EL SER INFINITAMENTE PLANO DE POINCARÉ

(Jules Henri Poincaré)

Este gran matemático inventó un ser que vivía en un universo de dos dimensiones, tanto un plano euclidiano como uno curvado en un espacio de más dimensiones (como una hoja de papel curvada en el espacio ordinario; asimilando una hoja de papel a un plano).

Para este ser, terraplanero o flatlander, el paso de un objeto de tres dimensiones por su universo (o su universo a través de un objeto tridimensional), sería visto por él como un fenómeno de evolución. Por ejemplo, el paso de una esfera por su plano comenzaría con un punto, luego una circunferencia que crecería hasta un máximo y luego decrecería hasta quedar reducida a un punto que desaparecería después. El paso de un toro (no el que tiene cuernos) sería más misterioso: Primero un punto, que se transformaría en un óvalo de Cialdini creciente y luego en una curva llamada lemniscata (como un ocho acostado), que se dividiría en dos óvalos y después en dos círculos separados; para luego repetir el proceso en orden inverso hasta el principio.

Este ejercicio de Poincaré tiene, a mi entender, varios defectos. Primero citaré los menos importantes, porque no hacen al problema principal:

1) Si el ser infinitamente plano fuera un punto geométrico, carecería totalmente de dimensiones y no podría estar vivo ni ver. Para que cualquier proceso físico, químico, biológico o de otra naturaleza ocurra, primero tiene que existir alguna asimetría (Principio de Curie), pues es esa asimetría la que provoca el fenómeno o reacción. En un objeto totalmente isótropo y homogéneo no puede ocurrir nada. ¿Conoce algo más isótropo y homogéneo que un punto geométrico?

2) Nos vemos forzados a considerar, entonces, que este ser es alguna forma plana diferente de un punto. Nuevamente, estamos ante la dificultad de que no tiene altura. Debemos admitir por necesidad que este ser tiene una vida basada únicamente en la geometría (pues tiene la altura de un punto). Por buena voluntad, admitamos que tal vida existe. Seguidamente, abordaremos el verdadero problema, que no se resuelve admitiendo un ejercicio de imaginación.

3) Hay un principio implícito en el ejercicio de Poincaré: tanto que el universo de este ser sea plano euclidiano o un plano curvo, su visión se hace según la línea recta que une el objeto a ser visto con este ser, en el primer caso, y según la geodesia entre él y el objeto, en el segundo. Esto es lógico, porque el terraplanero no podría ver fuera de su universo (de lo contrario vería el cuerpo) y la geodesia sería la curva más recta en su universo plano curvado.

Pero hay un inconveniente: suponiendo que su universo plano fuera transparente como lo es el aire para nosotros, si tanto este ser como su visión se encuentran dentro de su universo de dos dimensiones no podrá ver sino segmentos de rectas o de geodesias (ponga un papel de celofán con algo dibujado sobre un vidrio e intente ver algo distinto a una recta desde una posición que no esté por encima o por debajo del plano). Lo que Poincaré dice que vería el terraplanero sería verdad si este ser estuviera en un punto exterior a su plano de existencia (algo así como un viaje a otra dimensión o al más allá). Pero esto último tampoco es cierto: para ver el plano y una figura en él, la visión de este ser debería ser en tres dimensiones; o sea, según un ángulo sólido (un cono o algo similar) que abarcara el plano o una porción del mismo. Si la visión del terraplanero fuera en dos dimensiones, desde fuera de su universo solo podría observar una recta en el plano y una figura que pasara a través de él dejaría ver, a lo sumo, solo puntos en esa recta.

