor del matemático Abel)

Se dice que un grupo es finito si tiene un número finito de elementos, en caso contrario se dice que es un grupo infinito. Se llama orden de un grupo finito, al número de sus elementos. (Esto último no es una definición rigurosa, ni siquiera es una definición. Un conjunto es infinito cuando un subconjunto del mismo -que no agote el conjunto original o lo transforme en finito- puede ser coordinado elemento a elemento con el conjunto que lo contiene. Veamos un ejemplo: existe un conjunto de números llamado el conjunto de los números naturales, que todos conocemos: 1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ....; también existe un subconjunto de los naturales que es el de los números cuadrados. Los números 5 y 7 del conjunto de los naturales, por ejemplo, no son cuadrados de un número natural. Intuitivamente parece que los cuadrados son menos numerosos que todos los números naturales; pero apareemos cada cuadrado natural con el natural que es su raíz: 1 y 1; 2 y 4; 3 y 9; 4 y 16; y así sucesivamente. Si ponemos estos pares como sucesiones paralelas vemos algo contrario al sentido común:

1   2   3     4    5     6     7   ........

1   4   9   16   25   36   49   ........

Si bien no se puede negar que los cuadrados son una parte de todos los números naturales, los hemos "contado" uno a uno con todos los naturales; por lo que es evidente que ambos conjuntos tienen la "misma cantidad de elementos". Dicho sea de paso: el sentido común es la impresión o conocimiento aparente que dejan nuestros sentidos sin el análisis de nuestra mente. "Buen sentido" es lo que permite distinguir la verdad de la apariencia sensible: no es el Sol el que gira alrededor de la Tierra sino la Tierra que gira alrededor de un eje propio, dando la ilusión de un Sol que nos rodea. El uso común ha confundido "sentido común" con "buen sentido", pero la expresión que corresponde realmente es "buen sentido" si queremos dar a entender coherencia lógica y profundidad de pensamiento, separación entre realidad y apariencia.

Tampoco puede hablarse de "número de elementos de un conjunto". Este es un  tema muy controvertido y hay varias propuestas de solución para el mismo problema. Una de ellas es definir lo que se llama la potencia de un conjunto: 0 para el conjunto vacío, 1 para el conjunto que tiene por elemento al conjunto vacío, 2 para el conjunto que tiene por elementos al conjunto vacío y el conjunto que tiene por elemento al conjunto vacío, etc.(¡Escribirlo!) Luego, cualquier otro conjunto puede ser apareado con alguno de estos modelos, cuando se logra esto, decimos que tienen la misma potencia; o sea, que se puede establecer una correspondencia biunívoca entre sus elementos.

También debería definirse el grupo para una operación binaria cualquiera "*". En ese caso, el elemento neutro se designa "e" (inicial de la palabra alemana einheit, que significa unidad). Puede usarse también terminología multiplicativa, en cuyo caso e resulta ser 1:

(1. a = a . 1 = a) y (-a) cambia a 1/a = a^-1

«EL CONCEPTO DE GRUPO Y LAS ARTES

Los pitagóricos decían: todo es número. Hoy, podríamos al mismo tiempo precisar y ampliar este pensamiento, y  decir: todo es grupo. En efecto, los conceptos por medio de los cuales vemos y formamos el mundo tienen el carácter de grupo. Tomemos primero el espacio que constituye lo que se llama ordinariamente el mundo exterior y al cual le da realidad. Este espacio es una esfera cuyo centro está en todos lados y su límite en ninguno. Es decir, que es ilimitado y que cada punto es un centro de simetría rotatoria de él. Se puede agregar que cada plano es un plano de reflexión de él y cada recta un eje de revolución. Imagínese ahora un segundo ejemplar de este espacio que mueva en el primer espacio, supuesto rígido y en reposo. Un movimiento del espacio móvil consiste entonces en el conjunto de una posición inicial y una posición final, cualquiera sea la manera en que se ha efectuado la transición. Al espacio móvil, en su posición final, se le puede imprimir un movimiento nuevo que lo lleve a una posición nueva, que será la tercera contando como primera a la posición inicial. Evidentemente, existe un movimiento formado por la posición inicial y la tercera posición, que recibe el nombre de producto de esos movimientos. El movimiento inverso del primero consiste en la transición a partir de la segunda posición y hacia la primera. Es por esto que se dice que los movimientos del espacio forman un grupo.

