miércoles, 8 de julio de 2015

Generalización de la identidad de Fibonacci


Este artículo es continuación de "El Teorema de Pitágoras y las Ecuaciones Algebraicas", del 5 de agosto de 2007. 

En 1225, Leonardo Bigollo, más conocido como Fibonacci, publicó un libro que él llamó “Liber Quadratorum” (Libro de los Números Cuadrados). Como dato curioso tenemos que 1225 es el cuadrado de 35.

En él introduce unos números que bautizó “congruentes” y que define como la expresión algebraica , en donde u y v son números enteros impares, primos entre sí, y u > v. Estableció que el producto de un congruente por el cuadrado de un entero positivo es otro número congruente. También introdujo una identidad que la posteridad denominó “identidad de Fibonacci”: , que Fibonacci usó para pasar de una terna pitagórica a otra. Ante el requerimiento de obtener los valores enteros de los catetos y de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, desde antiguo se conocen las expresiones: , donde u y v son enteros positivos impares, primos entre sí, y u > v.
Ahora bien, la superficie del triángulo rectángulo es igual al semiproducto de los catetos que, en este caso, es igual a . Esta expresión es la cuarta parte del congruente, que resulta ser la superficie del triángulo definido por la terna (2x, 2y, 2z).

Puestas así las cosas, la identidad de Fibonacci equivale a decir retóricamente: “El cuadrado de la suma de los catetos de un triángulo rectángulo excede al cuadrado de la hipotenusa en cuatro veces la superficie de ese triángulo” o “el cuadrado de la hipotenusa excede al cuadrado de la diferencia de los catetos en cuatro veces la superficie de ese triángulo”. Pero estas expresiones también valen para números reales y hasta para complejos. Sin embargo, alguien podría objetar si tiene sentido un triángulo con un lado complejo. Esto lo menciono porque las ecuaciones pueden tener soluciones complejas conjugadas. Al introducir una expresión algebraica con una resta salimos de la Teoría de Galois, que hace las cosas de forma que no importe el orden en que pongamos las raíces.

Anteriormente vimos que las soluciones o raíces de cualquier ecuación algebraica pueden disponerse según los lados de un triángulo rectángulo. Esto me lleva a generalizar la identidad de Fibonacci a órdenes superiores. Por lo menos, para ecuaciones con todas sus raíces reales.

La identidad original, tal como fue escrita por el matemático de Pisa, podría ser denominada “de orden 2”, porque corresponde a las soluciones u y v de una ecuación cuadrática.

La identidad de orden 3 es:  

Corresponde al paralelepípedo recto rectángulo:
y al triángulo:
De la misma forma, la identidad para órdenes superiores es:



Me pregunto si esta manera de colocar a las raíces como constituyentes de una terna pitagórica no es útil para la acotación de esas raíces.