miércoles, 30 de abril de 2008

¿Se equivocó Galois?

Galois utilizó la teoría de grupos para estudiar a las ecuaciones algebraicas.

Tomadas dos o más raíces o soluciones de una ecuación algebraica es posible encontrar otras ecuaciones que son cumplidas por estas soluciones. Galois estableció que estas ecuaciones deberían ser con coeficientes racionales y de tal forma que continuaran siendo cumplidas aunque se invirtieran las ubicaciones originales de cada solución involucrada; que el resultado de la ecuación no variara sustituyendo soluciones.

En divisibilidad algebraica se logra escribir los n coeficientes de una ecuación de grado arbitrario n, como suma de las combinaciones de 1, 2, 3, ...,n elementos entre las n raíces, acaso iguales, previa división de todos los coeficientes por el coeficiente del término de mayor grado. El coeficiente independiente es aquel que multiplica a la potencia "0" de la incógnita. La expresión del cociente de ese coeficiente por el que multiplica al término de mayor grado, en función de las n raíces, es igual a la potencia n-ésima de -1 multiplicada por el producto de todas las raíces. Estas ecuaciones cumplen con las condiciones pedidas por Galois. No importa qué orden le demos a una raíz en el conjunto de n elementos, siempre las expresiones encontradas serán las mismas.

Sin embargo, en mi trabajo "Pitágoras y las Ecuaciones Algebraicas", del 5 de agosto de 2007, encuentro que cualquiera sea el grado de una ecuación algebraica estas soluciones se pueden disponer como los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Esto deducido directamente de los resultados anteriores. Pero una de estas expresiones no cumple con los requisitos de Galois, aunque resulta de fórmulas generales e invariantes para toda ecuación algebraica. Me refiero a la fórmula que suma los cuadrados de todas las raíces menos una y resta la que falta. Los coeficientes son racionales, pero al haber un signo menos no son intercambiables las soluciones.

Me pregunto, entonces, si la Teoría de grupos de Galois es suficiente para estudiar a las ecuaciones algebraicas.