Cuadratura exacta de la rectificación de una circunferencia

Si preguntamos a cualquier persona con formación matemática si es posible construir euclidianamente un cuadrado de superficie equivalente a la rectificación de una circunferencia, dirá que no. Una circunferencia de radio unitario, por ejemplo, tiene un arco rectificado de 2 π; cuadrar esa longitud requeriría construir la raíz cuadrada de π con regla y compás. Eso no es posible. Pero no siempre es así.

Dibujemos un segmento de recta de valor arbitrario y asignémosle el valor 2π. Es fácil construir euclidianamente un cuadrado con ese segmento de recta. Cada lado tendrá una medida  igual a la mitad de pi y la diagonal de ese cuadrado mide el producto de la mitad de raíz cuadrada de 2 por  π. La mitad de este último valor resulta ser el radio de la circunferencia que inscribe al cuadrado. La rectificación de la circunferencia es igual a dos veces pi por el radio; o sea: la mitad de raíz cuadrada de 2 por  π² .

Esta rectificación es igual al producto de dos segmentos menores iguales a raíz cuadrada de 2 por π y a un medio de π respectivamente; ambos construibles mediante regla y compás a partir de nuestro segmento de valor arbitrario. También es posible construir los segmentos de manera que estén uno a continuación del otro y en una misma recta. Tomando a su reunión como el diámetro de una circunferencia, trazándola y construyendo un segmento de recta normal al diámetro en el punto de reunión de dichos segmentos,  el segmento que va desde ese punto de reunión hasta un punto de la circunferencia es la media geométrica entre ambos segmentos; es decir, la raíz cuadrada del producto de ambos y el valor del lado de un cuadrado cuya área es igual a la longitud rectificada de la circunferencia.

 Como todas las circunferencias tienen la misma forma, dada una cualquiera de valor indefinido, podemos construir en ella un cuadrado inscripto, decir que su lado vale un medio de  π y encontrar la cuadratura. Esto vale solamente si es el segmento del lado del cuadrado el que tiene ese valor asignado y no para cualquier valor del lado del cuadrado. Pero hay un anillo infinito numerable y denso cuyos elementos son el producto de un número entero positivo, un racional positivo o un irracional cuadrático por el valor arbitrario de π en los que la cuadratura es posible.