domingo, 30 de marzo de 2014

¿Infinitos primos gemelos?


Siguiendo el método del artículo anterior, me permito abordar el problema abierto de la existencia de infinitos pares de primos gemelos. Se llama primos gemelos a dos números primos consecutivos. Por ejemplo: el 5 y el 7 ó 17 y 19. Los únicos primos consecutivos que difieren en una unidad son el 2 y el 3. Como todos los demás son impares, la diferencia será igual a 2.

Como en el caso anterior, planteemos una ecuación cuadrática, en principio, en una variable:

x² - bx + c = 0

Sea c igual al producto de dos primos gemelos. Luego, c = p (p + 2) = p² + 2p

Si queremos que p y p + 2 sean raíces de la ecuación, b debe ser igual a: p + p + 2 = 2p + 2.

Reemplacemos en la ecuación original:

x² - (2p + 2)x + p² + 2p = 0

En este caso p no es una variable, sino que es un valor determinado primo impar. Si quisiéramos investigar a la totalidad de los números primos impares, deberíamos convertir a p en una variable "y". Hagámoslo.

x² - (2y + 2)x + y² + 2y = 0

Haciendo las operaciones y reordenando, tenemos:

x² - 2yx - 2x + 2y + y² = 0

Si se pudiera determinar la cantidad de soluciones enteras para esta ecuación diofántica cuadrática en dos variables, se podría resolver el problema de la potencia del conjunto de los primos gemelos. Es más: si las raíces de esta ecuación están acotadas, se podría llegar a obtener soluciones concretas; es decir, pares de primos gemelos de cualquier magnitud humanamente manejable.

Sin embargo, "y" no siempre representará a un número primo; esta ecuación también puede tener soluciones enteras compuestas impares consecutivas.  Los pares de primos gemelos serán un subconjunto de esas soluciones. Los primos gemelos sumados dan un número par divisible por 12. Esto es inmediato: la suma de dos números impares es par; también es el doble de la media aritmética de esos dos primos, que no es otra cosa que el número par que los separa; que, a su vez, es divisible por 3, puesto que es el único compuesto entre tres números enteros consecutivos.

A priori, uno podría suponer que la ecuación es una cónica. Pero resulta ser una forma degenerada. Resulta ser dos rectas paralelas de pendiente unitaria, una de ellas x = y y la otra x - 2 = y. Hay infinitas soluciones, pero su forma no aporta nada al tema.

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