En el mismo orden de ideas, Edwin A. Abbott publicó, en 1884, la novela Flatland (Planilandia); un libro muy recomendable en el que se hace una mordaz y graciosa crítica a la sociedad victoriana, a la vez de que se trata de una manera amena el problema matemático y el de la percepción humana de la realidad. Describe una sociedad de polígonos, en donde la escala social se mide por la cantidad de lados. Cualquiera sea la forma de un ser de Planilandia, el desarrollo completo se logra en un valor de 27 cm, 30 cm como máximo. Las mujeres son segmentos de rectas. La milicia y la clase trabajadora están constituidas por triángulos isósceles con el ángulo desigual muy agudo, los lados iguales de 27 cm y el desigual entre 0,3 cm y 1,3 cm. Los comerciantes destacados y la clase media la forman los triángulos equiláteros. Los profesionales o caballeros son cuadrados o pentágonos, las clases más altas tienen un número creciente de lados, hasta que es muy difícil distinguir un polígono de una circunferencia y llegan a la categoría de "circulares" u orden sacerdotal, la clase más elevada de todas. Un día aparece en su mundo un punto que se transforma en una circunferencia creciente hasta un límite, tras el cual la circunferencia se va reduciendo hasta un punto que luego desaparece. Toda la sociedad se asombra, pues la experiencia era que las circunferencias crecían con la edad, pero ellos habían visto todo el proceso en muy poco tiempo. En realidad, era una esfera que atravesaba su universo y ésta le habla a un cuadrado y lo transporta fuera de su mundo para que comprenda qué está pasando. Cuando vuelve de su experiencia mística, nadie cree lo que dice y termina sus días en una cárcel. Tanto este cuento, como el ejercicio de Poincaré admiten que las figuras planas se ven como tales en su universo, pero esto puede suceder únicamente desde una posición exterior al plano. Es más, en una superficie no curvada que fuera atravesada por una esfera, el único lugar en el que se vería una circunferencia evolucionando sería en una recta perpendicular al plano y pasante por el centro de la esfera. La visión desde cualquier otro ángulo daría por resultado elipses. En Planilandia nunca podría observarse más que un segmento de recta; los cuadrados y decágonos no se diferenciarían, a condición de que tuvieran igual diámetro.

Abbott, sin embargo, reconoce la dificultad y salva la historia de ficción relatando que ellos no pueden ver más que rectas, pero conocen los ángulos por el sentido del tacto. Aunque aún para los más doctos y experimentados resulta casi imposible distinguir las diferencias en polígonos de un número elevado de lados. También el cuadrado que cuenta su desdichada experiencia habla "del brillo de una recta". Luego de su experiencia tridimensional toma conciencia de que hay una tercera dimensión infinitesimal en su mundo, la que ellos llaman "brillo". Pero cuando vuelve a su casa no puede indicar hacia dónde ni medir esa dimensión.

Nota agregada el 11 de abril de 2024:

La descripción del paso de una esfera por su universo adolece de otro defecto: sólo es posible ver circunferencias en el plano si el observador en tres dimensiones está en un eje normal (perpendicular) al plano y que pase por el centro de la esfera. Cualquier desviación del observador respecto de la normal hará que vea elipses. Mas, como ya se explicó, dentro de su universo plano podrá ver un punto que aparece, luego se transforma en un segmento de recta creciente hasta un máximo, que decrece después, hasta un punto que desaparece. Fuera de su universo, él seguirá viendo en un plano y ese plano intersecta la figura del objeto tridimensional a lo sumo en un punto o en un segmento de recta; para lo que es su visión, será un plano distinto de su universo original. Que la esfera lo transporte fuera de su universo plano no cambia el hecho de que él ve en dos dimensiones y nunca podrá ver la figura completa. Un error grosero de parte de la esfera, nunca podría ver algo diferente. En realidad, lo que parece una recta para el terraplanero, es una curva que él ve "de costado". Como es una curva cuyos extremos están más alejados de observador que sus puntos medios, quizás se viera más nítidamente la parte central del segmento y menos los extremos. Sería muy bueno que pudiera ilustrar todo esto con imágenes, pero está fuera de lo que puedo realizar.

En realidad, Poincaré y quienes le creyeron se dejaron engañar por la carga teórica de su propia experiencia tridimensional (pensaron lo que vería un ser de dos dimensiones, pero desde una perspectiva de tres, como la nuestra). LO QUE VEMOS DEPENDE DE LO QUE BUSCAMOS Y DE NUESTRA PROPIA NATURALEZA.