sábado, 28 de julio de 2007

El Teorema de Incompletitud de Gödel

En 1.931, Kurt Gödel publicó un trabajo denominado “Sobre Proposiciones Formalmente Indecidibles de Principia Mathemática y Sistemas Análogos”, obra excepcional que le valió el nombramiento de Doctor Honoris Causa otorgado por la Universidad de Harvard. Es una obra de las que honran a la Humanidad y todo hombre culto no matemático ni lógico debería conocer al menos rudimentariamente lo que significa.

El teorema demuestra que todo sistema axiomático lo suficientemente rico como para describir la aritmética es de necesidad incompleto o incoherente.

Gödel construyó un lenguaje formal y, con él, un enunciado que –intuitivamente- se puede describir como “Esta frase entre paréntesis es indecidible”. Si asumimos que es verdadera, consiste en una frase verdadera e indemostrable, por lo que el sistema es incompleto. Si consideramos que es falsa, es un ejemplo de una frase falsa pero demostrable, con lo que el sistema axiomático se vuelve contradictorio.

Un poco de axiomática.

Podemos definir “intuitivamente” el concepto de enunciado, como toda expresión hecha en un lenguaje, de la cual tenga sentido inequívoco afirmar su verdad o su falsedad. Por ejemplo: Napoleón gobernó Francia; podemos afirmar con sentido su verdad o su falsedad. Hay una estructura más general y profunda que los lógicos llaman proposición, que atiende al significado más que a la forma de enunciación, pero no nos internaremos en semejantes honduras.

La Lógica no se ocupa del contenido efectivo de verdad de un enunciado; o sea, no se interesa en una calificación absoluta de verdad o falsedad concordante con la experiencia acumulada. Para esta ciencia, calificar a un enunciado aislado como “verdadero” tiene tanto sentido como calificarlo de “falso”. Al considerar más de un enunciado, muchas veces la suposición de un valor de verdad para uno condiciona los valores de verdad de otros. Así, por ejemplo, si suponemos verdadero un enunciado, su negación debe ser forzosamente falsa. Otros enunciados son siempre verdaderos, como “a o no a”, esto debido a su forma y no a su contenido. Cambiando el conectivo “o” por “y”, tenemos “a y no a”, que es una contradicción.

El razonamiento consiste en un encadenamiento de juicios o enunciados que termina en otro que resulta fundado en los anteriores, que es una consecuencia ineludible de los anteriores. A veces se dice que la Matemática está casi enteramente basada en el razonamiento deductivo. Una regla de oro que determina la validez de estos razonamientos es: la verdad de los antecedentes determina la verdad del consecuente. Vale decir, la conclusión se desprende de las premisas por necesidad, en virtud de ciertas características lógicas puramente formales de las mismas. En este tipo de razonamiento la conclusión se desprende lógicamente de las premisas o no lo hace; es esto último lo que la convierte en una ciencia exacta: no hay grado de probabilidad sino certeza. Supuesta la verdad de los antecedentes, se deduce la verdad del consecuente; una nada despreciable cualidad de conservar la veracidad del conocimiento; pero ningún camino lógico conduce de la verdad del consecuente a la de los antecedentes. La Lógica es ampliamente condicional.

En cuanto a la naturaleza deductiva de la Matemática, Jules Henri Poincaré se preguntaba por qué no se reducía toda esta ciencia a una tautología, a una rebuscada forma de decir “a es a”. Es claro, el razonamiento deductivo contiene a la conclusión en las premisas; o sea, no aporta conocimiento nuevo. Esta es una cuestión aún no resuelta. En la ciencia matemática, otro modo de establecer conocimientos es mediante la inducción completa; de todas formas, la manera en la que se producen las ideas creadoras es una cuestión que excede el marco de la lógica y el de la matemática.

Cuando se agrupan enunciados con el fin de crear un conjunto desde el cual deducir o construir otros conocimientos, nos encontramos con un sistema axiomático. Los enunciados que lo componen pueden ser de dos clases: axiomas o postulados. Los axiomas son enunciados de verdad evidente y los postulados no lo son; se pide al lector que asuma su verdad. En la aritmética, por ejemplo, la infinitud del proceso de cuenta es un postulado; no es evidente ni demostrable. A un sistema axiomático se le piden varias cosas:

a) Que sea consistente, coherente o compatible. Significa que ningún axioma o postulado debe ser contradictorio en sí mismo ni contradecir total o parcialmente a los demás enunciados del sistema. Si ello ocurriera, todo el sistema y sus consecuencias serían contradictorios, totalmente inservibles.

b) Que los enunciados sean lógicamente independientes entre sí. Esto quiere decir que ningún enunciado (o sus partes) debe deducirse de otro o de una combinación de otros.

c) Que sea completo. Es decir, que ninguna afirmación que se haga en base al sistema carezca de una demostración de su verdad o falsedad relativa a la verdad supuesta de los enunciados del sistema axiomático. Si aparece una afirmación imposible de demostrar a partir del sistema, estamos ante lo que los lógicos llaman un “indecidible”. Este indecidible, su negación u otra afirmación o negación lógicamente dependiente del indecidible, deben formar parte del sistema axiomático que, de otra forma, queda incompleto.

