domingo, 5 de agosto de 2007

Una aproximación euclidiana para el arco de circunferencia

Me propongo mostrar un método de construcción geométrica, con compás y regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida, que permite, al menos teóricamente, encontrar una cota inferior a la rectificación de la circunferencia con el error que se desee. Este error decrece con el aumento del número de pasos constructivos y con la disminución de la abertura de un ángulo central de la circunferencia, cosas que suceden paralelamente.


El método se basa en una construcción notable por su exactitud, sencillez y belleza, debida a la mente del físico holandés Willebrord Snell Van Roijen (1591 – 1626), quien firmaba sus trabajos con el nombre latinizado de Snellius, por el que es más conocido. (Snellius de Roijen)



El método consiste en tomar uno de los lados de un ángulo central de una circunferencia y dibujar el diámetro que se superpone a él. Luego se prolonga el diámetro alejándolo del vértice del ángulo en una medida igual al radio de la circunferencia. Se traza un segmento de la tangente a la circunferencia en el punto que corresponde a la intersección del diámetro, del lado correspondiente al arco del ángulo. Desde el extremo más alejado a la circunferencia se traza un segmento de recta que pase por el punto de intersección del otro lado del ángulo con la circunferencia, hasta llegar a cortar la tangente. El segmento de la tangente que está entre este corte y el diámetro es la aproximación de Snell al arco del ángulo. Para un ángulo de 90º sexagesimales, equivale a un número pi igual a 3, pero la precisión crece a medida que el ángulo se achica. Cuando éste tiende a cero, la aproximación difiere del valor verdadero del arco en un infinitésimo de quinto orden. Para un ángulo de 1º 30’ da seis decimales exactos para el valor de pi.Las funciones trigonométricas de un ángulo de 1º 30’ son algebraicas explícitas y lo mismo todas las mediaciones sucesivas de este ángulo y cualquier ángulo que resulte ser múltiplo del mismo. Involucran solamente raíces cuadradas, por lo que son construibles con regla y compás.La aproximación de Snell, para un ángulo cualquiera, vale: . Si elegimos un ángulo que divida un número entero de veces la circunferencia, podemos aproximar la rectificación de la circunferencia multiplicando la aproximación de Snell por la cantidad de veces que el ángulo en cuesión cabe en ella. Para hacer las cosas "a la antigua" tomaremos ángulos en grados sexagesimales y procederemos a "mediar" sucesivamente a la circunferencia, o sea, a dividir sucesivamente por dos cada ángulo.

La fórmula para la aproximación de la rectificación de la circunferencia es:



Para calcular los valores de coseno y seno de la mitad de un ángulo usaremos, respectivamente:.

de cos 45º = sen 45º =

cos 22º 30’ =
…………………..
cos 0º 21’ 5,625" =
sen 0º 21’ 5,625" =


Luego, para , la aproximación a la rectificación de la circunferencia es:
Mientras que …, tenemos diez decimales exactos para la aproximación, en cambio, la aproximación de Ramanuján tiene ocho decimales exactos . Pero Ramanuján logró una construcción más rápida y elegante.

Si dividimos la circunferencia por una potencia con x > 2, tenemos una regla mnemotécnica para calcular el coseno de ese ángulo. Su valor será de la forma y habrá tantos números "2" como x – 2 .

Ahora bien, hay un teorema publicado en un American Mathematical Monthly de 1917 en el que Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, demuestra que expresiones de la forma tienen por límite en el infinito a la mayor raíz de la ecuación x² – x – a = 0; o sea: .


Para el coseno de un ángulo tendiendo a cero el valor del límite será , lo que resulta correcto y coincidente con el valor natural de la función coseno para un ángulo de 0º. Lo mismo para el cálculo del valor del seno del ángulo: ; tenemos que el valor del límite de la expresión de radicales dentro de radicales que tienen signos de suma vale el doble del valor del coseno del ángulo, o sea, 2. Luego queda , también coincidente con el valor natural de un ángulo nulo para la función seno. Pero el cociente entre 1080 y un número tendiente a cero, tenderá a infinito. Del producto de infinito por cero no podemos decir nada. Sin embargo, de la expresión completa y de la evolución de sus valores se intuye que el límite será Pese a todas las depuraciones que le hicieron al análisis matemático en el siglo XIX, de este tipo son las cosas que me desagradan del análisis.

La construcción geométrica de una raíz cuadrada se hace colocando un segmento de recta del valor a radicar seguido por la unidad del sistema. Tomada la reunión de estos dos segmentos como el diámetro de una circunferencia, la perpendicular trazada desde la unidad hasta la intersección con el arco de la circunferencia es el valor de la raíz cuadrada del segmento distinto de la unidad. Si los segmentos en cuestión son ambos diferentes de la unidad, la perpendicular será la raíz cuadrada del producto de ambos segmentos.