En todos lados en donde entramos en posesión de un mundo independiente de nosotros, necesitamos aplicar conceptos que tienen el carácter de grupo. Es que no vivimos en el instante, sino que somos seres históricos dotados de facultades adquiridas que deben ayudarnos independientemente del tiempo y del lugar. Estas facultades deben ser aplicables en cualquier momento y lugar, y por consecuencia los conceptos tienen, a priori, el carácter de grupo. Lo que el espacio es para el mundo exterior, es decir su forma y su condición necesaria, lo es el número para el mundo espiritual. Plotino llama a estos dos conceptos pro-toposis, palabra intraducible, a menos que se quiera formar una expresión bárbara como pre-espacificación. Ellos ofrecen el marco que ordena un gran desorden. Toda filosofía que quiera degradar a las matemáticas debe, ante todo, destruir la noción de orden, como lo hace Bergson, quien habla de desorden = dos órdenes; es decir que el desorden es un orden del mismo rango que el orden, no es más que un orden inesperado o incomprendido. Pero, ¿qué diferencia hay entonces, por ejemplo, entre el ruido de los instrumentos de la orquesta antes de comenzar el concierto y la sinfonía que le sigue? Dejemos, pues, los juegos de palabras y continuemos admirando el orden y la belleza de las obras maestras de la naturaleza y del arte.

Los números que constituyen el mundo interior forman grupo con respecto a la ley de adición. En efecto, en la sucesión ilimitada de los números positivos y negativos existe la posibilidad de traslación. Cada número es centro de simetría del conjunto de los números y está rodeado de idéntica manera por este conjunto. La realidad nos es revelada en un principio por nosotros mismos, cuando no conocemos más que el Yo, y por tanto en Uno. Pero, ¿cómo vivificar entonces el mundo exterior y cómo ubicar a otros individuos? El concepto de espacio nos permite ubicar otro hombre como objeto exterior, pero, ¿cómo darle un alma y un Yo? Para tener la posibilidad de decir: he ahí un hombre como yo mismo, tenemos que disponer del concepto que nos permita contarlo junto con nosotros y decir: lo que él es ante mí, lo soy yo ante él. Es, por tanto, el principio del contorno idéntico el que nos permite proyectar nuestro Yo, es decir este Uno. Supongamos que todo no sea más que un sueño nuestro –el concepto de espacio no excluye esta posibilidad- ; entonces, nuestro prójimo no sería más que un sueño y yo mismo, hallándome frente a él en la misma posición, yo no sería más que el sueño de un sueño. Ahora bien, nosotros sabemos directamente que existimos, por lo tanto es necesario que el otro exista igual que yo. Es este silogismo el que nos revela el yo de nuestros semejantes y el niño lo aprende desde su primera infancia mediante proverbios bien conocidos.

La mentalidad primitiva no conoce el espacio y la materialidad. Todo el mundo exterior está proyectado por la fuerza del número; no consta, pues, más que de individuos, de seres animados y espirituales. La diferencia entre las cosas vividas y las soñadas no existe. Así un jefe de una tribu africana cuenta una mañana que ha tenido un sueño, en el cual viajaba por Europa; sus súbditos lo escuchan con asombro, lo felicitan por su buen éxito y admiran su valor. La noción de la muerte, como fin de todo, es todavía ignorada, En tanto que el muerto es recordado, existe casi como si viviera y cuando se lo ha olvidado, ni siquiera se puede comprobar que ya no está más allí. Aún los objetos materiales adquieren vida por la fuerza del número, son Yos que tiene  una potencia mágica y  personal sobre lo que los rodea. Los árboles, los ríos y las montañas viven y adoptan una forma humana que se aparece a los hombres privilegiados. El concepto de espacio que no permite más que ubicar objetos muertos ha destruido para nosotros toda esa magia, hasta el punto de que somos incapaces de evocar nuevamente el encanto del mundo primitivo. 

Los dos grupos, el de los números y el del espacio, preforman, pues, el mundo exterior; es, pues, a priori, verosímil que emplee estos dos grupos en el sentido que proyecta los números en un continuo. Es mediante las simetrías que logra éxito en su empresa y quisiera mostrar el papel que el concepto de grupo desempeña en él. Pero, para eso debo hablar de una manera más precisa de este concepto.

