domingo, 23 de septiembre de 2007

Textos y Números

Adrián Paenza es doctor en matemáticas y una figura estelar de la Universidad de Buenos Aires, no lo conozco personalmente pero es una persona que abarca más de una actividad, desde que es periodista deportivo. Esa amplitud de miras y el hecho de estar en los medios de difusión masiva de noticias, pues trabaja en radio y en televisión, lo hace ameno e interesante, más cercano al hombre de la calle; por lo que es un divulgador científico y de los buenos.

Hace poco tiempo escuché un programa suyo en el que afirmaba que en el intervalo numérico real que tiene por cotas al número cero y el número 1, están todos los libros que escribió la humanidad. El asunto consiste en esto: podemos dar un código único a cada letra, número y signo de puntuación. Ese código puede ser numérico y nosotros cambiar letras y signos por sus guarismos, precedidos por un cero y una coma. De esta forma, el número decimal escrito está dentro del intervalo mencionado. Vamos a hacer un ejemplo sencillo: Designamos con "00" a un espacio, con "01" a la letra "A", con "02" a la "B", y así sucesivamente hasta "27", para la "Z". Dada la sencillez de los ejemplos no distinguiremos entre mayúsculas y minúsculas ni agregaremos caracteres de otras lenguas como el hebreo, el árabe y otros idiomas que usan símbolos diferentes a los nuestros. Pero sería perfectamente posible que lo hiciéramos. Probablemente harían falta tres dígitos para cada símbolo.

Como no existen libros con contenidos de longitud infinita, todos los textos con sentido que se hayan escrito serán números racionales, pues sus cadenas serán necesariamente finitas. Los números racionales pueden tener una cantidad infinita de cifras decimales, pero periódicas; o sea, una cadena de decimales se repite indefinidamente, como 0,11111.... ó 0, 37892367 37892367 37892367 ... Para unificar notaciones, en matemáticas se conviene que números finitos pueden ser escritos como decimales infinitos: 0,5 es equivalente a 0,50000000..... ó 0,49999999....; representan el mismo número. Pero un texto con sentido literario no repetirá indefinidamente una cadena de letras, como: "tengo hambre tengo hambre tengo hambre..."; por lo que los decimales periódicos infinitos quedan descartados.

Veamos qué número le asigna el código a mi nombre CARLOS; corresponde a: 0,030119121620, un número racional comprendido en el intervalo (0, 1). Cualquier libro o texto que haya sido escrito estará comprendido en el intervalo (0, 1), pues le corresponderá una única secuencia de cifras decimales. Pero en esta pequeña caja de Pandora no solamente están todos los textos escritos desde siempre por toda la humanidad, sino también sus contrarios y la conjunción de los mismos, o sea, hasta las contradicciones.

CARLOS ES MODERADOR: 0,03011912162000052000131604051901041619

CARLOS NO ES MODERADOR: 0,03011912162000141600052000131604051901041619

CARLOS ES MODERADOR Y CARLOS NO ES MODERADOR: 0,03011912162000052000131604051901041619002600030119121620001416000520 00131604051901041619

Como en la fábula de Esopo, donde el sabio esclavo demuestra que la lengua es lo mejor y lo peor del mundo, en el intervalo (0, 1) está todo: la Biblia y el calefón. En definitiva, entre todos los números racionales que se encuentran en el intervalo (0, 1) se encuentran todos los textos finitos con sentido y sin él, las tautologías y las contradicciones. Aparentemente no hay contradicción en la definición de los números reales y, en especial, de los racionales que están comprendidos entre 0 y 1. Si tuviéramos que definir de alguna manera el conjunto de textos que estos números representan, ¿sería coherente una definición no numérica de ese conjunto?

En principio, me siento desorientado y no me parece llegar a ser capaz de dar una respuesta válida al asunto. Aunque debo confesar que le he dedicado el tiempo que me llevó escribir este texto. Como es domingo y estoy descansando, invito a los lectores a que hagan sus aportes cuando tengan tiempo y ganas.

Agregado posterior:

Tengo algunos estudios en matemáticas y conozco la Lógica Matemática, el Formalismo y me han explicado la Operación de Hilbert. Pero no soy experto en Lógica, ni siquiera un lógico mediocre.


Parece que el tema propuesto por Paenza desemboca en una cuestión similar a la del "conjunto de todos los conjuntos". Asignando un código numérico a cada símbolo de escritura de cada lenguaje humano, estarán en el intervalo (0, 1) todas las obras escritas por la humanidad, todas las que no escribió, todas las escrituras sin sentido, las negaciones de todas las cosas escritas en todos los tiempos, juntamente con sus conjunciones y disyunciones, tanto las inclusivas como las excluyentes.


No hay ninguna contradicción descubierta en la definición de los números reales del intervalo (0, 1), ni en toda la matemática. La no contradicción de la matemática se hace depender de la no contradicción de los axiomas de la Teoría de Conjuntos, por ahora la condicional se da: "Si los axiomas de la Teoría de Conjuntos no son contradictorios, entonces, los axiomas de la Aritmética no son contradictorios."

Sin embargo, utilizando las cifras que representan a los números con un significado diferente hemos arribado a lo que parece al menos un lugar muy embarrado.


Me estoy arriesgando a decir un disparate, pero parece que esta cuestión toca elementos de la Teoría del Significado además de la Lógica Formal.


