sábado, 2 de junio de 2012

Cuadrar el círculo.

El antiguo problema de hallar un cuadrado con igual área que un círculo dado no tiene solución.

Suele decirse que no tiene solución porque el número pi es un número trascendente; esto es: que no es raíz de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales. Pues, no es del todo cierto. Voy a explicar por qué:

Como el área de un circulo de radio unitario es igual a pi, el cuadrado con área equivalente tendría el lado con longitud igual a la raíz cuadrada de pi. Si pudiésemos construir simultáneamente un segmento de recta unitario y otro con longitud igual a pi, el círculo sería cuadrable. Bastaría dibujar ambos segmentos uno a continuación del otro, trazar la circunsferencia con diámetro igual a pi más uno y dibujar una perpendicular en el punto de unión de ambos segmentos. El segmento de recta perpendicular entre ese punto y el punto de intersección con la circunsferencia sería la raíz cuadrada de pi.

Ahora bien, puedo hacer un dibujo de un segmento de recta de longitud arbitraria y decir que eso es pi, pero no podría decir qué longitud tiene el segmento unitario. Si hago lo mismo con un segmento que llamo unidad, no puedo dibujar pi.

¿Pasa esto solamente con los números trascendentes? No.

Existen números algebraicos que no son expresables mediante radicales de ningún grado; que no tienen una forma algebraica finita que los caracterice. Aquí se presenta el mismo resultado que con los números trascendentes. Si digo que un segmento cualquiera es ese número algebraico no explícito, no tengo manera de construir la unidad y viceversa.

Otra vez: si designo arbitrariamente una longitud que represente a pi, puedo hallar un anillo cuyos elementos resulten el producto de cualquier número algebraico explícito por pi. Sería un anillo sin unidad, infinito numerable y denso. Pero no me sería posible construir la unidad.

Si hiciera lo mismo con un segmento al que llamara raíz cuadrada de cinco, sí estaría en condiciones de obtener la unidad.

Si bien la trascendencia de pi hace imposible resolver el problema, que el problema no sea resolvible no implica que pi sea trascendente. Si pi fuera un número algebraico no explícito sería igual.

La verdadera razón por la que no es posible cuadrar el círculo no reside en que pi sea trascendente, sino en que no es posible definir ni geométrica ni algebraicamente la unidad y pi simultáneamente o uno cualquiera a partir del otro.