domingo, 12 de agosto de 2007

La Manera Egipcia de Escribir Fracciones.



Los egipcios tenían la costumbre de escribir cualquier fracción como una suma de fracciones de numeradores unitarios con denominadores distintos y, eventualmente, un entero, para el caso de fracciones impropias. Algunos autores han dicho que esta manera algo extraña de escribir fracciones, les daba un método rápido y casi “visual” de comparar quebrados, que no demandaba expresar numéricamente el resultado del cociente para saber si una fracción era mayor , igual o menor que otra:


Sin embargo, no es necesario hacer divisiones para comparar fracciones. Todos aprendimos en la escuela elemental que se cumplen estas tres propiedades:

Pero es cierto que no puede darse la magnitud de la diferencia con rapidez, por este método, sin hacer algún otro cálculo. De todas formas, el egipcio común utilizaba tablas de descomposición de fracciones, tal como nosotros usamos alguna vez las tablas de logaritmos; y no sabemos de qué manera lograban las descomposiciones aquellos que construían esas tablas. De esta forma, la pregunta acerca de cuál era la  ventaja –si la había- para utilizar este particular modo de escritura, queda pendiente de respuesta.


Hay, por lo menos cuatro papiros matemáticos egipcios. Yo no tengo instrucción en ninguna de las tres formas de escritura egipcia; pero recuerdo haber leído la opinión de un experto acerca de uno muy famoso, escrito por un tal Ahmes o Ahmesu (las transliteraciones cambian con los autores). Este experto decía que, a juzgar por algunos errores groseros cometidos, Ahmes era un simple copista que no entendía lo que estaba copiando y que, con seguridad, la aritmética egipcia era varios siglos anterior a ese papiro. Los papiros encontrados hasta hoy tratan temas prácticos y elementales, como para capacitar mano de obra. Los egiptólogos profesionales siguen la tendencia “orgullosa” de atribuir a los antiguos en general incipientes e ingenuos conocimientos, cargados de superstición y livianos de sabiduría. Refuerzan su postura con la escasez y elementalidad de los manuscritos encontrados (prueba empírica); pero no reparan en que la Gran Pirámide está mejor orientada que el Observatorio de París y que el encuadre de la base de 232,8 m es extraordinariamente preciso y difícilmente practicable hoy, con nuestras mejores técnicas. Por eso se alzarán voces en contra de lo que voy a sugerir ahora; aunque de ninguna manera digo que ellos supieran lo mismo que nosotros. Quizás ni sospechemos las razones de su método, pero hay algo detrás de ello, sin lugar a dudas.

Donde parece haber una ventaja significativa es en la resolución de ecuaciones diofantinas de segundo, tercero y otros grados.

En cualquier ecuación , las raíces cumplen:
Ahora bien, es la n-sima parte de la media armónica de los valores de las raíces.

Si por un algoritmo pudiera descomponerse el cociente de los coeficientes an-1 y an en suma de fracciones unitarias, tendríamos una manera de obtener las raíces de la ecuación. Como esta descomposición por lo general no es única, habría que hacer una discusión de las soluciones. Otra posibilidad muy interesante surge del hecho de que si se halla una descomposición de m factores, pueden encontrarse infinitas descomposiciones de n factores, n > m. En general, para cualquier n esta descomposición no es única; así es que pueden ser planteadas otras ecuaciones del mismo grado y superiores con una raíz común.

Si bien el método egipcio parece ser aplicable solamente a fracciones con denominadores enteros, no descarto que sea posible extender el algoritmo al cálculo de denominadores algebraicos explícitos. Si esto es cierto, toda ecuación con raíces algebraicas explícitas podría ser resuelta por este método.

También es destacable que la divisibilidad de un entero q está muy relacionada con el desarrollo de como fracción decimal, según demostró Pascal y desarrollaron posteriormente John Wallis, Jean Bernoulli, Euler y Lambert.

La resolución de ecuaciones de cualquier grado está íntimamente ligada a la divisibilidad del cociente del coeficiente independiente por el coeficiente del término de mayor grado.

Hay un hecho sin explicación racional de parte de nuestra ciencia: los egipcios no descomponían la fracción , la utilizaban así, directamente como se escribe, mientras que la descomposición es posible: . Tampoco hacían nada con , el famoso “sesqui” de los latinos, que formaba parte de la versión racional del triángulo sagrado egipcio , cuya duplicación es el triángulo sagrado egipcio entero primitivo (lados primos entre sí): (3, 4, 5). Se desconoce el por qué de la denominación “sagrado”, pero tiene algo que ver con el concepto de “sesqui” (una vez y media).


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