La teoría de grupos parte de una definición simple: un grupo consiste en un número finito o infinito de elementos que tienen una composición asociativa, con respecto a la cual existe una unidad y cada elemento tiene un inverso. El objetivo de la teoría es descubrir todos los grupos que existen y discernir sus propiedades principales. Ante todo, pues,  hay que saber qué es una propiedad de un grupo. Aún estamos lejos de la solución completa de este problema. Sin embargo, se puede decir que, para los grupos finitos hemos llegado a un cierto conocimiento de los fenómenos que se presentan. En lo que toca a la historia de estos descubrimientos, se pueden distinguir varios períodos. El primero comienza con Euler, quien, en la teoría de números y en la geometría, describió un cierto número de grupos. Le siguieron Lagrange, Gauss y Ruffini. El segundo período comienza con el matemático noruego Abel y el francés Galois, a los cuales hay que agregar a Cauchy. El tratado de las sustituciones de Camilla Jordan, aparecido en 1870, constituye la magnífica coronación de este período. Después de los trabajos de Riemann, fueron Schwarz, Poincaré, Klein y Lie quienes extendieron el concepto de grupo a la teoría de funciones, a las ecuaciones diferenciales y a la geometría diferencial, y fue en él donde se descubrió la conexión fundamental con la geometría no euclidiana, considerada hasta entonces como un concepto puramente formal. A partir de estos descubrimientos, el grupo se ha apoderado de toda la física, donde desempeña hoy en día el papel de un “logos” universal. Esta conquista triunfal es una de las mayores maravillas que presenta la historia de la ciencia. Desde las excursiones solitarias de Euler por el dominio de la aritmética, han bastado dos siglos para hacer este terreno accesible a cualquiera. 

Al volver ahora al arte, quisiera citar ante todo a un gran matemático, Henri Poincaré, quien dijo: Quizás resulte asombroso el oír invocar a la sensibilidad a propósito de las demostraciones matemáticas, que al parecer no pueden interesar más que a la inteligencia. Esto equivaldría a olvidar el sentimiento de la belleza matemática, de la armonía de los números y de las formas, de la elegancia  geométrica. Es un verdadero sentimiento estético que conocen todos los verdaderos matemáticos. Y esto es ciertamente sensibilidad” [Henri Poincaré, Science et méthode, París, 1908, página 57. Espasa Calpe Argentina, Colección Austral, 2ª edición, Buenos Aires, 1946] . Proclo dice en su Comentario de Euclides: “Allí donde hay número, hay belleza”. Creo que se puede invertir esta última frase y decir: “donde hay belleza, hay número”. En efecto, es por el número que vivificamos las cosas; ahora bien,, el arte tiene justamente este objetivo y, por tanto, pone en juego la fuerza del número. Para mostrar el papel que le cabe al grupo y a los números quisiera dar algunos ejemplos. Los ornamentos de los egipcios, tal como se los encuentra en las tumbas de Tebas, están formados por espirales que se repiten hasta el infinito y recubren el plano. Se ha calculado que existen diez y siete posibilidades diferentes de simetrías de este género en el plano, la mayor parte de las cuales han sido halladas en tiempos prehistóricos. De estas configuraciones puramente matemáticas nacieron los ornamentos semigeométricos, semivegetales, del arte minoico. Los griegos, quizás el mismo Arquímedes, agregaron los mosaicos geométricos. Todavía hoy, tienen una gran importancia en la decoración, hasta el punto que se ha podido decir en 1893 (Flinders Petrie, Egyptian decorative art): “Prácticamente, es muy difícil, o más bien imposible, hallar una decoración de la que  se pueda demostrar que tuvo un origen independiente y no fue copiada del stock egipcio”. Es cierto que a partir de 1900 se trataron de construir otras nuevas sin la ayuda de las matemáticas, pero son verdaderos horrores que generalmente se hicieron desaparecer al poco tiempo.

A los mosaicos de los griegos hay que agregar los polígonos de los árabes. Consisten en una misma línea que, repetida y retorcida, forma mediante sus entrelazamientos figuras diferentes, estrellas, cuadrados y aún pentágonos. Con ayuda de los colores, el mismo ornamento puede adoptar un número considerable de aspectos diferentes.  Generalmente son subgrupos los que llevan los mismos colores, y es de esta manera que adquieren eficacia las fuerzas de la simetría. En un ornamento correcto, cada elemento de simetría debe destacarse mediante alguna marca especial. 

Este mismo principio de los polígonos idénticos se emplea en la confección de encajes de husos, pero es en la música donde revela su fuerza inagotable. En efecto, el canon no es más que un polígono sonoro que, puesto en interferencia consigo mismo, produce un cierto número de compases llenos de geometría. Probablemente los compositores proceden visualmente. Al escuchar un canon, debemos seguir cada voz separadamente y al mismo tiempo prestar atención a la armonía vertical. Hace falta un trabajo penoso y asiduo para llegar a ser capaz de experimentar el encanto de este arte sublime. A menudo se considera esta clase de música como un juego más o menos estéril, pero esto está en contradicción con el hecho de que los más grandes compositores como Bach, Mozart, Beethoven, han dedicado gran parte de sus esfuerzos a la construcción de cánones y de fugas, en la que adquirieron un virtuosismo sorprendente. Se oían cánones en las tabernas que frecuentaba Falstaff y se los oye hoy en los conciertos de música moderna; forman el corazón de la música y al mismo tiempo su razón. Lo mismo que, según Poincaré, en matemáticas la inteligencia y la sensibilidad forman una unidad inseparable, es imposible distinguir en la música entre el corazón y la razón, diga lo que diga Blas Pascal.