De las tres condiciones pedidas, la más indispensable es la primera y la más difícil –cuando no imposible-, la última.

Con respecto a lo mencionado en la condición “b”, el problema se resuelve cambiando el axioma en estudio por su negación. Si su negación no introduce contradicción con ninguno de los axiomas restantes o sus combinaciones, tendremos que, si el sistema no es en sí mismo contradictorio, entonces, el axioma analizado es lógicamente independiente. Ello se debe a que si fuera lógicamente dependiente se deduciría de algún axioma o de una combinación de ellos y, por supuesto, aceptada la verdad de los antecedentes, forzosamente tendría que ser verdadero. Al introducir su negación como “verdadera” (que deberá ser necesariamente falsa si ocurre lo primero), el sistema se volverá contradictorio. Este mismo proceso es el que usamos cuando demostramos un teorema por el absurdo: negamos lo que queremos demostrar (o sea, aceptamos la verdad de la negación) y, si es deducible del sistema, la negación nos llevará a una contradicción. Esta forma de demostración es “cómoda”, porque a veces es muy difícil plantear un camino “directo”; pero no todos los matemáticos admiten este tipo de argumentación. Hay una escuela que no se conforma con la no contradicción, sino que exige la construcción efectiva del concepto a demostrar.

Actualmente, toda la no contradicción de la Matemática se basa en la no contradicción de los axiomas de la Teoría de Conjuntos. Anteriormente, había sido reducida a la no contradicción de los axiomas de la Aritmética. Esto demuestra que solamente se hace retroceder el problema, ya que la no contradicción de los axiomas de la Teoría de Conjuntos debería hacerse depender de un sistema más general que sea cumplido por éstos, y así hasta el infinito.

La posible incoherencia del sistema que fundamenta la Matemática no invalida el conocimiento práctico acumulado, sino que cuestiona la validez de los métodos con que establecemos la verdad de nuestros conocimientos.


Algunos comentarios complementarios.

Hay cierta confusión y disparidad de criterios entre los matemáticos con respecto al Teorema de Incompletitud. Se suele trabajar con proposiciones indecidibles, pero forzosamente verdaderas; con lo que se evita la posibilidad de incoherencia del sistema.

Como vimos, un enunciado que no puede deducirse o demostrarse a partir de un conjunto de axiomas es lógicamente independiente. La única diferencia que existe entre un enunciado indecidible y uno lógicamente independiente es su ubicación en el tiempo con respecto a la elección de un sistema axiomático. Cuando uno forma un sistema axiomático no quiere que haya redundancias, quiere economía de axiomas. Por lo tanto, forma el sistema con enunciados que no sean deducibles del resto del sistema o de alguna de sus partes. Una vez considerado terminado el sistema axiomático es cuando puede aparecer un enunciado que sea indemostrable y, por tanto, indecidible. Resulta ser, también, lógicamente independiente, por lo que es lícito incluirlo en el sistema o poner en su lugar su negación (pues la negación no introduce contradicción).

Lo que trae problemas en la construcción de Gödel es que él armó una proposición en lenguaje formal que enuncia: “Esta frase entre paréntesis es indemostrable.” Y, como ya se vio, si la consideramos falsa es un ejemplo de frase falsa, pero demostrable a partir del sistema.

En cambio, en la práctica lo que va a aparecer es un enunciado del que no existirá demostración de su verdad ni de su falsedad. Y de esa forma podremos darle cualquier valor de verdad sin problemas. Después se podrá discutir si es más conveniente la verdad o la falsedad. Si el sistema así ampliado es más útil si consideramos verdadero al indecidible o si ocurre lo contrario.

Pero la construcción de Gödel no deja de ser preocupante, porque logró una que si no se supone que es forzosamente verdadera, deja abierta la posibilidad de la incoherencia de todo el sistema. Y esto en un lenguaje estrictamente formal y simbólico, sin ningún contenido de verdad material.


El teorema de Gödel implica la imposibilidad de comparar las teorías científicas de una manera racional y fiable. SegúnPopper, en "Normal Science and its Dangers", 1970, para comparar dos teorías es necesaria una tercera que sea suficientemente completa. Según el Teorema de Incompletitud de Gödel, la tercera teoría tampoco puede ser lo suficientemente completa y hasta podría ser contradictoria, sería impotente para la justificación de una respuesta verdadera, dada por esa teoría. Si bien Popper propone que se puede llegar a una mejor teoría para describir la realidad mediante la falsificación de otra, resulta que ambas tienen en común la incertidumbre del conocimiento. El método científico no puede ser probado completo y correcto más allá de las dudas. La ciencia moderna ha llegado a la embarazosa situación que tanto se le critica a la mística o a la religiosidad: no puede probar sus principios ni encontrar "la causa primera", asumiendo para la frase entre comillas el significado de un sistema lógico de razonamiento que goce de confianza absoluta y que pueda ser encontrado.