Una explicación somera de algunas palabras para el lector no matemático o principiante:

Llamaremos enunciado a toda expresión en un lenguaje de la que tenga sentido afirmar su verdad o su falsedad. La Lógica no se ocupa de la verdad material de las afirmaciones, o sea, su coincidencia con la realidad observable o con la experiencia acumulada. El enunciado "San Martín liberó Perú" es verdadero, pero su verdad no es una cuestión lógica, sino de la corroboración histórica. Para la Lógica tiene tanto sentido calificarlo de verdadero como de falso.

Hay enunciados atómicos, o sea, que no pueden descomponerse en otros enunciados menores. El anterior sería un ejemplo. Otros enunciados se llaman moleculares y se descomponen en enunciados más simples unidos por conectivos lógicos como "o" o "y".

Una disyunción lógica es un enunciado molecular en el que las partes están unidas por un conectivo "o". El español acepta dos usos para el mismo conectivo: el "o" incluyente, como en el caso: "Es prohibido pisar el césped o jugar a la pelota en el cantero". Es evidente que el sentido acepta la ocurrencia de uno de los dos casos o ambos. El otro sentido es el excluyente, en donde se da solamente una de las dos posibilidades en una misma ocasión: "Esta noche iré al cine o al teatro"; "la figura geométrica dibujada es un triángulo o un círculo". En latín se hace una distinción entre ambos casos: la expresión "vel", para el caso incluyente, y "out", para el excluyente. Internacionalmente existe un convenio de aceptar a priori como incluyente cualquier disyunción a menos que se desprenda la imposibilidad de que ocurra o se utilice algún medio para indicar el caso excluyente.

La Operación de Hilbert es un sistema formal formado por siete símbolos fundamentales y letras en la cantidad necesaria y dotado de una sintaxis que permite construir sin ambigüedades ni errores expresiones lógicas. Es el Formalismo llevado al límite. Es tan minuciosa su descripción que definir algo aparentemente tan sencillo como el número natural 1 implicaría combinar esos siete símbolos en un texto que los utilizara varias decenas de miles de veces, ocupando un pequeño libro para decir "uno". Es de poca utilidad práctica, porque cualquier persona se perdería en semejantes vastedades; sería como elegir el punto de apoyo del pie con un microscopio electrónico. Se usa solamente en algunas cuestiones fundamentales en las que se hace necesario fundar la coherencia lógica de algún aspecto mínimo, de la creación de un objeto matemático de existencia dudosa, o cosas puntuales por el estilo.

domingo, 2 de septiembre de 2007

La Lógica: impotente ante el lenguaje humano.

Parece broma, pero es un tema serio.

Desde la Lógica Informal de Aristóteles, hasta la Lógica Formal y sus desarrollos, ampliaciones y variaciones posteriores, el lenguaje humano ha demostrado ser más rico y complejo de lo que la ciencia puede someter a análisis. Julio Rey Pastor colocaba un ejemplo en su legendario “Análisis Matemático I”. Afirmaba, con razón, que de la expresión “Hoy, el capitán está sobrio” no podía deducirse lógicamente que ayer no lo estaba. En la escritura corriente, la expresión humana está seriamente limitada, pues sus símbolos no indican el tono, el ritmo, los gestos, los ademanes, que suelen acompañar a una comunicación oral y visual. Por eso, en la escritura de guiones teatrales o cinematográficos se debe agregar comentarios pertinentes a la interpretación del texto frío. Es claro que si digo “Hoy, el capitán está sobrio” y uso un tono especial, acompañado de una expresión facial adecuada y algún movimiento de las manos, todos entenderán que ayer no lo estaba. Todos, incluidos los lógicos que, sin embargo, no podrán utilizar su “arsenal” de recursos para describir el significado y las consecuencias de lo dicho. No hay técnicas descriptivas y de tratamiento lógico del lenguaje que lleguen a tal profundidad y abarquen la totalidad de la riqueza expresiva. El lenguaje humano está poco adaptado al tratamiento formal, por abuso de lenguaje, ambigüedad, vaguedad y otros vicios. Ni hablar del doble sentido, ni del uso de algún argot o lunfardo, ni hablar al revés (“alvesre”) o cosas parecidas. Veamos un ejemplo. La situación es que hay dos personas; una realizó una pregunta y el texto se refiere a la respuesta que la segunda persona dio al cuestionamiento de la primera.

- ¿Cómo, cómo como? (La pregunta se enuncia en un tono de desagrado y sorpresa; dando a entender que se le ha cuestionado la forma en que come)

- Como, como como. (La respuesta del mismo sujeto tiene cierto grado de énfasis, pero no como para poner signos de admiración. Da el sentido “Como de la forma que lo hago, como me da la gana”)

- ¿Como como como? (Ahora el tono debe indicar que la persona cuestionada en su manera de comer se pregunta a sí misma si come de la manera que fue descripta por la otra persona)

-Como, como como. (La persona se responde a sí misma y reafirma y reivindica la manera en que come. Podría admitir el uso de signos de admiración –yo no soy un buen escritor-)

Así, se puede continuar variando la entonación de la misma frase y dando a entender distintos significados. Este tipo de ejercicios es común en la práctica actoral.

Con una misma expresión escrita, hemos dado a entender varias cosas diferentes, simplemente variando el tono, las pausas y la intensidad de la voz). Para desesperación de los lógicos, que, para defenderse, dirán: “la Lógica no se ocupa de tales cosas”. Y tendrán razón.