Podría seguir y mostrar cómo todas las melodías y toda la armonía están impregnadas de números y de geometría, cómo las proporciones dan vida a los cuadros y la poesía lírica, etc., pero me detendré aquí y transmitiré solamente la opinión del gran compositor Rameau. En su código de música dice: no es la música la que forma parte de las matemáticas, sino que por el contrario, las ciencias forman parte de la música, pues se basan en las proporciones. D’Alermbert se equivocaba al burlarse de esta frase, pues contiene una gran verdad. Allí donde hay número hay belleza y estamos en la vecindad inmediata del arte.»

Del libro Las Grandes Corrientes del Pensamiento Matemático, artículo por Andreás Speiser, profesor de la Universidad de Basilea, páginas 505 a 509.

 

Los números que constituyen el mundo interior forman grupo con respecto a la ley de adición. En efecto, en la sucesión ilimitada de los números positivos y negativos existe la posibilidad de traslación. Cada número es centro de simetría del conjunto de los números y está rodeado de idéntica manera por este conjunto. La realidad nos es revelada en un principio por nosotros mismos, cuando no conocemos más que el Yo, y por tanto en Uno. Pero, ¿cómo vivificar entonces el mundo exterior y cómo ubicar a otros individuos? El concepto de espacio nos permite ubicar otro hombre como objeto exterior, pero, ¿cómo darle un alma y un Yo? Para tener la posibilidad de decir: he ahí un hombre como yo mismo, tenemos que disponer del concepto que nos permita contarlo junto con nosotros y decir: lo que él es ante mí, lo soy yo ante él. Es, por tanto, el principio del contorno idéntico el que nos permite proyectar nuestro Yo, es decir este Uno. Supongamos que todo no sea más que un sueño nuestro –el concepto de espacio no excluye esta posibilidad- ; entonces, nuestro prójimo no sería más que un sueño y yo mismo, hallándome frente a él en la misma posición, yo no sería más que el sueño de un sueño. Ahora bien, nosotros sabemos directamente que existimos, por lo tanto es necesario que el otro exista igual que yo. Es este silogismo el que nos revela el yo de nuestros semejantes y el niño lo aprende desde su primera infancia mediante proverbios bien conocidos.

Pregunto: ¿Cómo reconoce un león a otro león? ¿Tiene en su mente las nociones de espacio, yo y grupo?

Ya sabemos que los leones no reflexionan ni argumentan y no se reconocen a sí mismos frente a un espejo. Puede suceder que ignore la imagen o que crea que es otro león. ¿De qué manera reconoce un león a otro? ¿No será de manera automática, por obra de un programa al que llamamos instinto? Pero para que se desarrolle este programa por sí mismo exige un propósito; o sea, una explicación teleológica. ¿Será que el Programador introdujo respuestas no conscientes de manera automática?

Pitágoras descubrió una ley de vibración del monocordio:

Para una cuerda y una tensión inalteradas, la variación de la longitud de la cuerda hace que el período de vibración sea proporcional a su longitud.

Un piano cubre una gama de sonidos que va desde los 27 ciclos por segundo hasta 4.096 ciclos por segundo, con doce notas cada vez que se duplica la frecuencia. Por esta razón se hizo que el ancho de banda de las transmisiones de radio en AM sea de 10.000 ciclos (cinco mil para cada banda lateral), para que pudiera escucharse el sonido de un piano, que es el instrumento de mayor calidad musical de una orquesta. Si se aplicara la anterior ley de Pitágoras para construir uno, la cuerda mayor debería ser 150 veces más larga que la de menor longitud.

Los pianos pueden ser construidos gracias a dos leyes del matemático francés Mersenne:

1) Para cuerdas distintas con una misma tensión e iguales longitudes, el período de vibración es proporcional a la raíz cuadrada del peso de la cuerda.

2) Cuando una cuerda y su tensión no sufren alteraciones, al variar la tensión de la cuerda la frecuencia de vibración es proporcional a la raíz cuadrada de la tensión.

En los pianos modernos, la incorporación del acero ha posibilitado tensiones de hasta 30 toneladas.