Otro Error Común de los que Aprenden Teoría de Conjuntos

Supongamos que está bien definido el siguiente conjunto:

C = { Un ejemplar del libro Poesías Completas, de Antonio Machado, Colección Austral, Espasa.Calpe. S. A., décima edición, España, 24-10-1963, 299 páginas, en rústica}

Preguntamos: ¿La página 201 del citado libro pertenece al conjunto? Muchos dicen que sí. Pero la pregunta que debemos responder para saber si cualquier objeto que nos alcancen o propongan pertenece o no al conjunto es: ¿La página 201 del libro Poesías Completas, etc, es el libro Poesías Completas, etc? Evidentemente, NO. El conjunto que definimos es unitario. Que el elemento de ese conjunto sea lo que los lógicos llaman una unidad de orden superior (o sea, que pueda considerarse como la suma de otras unidades menores; por ejemplo, páginas), no hace que una de sus páginas pertenezca al conjunto que definimos, sino a otro (El libro considerado como conjunto de páginas).

Parece una trivialidad, y quizás lo sea. Pero muchos estudiantes se equivocan en este tipo de cosas y el error subsiste algunas veces hasta ingresar a la universidad.

En consejo es: tomar las definiciones al pie de la letra y comparar el objeto que se nos propone con la definición. Volviendo al ejemplo, entonces, una página del libro no es el libro y el conjunto contiene al libro completo; luego, la página no pertenece al conjunto, sin que sea posible ninguna discusión.

martes, 24 de julio de 2007

Cálculo, Física y Ficción

Por Física clásica se puede querer significar dos cosas completamente distintas. Si la palabra “clásica”, se usa en sentido coloquial, clásica significa, la usual, la de siempre, la anterior a Einstein. En sentido técnico, tanto la física de Newton (o las formas equivalentes de Lagrange y Hamilton) como la física de Einstein son clásicas. En ese último sentido , por Física clásica se entiende una física no cuantificada en la que la partícula es un punto del espacio, infinitesimal. El espacio es, además, continuo y la fenomenología es de tipo determinista. Todo esto vale tanto en la mecánica no relativista como en la relativista de Einstein. [En la mecánica clásica, el espacio-tiempo es un continuo, mientras que en la mecánica cuántica (no clásica), las partículas no son puntuales y los fenómenos se describen mediante procesos estadísticos y probabilísticos]
Toda la mecánica clásica y la física teórica en general utiliza el concepto de masa puntual. “Sea una masa puntual de 3 kg”. El concepto de punto no es el mismo para la matemática pura, que para la matemática aplicada al cálculo físico, químico o en ingeniería. Tampoco resulta igual para los filósofos. Para el matemático puro, un punto es un objeto geométrico que no tiene dimensiones, es “infinitamente pequeño”, hasta el límite. No hay ningún objeto físico que corresponda al punto matemático. La partícula elemental más pequeña que pueda existir o imaginarse, si tiene entidad física, es infinitamente más grande que un punto geométrico. En algún sentido, el punto de vista matemático de la geometría es metafísico, por decir lo menos.

Para el físico o el ingeniero, un átomo de hidrógeno puede ser considerado un punto con respecto a una naranja, hasta es invisible. También podría ser considerada una masa puntual una pequeña partícula de polvo de las que flotan en el aire y brillan como planetas cuando pasan a través de un rayo de sol. Esto es conocido por todos, el punto físico es cualquier cosa que pueda ser considerada insignificante en cuanto a tamaño y que sirva para resolver satisfactoriamente los cálculos con un error despreciable. Pero, para el matemático puro, el punto existe nada más que en su espíritu o en su mente, es un objeto ideal.

Para el físico considerar una masa puntual es una ficción cómoda para poder calcular. Pero una masa puntual pierde ciertas propiedades del objeto concreto como, por ejemplo, la densidad. Una masa puntual de 3 kg tendría una densidad infinita si fuera un punto geométrico y un número descomunalmente grande si fuera un objeto pequeño como el núcleo de un átomo de hidrógeno. El diámetro del núcleo de un átomo de hidrógeno debe estar en el orden de 10^-13 cm, su radio, 0,5 .10^-13 cm (Si no es esta la medida real, poco importa para este desarrollo) . El volumen de la esfera es cuatro tercios de pi por el cubo del radio, luego el volumen aproximado de ese núcleo de hidrógeno es: 0,5235987 . 10^-39 cm³ . La densidad de este “objeto puntual” es: 5,7295787 . 10^39 kg/cm³ , si no me equivoqué en las cuentas . La verdad, algo muy poco real, que no satisface al filósofo, porque él intenta explicar todo cuanto hay. Tampoco al matemático puro. A los físicos no les importa, porque en un cálculo de mecánica, la densidad, generalmente, no interesa. Siempre se puede volver a la realidad después de una cuenta. El peligro está cuando se olvidan de que el cálculo es una ficción útil y confunden las fórmulas matemáticas con la realidad misma. Y esto no es raro que ocurra, por ejemplo, se discute mucho acerca del significado de las fórmulas en la mecánica cuántica. ¿Realidades o modelos aproximados o útiles de una realidad distinta? ¿Describen la realidad o lo que el observador mide, perturbando el conjunto e introduciendo, además, su propio "esquema mental"? (El sujeto que conoce podría "cargar los dados" con su propia forma de "ver" la realidad; a fin de cuentas, los instrumentos son prolongaciones de nuestos cinco sentidos y toda medición termina en una percepción)
Un asunto difícil en el que resulta instructivo meditar.