En nuestro caso, conviene tomar al radio de la circunferencia como unidad. Calcular la raíz cuadrada de 2 es equivalente a trazar la diagonal de un cuadrado levantado sobre el radio. Para el caso , se construirá la diagonal del cuadrado que tiene por lado el radio y luego se prolongará este segmento en tres radios. Marcada la mitad del segmento resultante, dibujada la circunferencia correspondiente y levantada una perpendicular desde la unidad (el radio), tendremos la representación de . Sucesivamente se repetirá el método hasta completar la cadena de raíces. La construcción práctica del cociente es más complicada, pero posible. Una vía que exige mucho trabajo algebraico es la de eliminar los radicales del denominador, dejando un número entero. Esto complicará notablemente la expresión algebraica del numerador, pero hará sencilla la división.

De todas maneras, este método no es elegante ni simple. También hay que considerar que ningún dibujante puede lograr una precisión mayor a una décima de milímetro en cada paso, por lo que no tiene sentido una construcción que brinde diez decimales exactos de pi, cuando el error total cometido será mucho más grosero. Tiene a su favor que es teóricamente exacto y se puede realizar idealmente una construcción con el error que se desee. Avanzando suficientemente en la pequeñez del ángulo considerado, la rectificación se aproximará al verdadero valor del arco de toda la circunferencia.

No existe un ser humano ni máquina capaz de crear un objeto de un kilómetro de longitud con un error de menos de un tercio de micra, que es el que proveyó Ramanuján con su raíz cuarta.
Los matemáticos y aficionados a las matemáticas estamos en un mundo ideal en donde la persona se comporta como si tuviese por delante una vida de duración indefinida y que cada acto que pudiera hacer una vez se pudiese repetir infinitamente. Los objetos matemáticos existen en un mundo arquetípico, metafísico e ideal. ¿Será por ello que los indios mezclaban tan deliciosamente religión con matemáticas?

Los problemas de rectificación de una circunferencia o su cuadratura (encontrar un cuadrado de igual superficie a la de un círculo) no tienen solución algebraica por la misma trascendencia de pi. No obstante, el hecho de buscar aproximaciones no deja de ser un trabajo de ingenio muy entretenido y formador, que dará "cierto manejo" (feeling) al que se ocupe en ello.

Esto no es para mí una pérdida de tiempo ni una ocupación inútil, todo lo contrario, brinda la flexibilidad de una gimnasia que puede servir de mucho en otros campos de la Matemática.

7 comentarios:

adela dijo...

Creo que la medida del cateto mayor que no varía es de 2r+ 3/4 r; es decir se aleja no el radio si no 3/4 del radio.

Carlos Alberto Carcagno dijo...

Hola Adela.

Gracias por tu aporte. Verifiqué en dos libros distintos y ambos mencionan un alejamiento de un radio. Pero no hice cálculos propios todavía.

Carlos Alberto Carcagno dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Carlos Alberto Carcagno dijo...

Hola:

Republico el comentario anterior pra corregir dos errores de tipeo. (Sería interesante que el responsable del contenido del blog pudiese corregir los mensajes una vez publicados)

«Ignoro si Adela recibirá aviso de esta respuesta, pero sirve para otros también.

Ambos tenemos razón. En el caso que planteo yo el alejamiento es de un radio y produce una aproximación por defecto; es decir, valores menores que se acercan a la medida real del arco. Adela debe haber estudiado el caso de aproximación por exceso, del que el alejamiento de 3/4 del radio es un caso especial.

Saludos.»

Anónimo dijo...

Muy buen aporte, podrias poner tus fuentes o enviarme un link donde hablen sobre la aproximación de snell, es que me ha dejado intrigado esa formula, es muy interesante y me gustaria leer mas sobre es tema, se le agradece de antemano

Carlos Alberto Carcagno dijo...

Hola:

Yo encontré una mención muy escueta en el libro "El Número, Lenguaje de la Ciencia", del doctor Tobías Dantzig, que fue profesor emérito en la Universidad de Columbia.

Dantzig dice que, para ángulos muy pequeños, la fórmula obtiene, en el límite, valores que difieren del verdadero en un infinitésimo de quinto orden. Para ángulos más grandes, equivale a un pi igual a 3.

Después, a raíz del comentario de Adela, busqué información en Wikipedia.

Atentos saludos.

Carlos Alberto Carcagno dijo...

Perdón, algo más: Snell era físico y astrónomo. Aparentemente él buscó la fórmula como una aproximación práctica para sus cálculos.