El Error Didáctico de Asimilar la Suma de Naturales a la Unión de Conjuntos

Con fines didácticos, suele hacerse un paralelo entre la unión de conjuntos y la suma en los números enteros positivos. Los niños y, menos frecuentemente, los jóvenes caen muchas veces en errores interpretativos por no advertir lo que sigue:

Primera diferencia: La unión de conjuntos finitos puede asimilarse a una suma de números enteros positivos tan solo cuando los conjuntos son disjuntos. Cuando los conjuntos a unir tienen elementos comunes la unión da por resultado un conjunto con un número menor de elementos que la suma de los números de elementos de los conjuntos dados.

Segunda diferencia: La operación de suma ordinaria en los números enteros no goza de la propiedad distributiva con respecto al producto. Pero el producto es distributivo con respecto a la suma. En cambio, la unión es distributiva con respecto a la intersección y viceversa.

A U (B ∩C) = (A U B) ∩ (A U C) [*]

A ∩ (B U C) = (A ∩B) U (A ∩ C)

[*] Nos lleva a la fórmula a + b . c = (a + b) . (a + c), imposible, excepto para
a = c = 0.

Ante todo, debo decir que lo único que conozco de didáctica es la palabra. Tampoco tengo experiencia en cuanto a la actividad docente en otros países. Algunos maestros y profesores podrían sentirse ofendidos porque alguien que no conoce un ápice de su actividad la critique; tampoco puedo explicarle a un albañil cómo se levanta una pared, pero si la construye torcida me percato de ello, aunque no sepa decirle cómo hacerlo bien.

Para empezar, muchas personas tienen una imagen utilitaria de la matemática: la matemática sirve para hacer cuentas y resolver problemas prácticos. Si esto fuera todo, sería como decir que la música sirve para que alguien enseñe solfeo hablado en la escuela media y que algunos conjuntos de música popular vendan millones de discos. Hay mucho más.

El verdadero matemático es un creador; construye nuevos objetos matemáticos, nuevos dominios o demuestra propiedades desconocidas de objetos ya definidos y estudiados. Su actividad se parece mucho a la de un músico o la de un pintor o escultor, y no falta quien diga que un matemático que no sea un poco poeta no es un matemático completo.

La actividad principal del matemático puro es la creación y, para ello, debe "demostrar" lo que afirma; o sea, debe argumentar paso a paso para que no quede duda lógica de lo que afirma.

Esto último que acabo de escribir es un obstáculo insalvable para la enseñanza de la matemática en la escuela elemental. Para demostrar una propiedad se debe argumentar; para argumentar correctamente, es menester tener un lenguaje completamente adquirido. Como los niños que asisten a la escuela elemental están adquiriendo precisamente un lenguaje, es imposible que ellos puedan argumentar hasta que esa incorporación esté más o menos completa. Esto ocurre generalmente a los quince años, si la persona fue alimentada correctamente y tiene una inteligencia normal. Chocamos, además, con la dificultad de que ningún maestro de escuela elemental tiene experiencia en la demostración de teoremas; o sea, ignora completamente la naturaleza y el espíritu de lo que está enseñando (Esto desde mi experiencia en Argentina, ignoro todo acerca del tipo de formación que reciben los maestros extranjeros). No podría, entonces, transmitir esto a sus alumnos, aunque pudieran recibir tal mensaje. Como consecuencia de esto, en la escuela elemental se enseña una "mecánica de cálculo y resolución de problemas", pero no matemática.

En cuanto a la matemática moderna y, más específicamente, la teoría de conjuntos, lo que se introduce no es más que nomenclatura y vocabulario, ortografía y sintaxis. Los niños aprenden esto sin comprender el alcance y la verdadera aplicación de lo que reciben y mucho menos se enteran de que hay otros caminos posibles y que estas técnicas tienen sus defectos y "problemas existenciales". En el mejor de los casos, los niños creen que comprenden y los maestros también. El drama llega cuando ingresan a la universidad. Pero, desde mi práctica de la matemática, lo único que puedo decir es qué está mal, pero no cómo corregirlo. De todas formas, no es malo saber la naturaleza del mal; por lo menos se tiene un diagnóstico, después habrá que buscar el remedio.

Pero, por favor, que quede claro que resolver intuitivamente un problema no es lo mismo que desarrollar una teoría que explique la resolución. Es como aquel personaje de Moliere que se sorprendió cuando se enteró de que había hablado en prosa toda su vida.

Para colmo de males, hay más que agregar. Un conjunto se dice un sistema numérico si entre sus elementos están definidas dos operaciones binarias denominadas suma y multiplicación, ambas asociativas y conmutativas y si el producto es distributivo con respecto a la suma.

Asimilando la unión de conjuntos a la suma y la intersección a un producto, tenemos que los conjuntos forman un sistema numérico; pero, con divisores de cero, puesto que toda intersección de conjuntos disjuntos dará el conjunto vacío o "cero" del sistema. Como el conjunto de todos los conjuntos lleva a contradicción, el sistema carece de unidad; al menos que se elija un conjunto de referencia desde el cual se definan otros conjuntos incluidos en él. En ese caso, el conjunto de referencia es la unidad. Esto va completamente en contra del concepto "intuitivo" de unidad.

En aritmética la multiplicación es una especie de abreviatura de una suma: equivale a sumar el multiplicando tantas veces como el número que representa el multiplicador.

Si asimilamos la intersección al producto, es evidente que no puede ser considerada como una repetición de uniones de uno de los conjuntos.

La Matemática y la Realidad Concreta

La matemática es una ciencia que maneja objetos ideales. Cuando decimos que un objeto matemático cumple una propiedad, lo hace; no hay otra alternativa ni fenómeno que pueda evitarlo. Pero cuando una teoría matemática se aplica a la realidad concreta, no siempre lo que es válido matemáticamente resulta correcto para los objetos reales.

En el muy valioso trabajo de Lia Oubiña, "Introducción a la Teoría de Conjuntos"(Ediciones Previas, EUdeBA), esta notable científica inicia al lector en el concepto de inducción completa, dando un par de ejemplos "prácticos", con fin esencialmente didáctico. Entre ellos: "Supongamos tener 1.000.000 de lamparitas eléctricas alineadas y conectadas de tal forma que al encenderse una de ellas se enciende la siguiente. En un momento dado se quiere saber si todas las lamparitas están encendidas. La verificación directa sería indudablemente bastante trabajosa, pero el lector ya habrá encontrado otra forma de resolver el problema. Nos dirá: "Basta con observar si la primera lamparita está encendida"."

"En efecto, si la primera lamparita está encendida, como se sabe de antemano que al encenderse una se enciende la siguiente, se puede asegurar que la segunda está también encendida, luego, por la misma razón, está encendida la tercera, y así sucesivamente."

Si las lamparitas fueran objetos matemáticos, el razonamiento de Lia Oubiña en el ejemplo sería inobjetable. Pero no lo son. Un técnico irreflexivo que aplicara este método a un caso real, no sería eficiente. Las lámparas pueden "quemarse"; luego, si una de ellas no enciende, las restantes en el sentido ascendente de la cadena no lo harán. Para saber si todas están encendidas, debería ver la última. En realidad, esto es más complejo aún; dibujé tres circuitos diferentes que cumplen con lo pedido, pero sólo en uno de ellos es correcto afirmar que todas las lámparas están encendidas viendo la última. En los otros dos, no es posible detectar una lámpara apagada sin observación directa o tele-control. Desde ya, ella no quería formar técnicos electricistas, sino dar ejemplos didácticos. Pero, al no poner los límites de validez a las técnicas o conceptos definidos, personas que no alcanzaron la madurez en las cosas aprendidas suelen cometer errores groseros, como productos de generalizaciones no adecuadas.

Veamos otro ejemplo: Una casa de trescientos cincuenta metros cuadrados es construida por un equipo de dieciseis obreros en nueve meses. ¿Cuántos obreros debo emplear para que la terminen en ocho meses? Respuesta: dieciocho obreros. Quizás sea cierto. Aplicando el mismo razonamiento, ¿es verdad que 4.320 obreros la levantan en un día? Evidentemente, no. No es posible que cuatro mil personas quepan en trescientos cincuenta metros cuadrados, y no sólo sería muy difícil coordinar el trabajo de una octava parte de esa cantidad de gente en tan poco espacio, sino que ciertos procesos requieren tiempo; como el fraguado del hormigón, que lleva veinte días. La regla de tres simple es útil donde el error del método es pequeño, en los lugares en donde la curva de la ley matemática que describe el fenómeno es "menos curva" (Pero esto no se enseña ni siquiera en la escuela media). El caso límite expuesto es tan ridículo que resulta indudablemente falso para cualquier persona. Pero le aseguro al lector que muchos planes económico - políticos, con mala intención o sin ella, están sustentados en falacias semejantes, aunque menos evidentes.

La aplicación de la matemática a la realidad sensible debe realizarse con sumo cuidado y muchísima reflexión. No es cuestión de utilizar métodos o hábitos mentales a la ligera, cuando fueron diseñados para objetos ideales, diferentes a aquellos a los cuales pretendemos describir mediante modelos abstractos.

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Es malo estudiar sin reflexionar, sin meditar; pero es peor dejar que otro reflexione por nosotros. La credulidad y los prejuicios no producen buen fruto.
It's bad study without reflection, without meditating, but is worse let another reflect for us. The credulity and prejudices do not produce good fruit.
 C'est une mauvaise étude sans réflexion, sans méditer, mais pire laissez pas un autre reflètent pour nous. La crédulité et les préjugés ne produisent pas de bons fruits.
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 Mathematics is a science that handles ideal objects. When we say that a mathematical object satisfies a property, it does, there isn't another alternative or phenomenon that can avoid. But when a mathematical theory is applied to concrete reality, what is mathematically valid not allways is correct for real objects.

In the very valuable work of Lia Oubiña, "Introduction to Set Theory" (Previous Edition, EUDEBA) *, this remarkable scientific initiates the reader to the concept of complete induction, giving a couple of "practical" examples for essentially didactic purpose. Among them: "Suppose 1,000,000 lightbulbs have aligned and connected so that when one of them turned on the next turns on. At one point we want to know if all the lamps are lit. Direct verification would undoubtedly be quite laborious but the reader will have found another way to solve the problem. We say, "Just see if the first lamp is on". "

"Indeed, if the first lamp is on, as it is known in advance that the turns on come on the next one, you can ensure that the second is also on, then, for the same reason, is on the third, and so on "

If the bulbs were mathematical objects, the reasoning of Lia Oubiña in the example would be unobjectionable. But they are not. An unthinking technician who apply this method to a real case wouldn't be efficient. Lamps can "burn", then, if one does not light, the other in the upstream chain will not. To see if all are on, you should see the last one. Actually, this is still more complex, I drew three different circuits that fulfills with the request, but only in one of them is correct to say that all the lamps are on seeing the last. In the other two, it is impossible to detect a lamp off without direct observation or tele-control. Of course, she didn't want to form electricians, but provide teaching examples. But, by not putting the limits of validity of the techniques or concepts defined, people who don't reached maturity in learned things often make gross errors as a result of unsuitable generalizations.

Here's another example: A home of three hundred and fifty square meters is built by a team of sixteen workers in nine months. How many workers should I use to finish the job in eight months? Answer: eighteen workers. It may be true. Applying the same reasoning, is it true that 4,320 workers build it in a day? Obviously, no. Four thousand people can not be located into three hundred and fifty square meters, and not only be very difficult to coordinate the work of one eighth of that amount of people in such a short space, but also certain processes take time, as the set of concrete which takes twenty days. The rule of three is useful where the error of the method is small, in places where the curve of the mathematical law that describes the phenomenon is "less curve" (But this is not taught even in middle school) These extreme case exposed is so ridiculous that it certainly false for anyone But I assure the reader that many economic or political plans, with or without malice, are supported by similar fallacies, though less obvious.

The application of mathematics to sensible reality must be undertaken carefully and with a lot of reflection. You should not use methods or habits of mind lightly, when they were designed for ideal objects, other than those which try to describe using abstract models.

* EUDEBA  is a mixed capital company linked to the University of Buenos Aires, which publishes books.
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 Les mathématiques sont une science qui traite les objets idéaux. Quand nous disons qu'un objet mathématique remplit une propriété, c'est le cas, il n'y a pas d'alternative ou d'un phénomène qui peut aider. Mais quand une théorie mathématique s'applique à la réalité concrète, n'est pas toujours ce qui est vrai mathématiquement des résultats corrects pour des objets réels.
Dans le travail très précieux de Lia Oubiña, «Introduction à la théorie des ensembles" (éditions précédentes, Eudeba), cette remarquable scientifique initie le lecteur au concept d'induction complète, en donnant quelques exemples de «pratique» dans un but essentiellement didactique . Parmi eux: «Supposons 1.000.000 ampoules sont alignés et connectés de sorte que la lumière s'allume une prochaine. À un moment donné, nous voulons savoir si toutes les lampes sont allumées. vérification directe serait sans doute assez laborieux, mais le lecteur aura trouvé un autre moyen de résoudre le problème 'll nous dire: « Vous pouvez regarder si le premier indicateur est le». »


«Car si la première lampe est allumée, comme on le sait à l'avance que la légère le prochain tour, vous pouvez vous assurer que le second est aussi, alors, pour la même raison, est le troisième, et ainsi de suite.»

Si les ampoules étaient des objets mathématiques le raisonnement de Lia Oubiña dans l'exemple ne seraient pas condamnables. Mais ils ne sont pas. Un technicien irréfléchie pourrait appliquer cette méthode à un cas réel, il ne serait pas efficace. Les lampes peuvent «brûler», puis, si l'un d'eux ne s'allume pas, l'autre de la chaîne en amont ne sera pas. Pour voir si tout est sur​​, vous devriez voir le dernier. En fait, c'est plus complexe encore, j'ai dessiné trois circuits différents qui répondent à la demande, mais un seul est correct de dire que toutes les lampes sont allumées consultez la dernière. Dans les deux autres, il est possible de détecter une lampe éteinte sans observation directe ou le télé-contrôle. Bien sûr, elle ne voulait pas être des électriciens, mais d'illustrer l'enseignement. Mais, en ne mettant pas les limites de validité des techniques ou des concepts définis, les personnes qui ont atteint la maturité appris des choses font souvent des erreurs grossières comme produits de généralisations inappropriées.
 

Voici un autre exemple: Une maison avec trois cent cinquante mètres carrés est construite par une équipe de seize travailleurs en neuf mois. Combien de travailleurs dois-je utiliser pour faire le même travail en huit mois? A: dix-huit travailleurs. Peut-être. En appliquant le même raisonnement, il est vrai que 4.320 travailleurs pourraient construire en un jour? De toute évidence, non. Il n' est possible que 4000 personnes sont situés à trois cent cinquante mètres carrés, non seulement être très difficile de coordonner le travail d'un huitième de ce que beaucoup de gens en si peu d'espace, mais certains processus demandent du temps, comme la prise du béton, portant vingt jours. La règle de base simple est utile lorsque l'erreur de la méthode est de petite taille, dans des endroits où la courbe de la loi mathématique qui décrit le phénomène est «moins courbe" (Mais ce n'est pas enseignée, même en milieu scolaire). Le cas limite d'exposition est tellement ridicule qu'il est certainement fausse à quiconque. Mais je vous assure que de nombreux plans économique et politique, ont été faites avec malveillance ou sans elle, sont soutenus par des erreurs similaires, mais moins évident.
L'application des mathématiques à la réalité sensible doit être fait avec beaucoup de soin et beaucoup de réflexion. Il n'est pas question d'utiliser des méthodes ou habitudes mentales légèrement quand ils ont été conçus pour les objets idéaux, autres que ceux qui essaient de décrire à l'aide des modèles abstraits.

Certes, cette traduction y avoir des erreurs de syntaxe et même grammatical. Je n'écris pas couramment le français. Laissez-moi librement vos corrections. J'ai mis toute la volonté en mon pouvoir, mais ce n'est pas suffisant. Merci beaucoup.




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El ejemplo del millón de lámparas surgió de una reflexión que hice y es de mi autoría. El ejemplo de la casa en construcción me fue dado por el actuario argentino Laureano Más en una conversación que mantuvimos mientras ambos éramos funcionarios del Banco de Intercambio Regional S. A.


The example of the one million lamps came from a reflection I did and it is my authorship. The example of the house under construction was given to me by the Argentine actuary Laureano Más in a conversation we had while we were both officers of the Regional Exchange Bank, NA

L'exemple du million de lampes est venu d'une réflexion que j'ai fait et ma paternité. L'exemple de la maison en construction a été donné à moi par l'actuaire Argentine Laureano Más d'une conversation que nous avons eu pendant que nous étions tous les deux employés de la Banque Régionale de Change SA.
EL SER INFINITAMENTE PLANO DE POINCARÉ

(Jules Henri Poincaré)

Este gran matemático inventó un ser que vivía en un universo de dos dimensiones, tanto un plano euclidiano como uno curvado en un espacio de más dimensiones (como una hoja de papel curvada en el espacio ordinario; asimilando una hoja de papel a un plano).

Para este ser, terraplanero o flatlander, el paso de un objeto de tres dimensiones por su universo (o su universo a través de un objeto tridimensional), sería visto por él como un fenómeno de evolución. Por ejemplo, el paso de una esfera por su plano comenzaría con un punto, luego una circunferencia que crecería hasta un máximo y luego decrecería hasta quedar reducida a un punto que desaparecería después. El paso de un toro (no el que tiene cuernos) sería más misterioso: Primero un punto, que se transformaría en un óvalo de Cialdini creciente y luego en una curva llamada lemniscata (como un ocho acostado), que se dividiría en dos óvalos y después en dos círculos separados; para luego repetir el proceso en orden inverso hasta el principio.

Este ejercicio de Poincaré tiene, a mi entender, varios defectos. Primero citaré los menos importantes, porque no hacen al problema principal:

1) Si el ser infinitamente plano fuera un punto geométrico, carecería totalmente de dimensiones y no podría estar vivo ni ver. Para que cualquier proceso físico, químico, biológico o de otra naturaleza ocurra, primero tiene que existir alguna asimetría (Principio de Curie), pues es esa asimetría la que provoca el fenómeno o reacción. En un objeto totalmente isótropo y homogéneo no puede ocurrir nada. ¿Conoce algo más isótropo y homogéneo que un punto geométrico?

2) Nos vemos forzados a considerar, entonces, que este ser es alguna forma plana diferente de un punto. Nuevamente, estamos ante la dificultad de que no tiene altura. Debemos admitir por necesidad que este ser tiene una vida basada únicamente en la geometría (pues tiene la altura de un punto). Por buena voluntad, admitamos que tal vida existe. Seguidamente, abordaremos el verdadero problema, que no se resuelve admitiendo un ejercicio de imaginación.

3) Hay un principio implícito en el ejercicio de Poincaré: tanto que el universo de este ser sea plano euclidiano o un plano curvo, su visión se hace según la línea recta que une el objeto a ser visto con este ser, en el primer caso, y según la geodesia entre él y el objeto, en el segundo. Esto es lógico, porque el terraplanero no podría ver fuera de su universo (de lo contrario vería el cuerpo) y la geodesia sería la curva más recta en su universo plano curvado.

Pero hay un inconveniente: suponiendo que su universo plano fuera transparente como lo es el aire para nosotros, si tanto este ser como su visión se encuentran dentro de su universo de dos dimensiones no podrá ver sino segmentos de rectas o de geodesias (ponga un papel de celofán con algo dibujado sobre un vidrio e intente ver algo distinto a una recta desde una posición que no esté por encima o por debajo del plano). Lo que Poincaré dice que vería el terraplanero sería verdad si este ser estuviera en un punto exterior a su plano de existencia (algo así como un viaje a otra dimensión o al más allá). Pero esto último tampoco es cierto: para ver el plano y una figura en él, la visión de este ser debería ser en tres dimensiones; o sea, según un ángulo sólido (un cono o algo similar) que abarcara el plano o una porción del mismo. Si la visión del terraplanero fuera en dos dimensiones, desde fuera de su universo solo podría observar una recta en el plano y una figura que pasara a través de él dejaría ver, a lo sumo, solo puntos en esa recta.

En el mismo orden de ideas, Edwin A. Abbott publicó, en 1884, la novela Flatland (Planilandia); un libro muy recomendable en el que se hace una mordaz y graciosa crítica a la sociedad victoriana, a la vez de que se trata de una manera amena el problema matemático y el de la percepción humana de la realidad. Describe una sociedad de polígonos, en donde la escala social se mide por la cantidad de lados. Cualquiera sea la forma de un ser de Planilandia, el desarrollo completo se logra en un valor de 27 cm, 30 cm como máximo. Las mujeres son segmentos de rectas. La milicia y la clase trabajadora están constituidas por triángulos isósceles con el ángulo desigual muy agudo, los lados iguales de 27 cm y el desigual entre 0,3 cm y 1,3 cm. Los comerciantes destacados y la clase media la forman los triángulos equiláteros. Los profesionales o caballeros son cuadrados o pentágonos, las clases más altas tienen un número creciente de lados, hasta que es muy difícil distinguir un polígono de una circunferencia y llegan a la categoría de "circulares" u orden sacerdotal, la clase más elevada de todas. Un día aparece en su mundo un punto que se transforma en una circunferencia creciente hasta un límite, tras el cual la circunferencia se va reduciendo hasta un punto que luego desaparece. Toda la sociedad se asombra, pues la experiencia era que las circunferencias crecían con la edad, pero ellos habían visto todo el proceso en muy poco tiempo. En realidad, era una esfera que atravesaba su universo y ésta le habla a un cuadrado y lo transporta fuera de su mundo para que comprenda qué está pasando. Cuando vuelve de su experiencia mística, nadie cree lo que dice y termina sus días en una cárcel. Tanto este cuento, como el ejercicio de Poincaré admiten que las figuras planas se ven como tales en su universo, pero esto puede suceder únicamente desde una posición exterior al plano. Es más, en una superficie no curvada que fuera atravesada por una esfera, el único lugar en el que se vería una circunferencia evolucionando sería en una recta perpendicular al plano y pasante por el centro de la esfera. La visión desde cualquier otro ángulo daría por resultado elipses. En Planilandia nunca podría observarse más que un segmento de recta; los cuadrados y decágonos no se diferenciarían, a condición de que tuvieran igual diámetro.

Abbott, sin embargo, reconoce la dificultad y salva la historia de ficción relatando que ellos no pueden ver más que rectas, pero conocen los ángulos por el sentido del tacto. Aunque aún para los más doctos y experimentados resulta casi imposible distinguir las diferencias en polígonos de un número elevado de lados. También el cuadrado que cuenta su desdichada experiencia habla "del brillo de una recta". Luego de su experiencia tridimensional toma conciencia de que hay una tercera dimensión infinitesimal en su mundo, la que ellos llaman "brillo". Pero cuando vuelve a su casa no puede indicar hacia dónde ni medir esa dimensión.

En realidad, Poincaré y quienes le creyeron se dejaron engañar por la carga teórica de su propia experiencia tridimensional (pensaron lo que vería un ser de dos dimensiones, pero desde una perspectiva de tres, como la nuestra). LO QUE VEMOS DEPENDE DE LO QUE BUSCAMOS Y DE NUESTRA PROPIA NATURALEZA.